2021 DSE 數學 單元一 (微積分與統計) 模擬試題 | Past Paper 練習

在 \((1 + ax)^4 (1 - x)^n\) 的展開式中（其中 \(a\) 為常數且 \(n\) 為正整數），\(x\) 的係數為 \(-1\)，而 \(x^2\) 的係數為 \(-12\)。求 \(a\) 及 \(n\) 的值。

在某超市，到達某收銀處的顧客人數服從泊松分佈，每 10 分鐘平均有 4 名顧客。
(a) 求在某 10 分鐘區間內，剛好有 3 名顧客到達該收銀處的概率。
(b) 求在某 5 分鐘區間內，最少有 2 名顧客到達該收銀處的概率。
(c) 已知在某 5 分鐘區間內最少有 2 名顧客到達該收銀處，求在該區間內最多有 4 名顧客到達的概率。

設 \(f(x) = x e^{-x}\)。
(a) 利用梯形法則將區間分成 4 個子區間，估計 \(\int_0^2 f(x) dx\) 的值。
(b) 判別在 (a) 中所得的估算值是過高估計還是過低估計。試解釋你的答案。

某品牌燈泡的壽命服從正態分佈，其平均值為 \(\mu\) 小時，標準差為 \(\sigma\) 小時。已知 6.68% 的燈泡壽命少於 850 小時，而 11.51% 的燈泡壽命多於 1120 小時。
(a) 求 \(\mu\) 及 \(\sigma\) 的值。
(b) 隨機抽取 5 個燈泡組成一組。求該組中至少有 1 個燈泡的壽命多於 1120 小時的概率。

一曲線的導函數為 \(\frac{dy}{dx} = x \sqrt{2x^2 + 1}\)。若該曲線通過點 \((2, 6)\)，求該曲線的方程。

某公司生產光掣，每個光掣為次品的概率為 \(p\)。已知在隨機抽取的 40 個光掣中，次品數目的期望值為 2.4。
(a) 求 \(p\) 的值。
(b) 求在 40 個光掣中，次品數目的方差。
(c) 若隨機抽取 15 個光掣，求：
    (i) 剛好有 1 個為次品的概率；
    (ii) 最少有 2 個為次品的概率。

某工廠有兩部機器 A 和 B 生產同一款零件。機器 A 生產了 60% 的零件，而機器 B 生產了 40% 的零件。機器 A 和機器 B 生產零件的次品率分別為 2% 和 5%。
(a) 求隨機抽取的一個零件是次品的概率。
(b) 已知隨機抽取的一個零件是次品，求該零件是由機器 A 生產的概率。

一個無蓋長方體儲物箱的容量為 \(36\text{ m}^3\)。其底部的長度是寬度的兩倍。設底部的寬度為 \(x\) 米。
(a) 證明儲物箱的總表面面積 \(A\text{ m}^2\) 由 \(A = 2x^2 + \frac{108}{x}\) 給出。
(b) 求使總表面面積最小的 \(x\) 值。

考慮一個藥物濃度模型，其中在注射 \( t \) 小時後，血液中藥物的濃度 \( C(t) \) 由下式給出：
\( C(t) = 8 t^2 e^{-0.5t} \) （其中 \( t \ge 0 \)）。

(a) 求濃度正在增加的 \( t \) 的確切區間。 (3分)

(b) 求藥物的最大濃度以及其發生時間。 (3分)

(c) 求 \( C''(t) \) 的值，並由此求曲線 \( y = C(t) \) 在 \( t > 0 \) 時的拐點（或反曲點）的確切座標。 (5分)

(d) 描述當 \( t \to \infty \) 時，藥物濃度變化率的變化趨勢。 (2分)

某客戶服務中心收到的投訴數目服從泊松分佈，平均每小時收到 1.8 宗。

(a) 求該中心在某特定一小時內收到以下投訴數目的概率：
(i) 剛好 2 宗投訴。
(ii) 最少 3 宗投訴。
(4分)

(b) 該中心每天開放 8 小時。
(i) 求在一天中，該中心最少有 6 個小時收到最少 1 宗投訴的概率。
(ii) 若該中心在一天內（定義為整個 8 小時的時段）收到最少 1 宗投訴，求該天收到的投訴總數最多為 10 宗的概率。 (8分)

設 \( f(x) = \frac{4}{e^x + 1} \) （其中 \( x \ge 0 \)）。

(a) 利用代換積分法設 \( u = e^x \)，求 \( \int_{0}^{2} f(x) dx \) 的確切值。 (4分)

(b) (i) 利用梯形法則將區間分成 4 個子區間，估算 \( \int_{0}^{2} f(x) dx \) 的值。 (3分)
(ii) 確定 (b)(i) 中的估算值是高估還是低估。解釋你的答案。 (3分)

(c) 證明 \( \int_{0}^{2} \frac{4}{e^x+1} dx + \int_{0}^{2} \frac{4e^x}{e^x+1} dx = 8 \)。由此，求 \( \int_{0}^{2} \frac{4e^x}{e^x+1} dx \) 的確切值。 (3分)

某品牌咖啡粉的包裝重量服從正態分佈，其平均值為 250 克，標準差為 4 克。

(a) 求隨機抽取的一包咖啡粉重量小於 245 克的概率。 (3分)

(b) 製造商規定，若一包咖啡粉的重量小於 \( w \) 克，則可獲得退款。若只有 1.5% 的包裝符合退款資格，求 \( w \) 的值（準確至一位小數）。 (3分)

(c) 現有一盒裝有 6 包咖啡粉。若一盒中有多於或等於 2 包咖啡粉重量小於 245 克，則該盒被視為「重量不足」。
(i) 求隨機抽取的一盒被視為「重量不足」的概率。
(ii) 若一盒被判定為「非重量不足」，求該盒中剛好有 1 包咖啡粉重量小於 245 克的概率。 (6分)