Vectors: Practice Questions

\( \triangle ABC \) において、辺 \( AB \) を \( 3:2 \) に内分する点を \( D \) とする。\( \vec{AD} \) を \( \vec{AB} \) を用いて表しなさい。

ベクトル \( \vec{a} = (1, 2, -2) \) と \( \vec{b} = (k, 1, 1) \) のなす角が \( 60^\circ \) であるとき、定数 \( k \) の値を求めなさい。

空間において、点 \( P(1, 2, 3) \) から、2点 \( A(2, 0, 1) \), \( B(4, 1, 2) \) を通る直線に垂線 \( PH \) を下ろす。このとき、点 \( H \) の座標を求めなさい。

2つのベクトル \( \vec{a} = (2, -3) \) と \( \vec{b} = (-1, 4) \) に対して、\( \vec{a} - 2\vec{b} \) の成分を求めなさい。

\( \triangle OAB \) において、辺 \( OA \) を \( 3:1 \) に内分する点を \( C \)、辺 \( OB \) を \( 2:3 \) に内分する点を \( D \) とする。\( \vec{OA} = \vec{a} \), \( \vec{OB} = \vec{b} \) とするとき、\( \vec{CD} \) を \( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) を用いて表しなさい。

ベクトル \( \vec{p} = (4, -3) \) と同じ向きの単位ベクトルを求めなさい。

平行四辺形 \( ABCD \) において、辺 \( AB \) を \( 3:2 \) に内分する点を \( E \) とする。\( \vec{AB} = \vec{a} \)、\( \vec{AD} = \vec{b} \) とするとき、\( \vec{DE} \) を \( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) を用いて表しなさい。

2つのベクトル \( \vec{a} = (2, 1) \) と \( \vec{b} = (1, 3) \) の内積 \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) を求めなさい。

座標平面上の3点 \(A(1, 2)\), \(B(4, 3)\), \(C(2, 5)\) を頂点とする \(\triangle ABC\) について考える。
(a) ベクトル \(\vec{AB}\) および \(\vec{AC}\) を成分で表しなさい。
(b) 内積 \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) の値を求めなさい。
(c) \(\triangle ABC\) の面積 \(S\) を求めなさい。

\(\triangle OAB\) において、\(OA = 5\), \(OB = 4\), \(AB = 6\) とする。また、\(\vec{OA} = \vec{a}\), \(\vec{OB} = \vec{b}\) とする。
(a) 内積 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) の値を求めなさい。
(b) 点 \(O\) から直線 \(AB\) に下ろした垂線の足を \(H\) とするとき、\(\vec{OH}\) を \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) を用いて表しなさい。
(c) 線分 \(OH\) の長さを求めなさい。