Expressions and Proof: Practice Questions

等式 \(2x^2 + 5x - 3 = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c\) が \(x\) についての恒等式であるとき、定数 \(a, b, c\) の値を求めなさい。

恒等式 \(\frac{3x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}\) が成り立つとき、定数 \(A\) と \(B\) の値を求めなさい。

整式 \( P(x) = x^{2024} + ax + b \) が \( (x-1)^2 \) で割り切れるとき、定数 \( a, b \) の値を求めなさい。

\(x^3 - 3x^2 + 4x - 5\) を \(x - 2\) で割ったときの余りを求めなさい。

\( x > 0, y > 0, z > 0 \) かつ \( x + y + z = 1 \) のとき、\( \left(1 + \frac{1}{x}\right)\left(1 + \frac{1}{y}\right)\left(1 + \frac{1}{z}\right) \) の最小値を求めなさい。

\(a > b\) かつ \(c > d\) であるとき、不等式 \(a + c > b + d\) が成り立つことを証明しなさい。

2次不等式 \(x^2 - (a+1)x + a < 0\) の解が \(1 < x < 3\) であるとき、定数 \(a\) の値を求め、これを用いて \(x\) に関する方程式 \(x^3 - (a+2)x^2 + (2a+1)x - a = 0\) のすべての実数解を求めなさい。

\( n \) を正の整数とするとき、等式 \( \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3) \) が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい。

\( a > 0, b > 0 \) とするとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1) \( (a + b)\) rac{1}{a} + rac{1}{b} \) ≧ 4 \) が成り立つことを示せ。
(2) (1) の結果を利用して、\( (a + b + c)\) rac{1}{a} + rac{1}{b} + rac{1}{c} \) ≧ 9 \) （ただし \( c > 0 \)）が成り立つことを証明せよ。また、等号が成立するための条件を述べよ。

実数 \( a \) を定数とし、\( x \) に関する整式 \( f(x) = |x+2| + |x-3| + |x-a| \) を考える。次の問いに答えなさい。
(1) \( a = -3 \) のとき、\( f(x) \) の最小値とそのときの \( x \) の値を求めなさい。
(2) \( f(x) \) の最小値を \( m(a) \) とするとき、\( m(a) \) を \( a \) の値の範囲で場合分けして求めなさい。
(3) \( f(x) \) の最小値が \( 6 \) となるような定数 \( a \) の値をすべて求めなさい。