2021 DSE 數學 單元一 (微積分與統計) 答案詳解與評分準則

\((1 + ax)^4 = 1 + 4ax + 6a^2 x^2 + \dots\)
\((1 - x)^n = 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2} x^2 - \dots\)
因此，\((1 + ax)^4 (1 - x)^n = (1 + 4ax + 6a^2 x^2 + \dots)(1 - nx + \frac{n(n-1)}{2} x^2 - \dots)\)
\(x\) 的係數為 \(4a - n = -1\) ...... (1)
\(x^2\) 的係數為 \(6a^2 - 4an + \frac{n(n-1)}{2} = -12\) ...... (2)
由 (1) 可得 \(n = 4a + 1\)。
將 \(n = 4a + 1\) 代入 (2)：
\(6a^2 - 4a(4a + 1) + \frac{(4a+1)(4a)}{2} = -12\)
\(6a^2 - 16a^2 - 4a + 2a(4a+1) = -12\)
\(-10a^2 - 4a + 8a^2 + 2a = -12\)
\(-2a^2 - 2a + 12 = 0\)
\(a^2 + a - 6 = 0\)
\((a+3)(a-2) = 0\)
\(a = 2\) 或 \(a = -3\)
由於 \(n\) 必須為正整數：
若 \(a = -3\)，則 \(n = 4(-3) + 1 = -11\)（捨去）。
若 \(a = 2\)，則 \(n = 4(2) + 1 = 9\)（接受）。
因此，\(a = 2\) 及 \(n = 9\)。

寫出 \(x\) 係數的方程 (1)：1M
寫出 \(x^2\) 係數的方程 (2)：1M
將 \(n = 4a + 1\) 代入 (2)：1M
解二次方程求得 \(a = 2\) 或 \(a = -3\)：1.25A
說明捨去 \(a = -3\) 的理由：1M
求得最終答案 \(a = 2\) 及 \(n = 9\)：1A

(a) 設 \(X\) 為在 10 分鐘區間內到達的顧客人數。\(X \sim Po(4)\)。
\(P(X = 3) = \frac{e^{-4} 4^3}{3!} = \frac{32}{3} e^{-4} \approx 0.1954\)。
(b) 設 \(Y\) 為在 5 分鐘區間內到達的顧客人數。\(Y \sim Po(2)\)。
\(P(Y \ge 2) = 1 - P(Y = 0) - P(Y = 1) = 1 - e^{-2} - 2e^{-2} = 1 - 3e^{-2} \approx 0.5940\)。
(c) 我們要求條件概率 \(P(Y \le 4 \mid Y \ge 2)\)。
\(P(2 \le Y \le 4) = P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(Y = 4)\)
\(= \frac{e^{-2} 2^2}{2!} + \frac{e^{-2} 2^3}{3!} + \frac{e^{-2} 2^4}{4!} = e^{-2} (2 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3}) = 4e^{-2}\)。
\(P(Y \le 4 \mid Y \ge 2) = \frac{P(2 \le Y \le 4)}{P(Y \ge 2)} = \frac{4e^{-2}}{1 - 3e^{-2}} = \frac{4}{e^2 - 3} \approx 0.9114\)。

(a) 1M 寫出泊松公式，1A 得 0.1954（或 \(\frac{32}{3} e^{-4}\)）。
(b) 1M 判斷平均值為 2，1.25A 得 0.5940（或 \(1 - 3e^{-2}\)）。
(c) 1M 寫出條件概率公式，1A 得 0.9114（或 \(\frac{4}{e^2-3}\)）。

(a) 對於區間 \([0, 2]\) 的 4 個子區間，每個子區間的寬度為 \(h = \frac{2 - 0}{4} = 0.5\)。
網格點為 \(x_0 = 0\)、\(x_1 = 0.5\)、\(x_2 = 1.0\)、\(x_3 = 1.5\) 及 \(x_4 = 2.0\)。
應用梯形法則：
\(\int_0^2 x e^{-x} dx \approx \frac{h}{2} [f(0) + 2(f(0.5) + f(1.0) + f(1.5)) + f(2.0)]\)
\(= \frac{0.5}{2} [0 e^0 + 2(0.5 e^{-0.5} + 1.0 e^{-1} + 1.5 e^{-1.5}) + 2 e^{-2}]\)
\(\approx 0.25 [0 + 2(0.3032653 + 0.3678794 + 0.3346952) + 0.2706706]\)
\(= 0.25 [2(1.005840) + 0.2706706]\)
\(\approx 0.5706\)。
(b) 對 \(f(x)\) 求導：
\(f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = (1 - x)e^{-x}\)
\(f''(x) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = (x - 2)e^{-x}\)
對於 \(0 < x < 2\)，由於 \(x - 2 < 0\) 且 \(e^{-x} > 0\)，得 \(f''(x) < 0\)。
由於在 \((0, 2)\) 上 \(f''(x) < 0\)，該曲線呈凹向下。
因此，以梯形法則所得的估算值是過低估計。

(a) 0.5M 求得 \(h = 0.5\)。1.5M 正確應用梯形法則公式。0.25M 代入函數值。1A 得正確答案 0.5706。
(b) 1M 求得 \(f'(x)\)。1M 求得 \(f''(x) = (x - 2)e^{-x}\)。1A 根據 \(f''(x) < 0\) 得出過低估計的結論。

(a) 設 \(X\) 為燈泡的壽命。\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)。
已知：
\(P(X < 850) = 0.0668 \implies P(Z < \frac{850 - \mu}{\sigma}) = 0.0668\)
從標準正態分佈表可得，\(P(Z < -1.5) = 0.0668\)，故：
\(\frac{850 - \mu}{\sigma} = -1.5 \implies \mu - 1.5\sigma = 850\) ...... (1)
同時：
\(P(X > 1120) = 0.1151 \implies P(Z > \frac{1120 - \mu}{\sigma}) = 0.1151\)
從標準正態分佈表可得，\(P(Z > 1.2) = 0.1151\)，故：
\(\frac{1120 - \mu}{\sigma} = 1.2 \implies \mu + 1.2\sigma = 1120\) ...... (2)
用 (2) 減去 (1)：
\(2.7\sigma = 270 \implies \sigma = 100\)
將 \(\sigma = 100\) 代回 (2)：
\[\mu = 1120 - 1.2(100) = 1000\]
故 \(\mu = 1000\) 及 \(\sigma = 100\)。
(b) 隨機抽取一個燈泡其壽命多於 1120 小時的概率為 \(p = 0.1151\)。
設 \(Y\) 為 5 個燈泡中壽命多於 1120 小時的燈泡數目。\(Y \sim B(5, 0.1151)\)。
\(P(Y \ge 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - (1 - 0.1151)^5 = 1 - (0.8849)^5 \approx 0.4575\)。

(a) 1.5M 利用標準正態分佈表建立方程 \(\mu - 1.5\sigma = 850\)。1.5M 建立方程 \(\mu + 1.2\sigma = 1120\)。1A 求得 \(\mu = 1000\) 且 \(\sigma = 100\)。
(b) 1.25M 寫出二項分佈公式 \(1 - (1-0.1151)^5\)。1A 得出正確概率 0.4575。

要找出該曲線的方程，我們對 \(\frac{dy}{dx}\) 進行積分：
\(y = \int x \sqrt{2x^2 + 1} dx\)
設 \(u = 2x^2 + 1\)。則 \(du = 4x dx\)，即 \(x dx = \frac{du}{4}\)。
將這些代入積分中：
\(y = \int \sqrt{u} \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int u^{1/2} du\)
\(y = \frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} u^{3/2} \right) + C = \frac{1}{6} u^{3/2} + C\)
\(y = \frac{1}{6} (2x^2 + 1)^{3/2} + C\)
由於該曲線通過 \((2, 6)\)，代入 \(x = 2\) 及 \(y = 6\)：
\(6 = \frac{1}{6} (2(2)^2 + 1)^{3/2} + C\)
\(6 = \frac{1}{6} (9)^{3/2} + C\)
\(6 = \frac{1}{6} (27) + C\)
\(6 = 4.5 + C \implies C = 1.5 = \frac{3}{2}\)
因此，曲線的方程為 \(y = \frac{1}{6} (2x^2 + 1)^{3/2} + \frac{3}{2}\)。

寫出積分表達式：1M
使用換元積分法（例如 \(u = 2x^2 + 1\)）：1.5M
求得積分項 \(\frac{1}{6} (2x^2 + 1)^{3/2}\)：1.5M
代入 \((2, 6)\) 以求出積分常數 \(C = \frac{3}{2}\)：1.25M
得出正確的最終曲線方程：1A

(a) 設 \(X\) 為 40 個光掣中的次品數目。\(X \sim B(40, p)\)。
我們有 \(E(X) = np = 40p = 2.4 \implies p = 0.06\)。
(b) \(X\) 的方差為：
\(Var(X) = np(1-p) = 40(0.06)(1 - 0.06) = 2.4(0.94) = 2.256\)。
(c) 設 \(Y\) 為 15 個光掣中的次品數目。\(Y \sim B(15, 0.06)\)。
(i) \(P(Y = 1) = \binom{15}{1} (0.06)^1 (0.94)^{14} = 15(0.06)(0.42045) \approx 0.3784\)。
(ii) \(P(Y \ge 2) = 1 - P(Y = 0) - P(Y = 1)\)
\(= 1 - (0.94)^{15} - 0.378405\)
\(\approx 1 - 0.395290 - 0.378405 = 0.2263\)。

(a) 0.5M 建立方程 \(40p = 2.4\)，0.75A 得 \(p = 0.06\)。
(b) 0.5M 寫出方差公式 \(Var(X) = 40(0.06)(0.94)\)，0.5A 得 \(2.256\)。
(c)(i) 1M 寫出二項式項 \(\binom{15}{1} (0.06)^1 (0.94)^{14}\)，1A 得 0.3784。
(c)(ii) 1M 寫出 \(1 - P(Y=0) - P(Y=1)\)，1A 得 0.2263。

設 \(A\) 為零件由機器 A 生產的事件。
設 \(B\) 為零件由機器 B 生產的事件。
設 \(D\) 為零件為次品的事件。
我們已知：
\(P(A) = 0.60\)，\(P(B) = 0.40\)
\(P(D \mid A) = 0.02\)，\(P(D \mid B) = 0.05\)
(a) 利用全概率公式：
\(P(D) = P(A) P(D \mid A) + P(B) P(D \mid B)\)
\(= (0.60)(0.02) + (0.40)(0.05)\)
\(= 0.012 + 0.020 = 0.032\)。
(b) 利用貝葉斯定理：
\(P(A \mid D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{P(A) P(D \mid A)}{P(D)}\)
\(= \frac{0.012}{0.032} = \frac{3}{8} = 0.375\)。

(a) 1M 寫出全概率公式，0.5M 進行代入，0.75A 得 0.032（或 \(\frac{4}{125}\)）。
(b) 1.5M 寫出貝葉斯定理公式，1.5M 進行代入，1A 得 0.375（或 \(\frac{3}{8}\)）。

(a) 底部的寬度為 \(x\) 米，因此底部的長度為 \(2x\) 米。
設儲物箱的高度為 \(h\) 米。
容量 \(V\) 由以下公式給出：
\(V = x(2x)h = 2x^2 h = 36 \implies h = \frac{18}{x^2}\)。
由於儲物箱沒有蓋子，總表面面積 \(A\) 為：
\(A = \text{底部面積} + 2 \times \text{正面及背面面積} + 2 \times \text{側面面積}\)
\(A = x(2x) + 2(2x)(h) + 2(x)(h) = 2x^2 + 6xh\)。
將 \(h = \frac{18}{x^2}\) 代入：
\(A = 2x^2 + 6x \left(\frac{18}{x^2}\right) = 2x^2 + \frac{108}{x}\)。
(b) 將 \(A\) 對 \(x\) 求導：
\(\frac{dA}{dx} = 4x - \frac{108}{x^2}\)。
要尋找臨界點，設 \(\frac{dA}{dx} = 0\)：
\(4x - \frac{108}{x^2} = 0 \implies 4x^3 = 108 \implies x^3 = 27 \implies x = 3\)。
為確定這是否使面積最小，求二階導數：
\(\frac{d^2A}{dx^2} = 4 + \frac{216}{x^3}\)。
當 \(x = 3\) 時：
\(\frac{d^2A}{dx^2} = 4 + \frac{216}{27} = 12 > 0\)。
由於二階導數為正，因此當 \(x = 3\) 時，\(A\) 達到最小。

(a) 1M 表示出 \(h = \frac{18}{x^2}\)。1M 建立總表面面積公式 \(A = 2x^2 + 6xh\)。0.5A 完成代數步驟證明公式。
(b) 1M 求得 \(\frac{dA}{dx}\)。1M 設 \(\frac{dA}{dx} = 0\) 並求解。0.75A 求得 \(x = 3\)。1M 檢查二階導數為正以驗證為最小值。

(a) 我們首先求導數 \( C'(t) \)：
\( C'(t) = 16t e^{-0.5t} + 8t^2 (-0.5 e^{-0.5t}) = (16t - 4t^2) e^{-0.5t} = 4t(4-t) e^{-0.5t} \)。
若要 \( C(t) \) 增加，我們需要 \( C'(t) > 0 \)。
因為 \( e^{-0.5t} > 0 \) 且 \( t > 0 \)，我們有：
\( 4t(4-t) > 0 \implies 0 < t < 4 \)。
因此，濃度正在增加的區間為 \( 0 < t < 4 \)。

(b) 根據 (a)，在 \( 0 < t < 4 \) 時 \( C'(t) > 0 \)，在 \( t > 4 \) 時 \( C'(t) < 0 \)。
因此，\( C(t) \) 在 \( t = 4 \) 處達到其最大值。
最大濃度為：
\( C(4) = 8(4)^2 e^{-0.5(4)} = 128 e^{-2} \approx 17.33 \)。

(c) 求二階導數：
\( C''(t) = \frac{d}{dt} \left[ (16t - 4t^2) e^{-0.5t} \right] \)
\( = (16 - 8t) e^{-0.5t} - 0.5 (16t - 4t^2) e^{-0.5t} \)
\( = (16 - 16t + 2t^2) e^{-0.5t} = 2(t^2 - 8t + 8) e^{-0.5t} \)。
令 \( C''(t) = 0 \)：
\( t^2 - 8t + 8 = 0 \implies t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2} \)。
因為 \( t = 4 - 2\sqrt{2} \approx 1.17 \) 和 \( t = 4 + 2\sqrt{2} \approx 6.83 \) 均大於 0，故它們均在定義域內。
由於 \( C''(t) \) 在這兩個值前後變號，故它們均為曲線的拐點。
將此兩值代回 \( C(t) \)：
當 \( t = 4 - 2\sqrt{2} \) 時：
\( C(4-2\sqrt{2}) = 8(4-2\sqrt{2})^2 e^{-0.5(4-2\sqrt{2})} = 8(24 - 16\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}-2} = 64(3 - 2\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}-2} \)。
當 \( t = 4 + 2\sqrt{2} \) 時：
\( C(4+2\sqrt{2}) = 8(4+2\sqrt{2})^2 e^{-0.5(4+2\sqrt{2})} = 8(24 + 16\sqrt{2}) e^{-\sqrt{2}-2} = 64(3 + 2\sqrt{2}) e^{-\sqrt{2}-2} \)。
因此，拐點為：
\( \left( 4 - 2\sqrt{2}, 64(3 - 2\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}-2} \right) \) 和 \( \left( 4 + 2\sqrt{2}, 64(3 + 2\sqrt{2}) e^{-\sqrt{2}-2} \right) \)。

(d) 當 \( t \to \infty \) 時，\( C'(t) = (16t - 4t^2)e^{-0.5t} \to 0 \)。
因此，藥物浓度的變化率趨近於 0（即濃度趨於穩定）。

(a)
- 1M: 求得導數 \( C'(t) \)
- 1M: 設 \( C'(t) > 0 \)
- 1A: 求得正確區間 \( 0 < t < 4 \)（或等價式）

(b)
- 1M: 說明或測試為何最大值發生在 \( t = 4 \)
- 1A: 求得 \( t = 4 \)
- 1A: 求得最大值 \( 128 e^{-2} \)

(c)
- 1M: 嘗試對 \( C'(t) \) 求導
- 1A: 求得正確的二階導數 \( C''(t) = 2(t^2-8t+8)e^{-0.5t} \)
- 1A: 求得兩個拐點的 \( t \) 座標
- 1M: 驗證凹凸性改變或設定 \( C''(t)=0 \)
- 1A: 求得兩個確切的座標

(d)
- 1M: 嘗試求 \( t \to \infty \) 的極限
- 1A: 說明變化率趨近於 0

(a) 設 \( X \) 為某特定一小時內收到的投訴數目。\( X \sim \text{Po}(1.8) \)。
(i) \( P(X = 2) = \frac{e^{-1.8} (1.8)^2}{2!} = 1.62 e^{-1.8} \approx 0.2678 \)。
(ii) \( P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - e^{-1.8} \left(1 + 1.8 + \frac{1.8^2}{2}\right) = 1 - 4.42 e^{-1.8} \approx 0.2694 \)。

(b) (i) 首先，求該中心在特定一小時內收到最少 1 宗投訴的概率 \( p \)：
\( p = P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - e^{-1.8} \approx 0.834701 \)。
設 \( W \) 為一天 8 小時中收到最少 1 宗投訴的小時數。
\( W \sim B(8, p) \)。
我們要求 \( P(W \ge 6) = P(W = 6) + P(W = 7) + P(W = 8) \)
\( = \binom{8}{6} p^6 (1-p)^2 + \binom{8}{7} p^7 (1-p) + p^8 \)
\( = 28 (0.834701)^6 (0.165299)^2 + 8 (0.834701)^7 (0.165299) + (0.834701)^8 \)
\( \approx 0.259871 + 0.374944 + 0.236660 = 0.8715 \)。

(ii) 設 \( T \) 為 8 小時一天內收到的投訴總數。
因為各小時收到的投訴獨立，我們有 \( T \sim \text{Po}(1.8 \times 8) = \text{Po}(14.4) \)。
我們要求條件概率 \( P(T \le 10 \mid T \ge 1) = \frac{P(1 \le T \le 10)}{P(T \ge 1)} = \frac{P(T \le 10) - P(T = 0)}{1 - P(T = 0)} \)。
此時，\( P(T = 0) = e^{-14.4} \approx 5.57 \times 10^{-7} \)。
\( P(T \le 10) = e^{-14.4} \sum_{k=0}^{10} \frac{14.4^k}{k!} \approx e^{-14.4} (270295.2939) \approx 0.150626 \)。
因此，
\( P(T \le 10 \mid T \ge 1) = \frac{0.150626 - 5.57 \times 10^{-7}}{1 - 5.57 \times 10^{-7}} \approx 0.1506 \)。

(a)(i)
- 1M: 運用泊松分佈公式
- 1A: 求得正確概率 \( \approx 0.2678 \)
(a)(ii)
- 1M: 運用餘概率
- 1A: 求得正確概率 \( \approx 0.2694 \)

(b)(i)
- 1A: 求得正確二項分佈概率 \( p = 1-e^{-1.8} \approx 0.8347 \)
- 1M: 寫出二項和式 \( P(W=6) + P(W=7) + P(W=8) \)
- 1M: 正確代入二項公式
- 1A: 求得正確概率 \( \approx 0.8715 \)

(b)(ii)
- 1A: 求得 \( T \) 的泊松分佈平均值為 \( 14.4 \)
- 1M: 寫出條件概率公式
- 1M: 展開 \( P(T \le 10) \)
- 1A: 求得正確概率 \( \approx 0.1506 \)

(a) 設 \( u = e^x \)，則 \( du = e^x dx \implies dx = \frac{du}{u} \)。
當 \( x = 0 \) 時，\( u = e^0 = 1 \)。
當 \( x = 2 \) 時，\( u = e^2 \)。
因此，
\( \int_{0}^{2} \frac{4}{e^x+1} dx = \int_{1}^{e^2} \frac{4}{u(u+1)} du \)。
利用部份分數：
\( \frac{4}{u(u+1)} = \frac{4}{u} - \frac{4}{u+1} \)。
因此，
\( \int_{1}^{e^2} \left( \frac{4}{u} - \frac{4}{u+1} \right) du = 4 \left[ \ln|u| - \ln|u+1| \right]_1^{e^2} \)
\( = 4 \left( [\ln(e^2) - \ln(e^2+1)] - [\ln(1) - \ln(2)] \right) \)
\( = 4 \left( 2 - \ln(e^2+1) + \ln 2 \right) \)
\( = 8 + 4\ln 2 - 4\ln(e^2+1) \)。

(b) (i) 設 \( n = 4 \)。每個子區間的寬度為 \( \Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5 \)。
網格點為 \( x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, x_4 = 2.0 \)。
\( f(0) = 2 \)
\( f(0.5) = \frac{4}{e^{0.5}+1} \approx 1.510125 \)
\( f(1.0) = \frac{4}{e+1} \approx 1.075766 \)
\( f(1.5) = \frac{4}{e^{1.5}+1} \approx 0.729702 \)
\( f(2.0) = \frac{4}{e^2+1} \approx 0.476812 \)
利用梯形法則：
\( \int_{0}^{2} f(x) dx \approx \frac{0.5}{2} \left[ f(0) + 2(f(0.5) + f(1.0) + f(1.5)) + f(2.0) \right] \)
\( = 0.25 \left[ 2 + 2(1.510125 + 1.075766 + 0.729702) + 0.476812 \right] \)
\( = 0.25 \left[ 2 + 2(3.315593) + 0.476812 \right] \)
\( = 0.25 \left[ 9.107998 \right] \approx 2.2770 \)。

(ii) 求 \( f(x) \) 的二階導數：
\( f(x) = 4(e^x + 1)^{-1} \)
\( f'(x) = -4e^x(e^x + 1)^{-2} \)
\( f''(x) = -4e^x(e^x + 1)^{-2} + 8e^{2x}(e^x + 1)^{-3} \)
\( = \frac{-4e^x(e^x + 1) + 8e^{2x}}{(e^x+1)^3} = \frac{4e^{2x} - 4e^x}{(e^x+1)^3} = \frac{4e^x(e^x - 1)}{(e^x+1)^3} \)。
因為對於 \( 0 < x \le 2 \)，\( e^x > 1 \)，故在 \( x \in (0, 2] \) 上恒有 \( f''(x) > 0 \)。
由於在 \( [0, 2] \) 上 \( f''(x) \ge 0 \)，曲線呈凹向上。
因此，(b)(i) 中的估算值是高估。

(c) 計算：
\( \int_{0}^{2} \frac{4}{e^x+1} dx + \int_{0}^{2} \frac{4e^x}{e^x+1} dx = \int_{0}^{2} \frac{4 + 4e^x}{e^x+1} dx \)
\( = \int_{0}^{2} \frac{4(1+e^x)}{e^x+1} dx = \int_{0}^{2} 4 dx = [4x]_0^2 = 8 \)。
因此，
\( \int_{0}^{2} \frac{4e^x}{e^x+1} dx = 8 - \int_{0}^{2} \frac{4}{e^x+1} dx \)
\( = 8 - (8 + 4\ln 2 - 4\ln(e^2+1)) \)
\( = 4\ln(e^2+1) - 4\ln 2 = 4\ln\left(\frac{e^2+1}{2}\right) \)。

(a)
- 1M: 運用代換法及變數轉換（包括將 dx 轉換為 du）
- 1A: 正確變換積分上下限
- 1M: 運用部分分數或適當的積分技巧
- 1A: 求得正確確切答案

(b)(i)
- 1M: 正確運用梯形法則公式
- 1A: 求得正確的函數值
- 1A: 求得正確答案 \( \approx 2.2770 \)（接受 2.28）
(b)(ii)
- 1M: 正確求導求出 \( f''(x) \)
- 1A: 證明在該區間上 \( f''(x) > 0 \)
- 1A: 結算出高估

(c)
- 1M: 將積分合併
- 1A: 證明總和為 8
- 1A: 得到正確確切答案

(a) 設 \( X \) 為隨機抽取的一包咖啡粉重量。已知 \( X \sim N(250, 4^2) \)。
\( P(X < 245) = P\left( Z < \frac{245 - 250}{4} \right) = P(Z < -1.25) \)
\( = 0.5 - P(0 < Z < 1.25) = 0.5 - 0.3944 = 0.1056 \)。

(b) 已知 \( P(X < w) = 0.015 \)。
將其標準化：
\( P\left( Z < \frac{w - 250}{4} \right) = 0.015 \)。
由於 \( 0.015 < 0.5 \)，其 z-分數必為負數。
設 \( z_0 = \frac{250 - w}{4} > 0 \)。
則 \( P(Z > z_0) = 0.015 \implies P(0 < Z < z_0) = 0.485 \)。
查標準正態分佈表得 \( z_0 = 2.17 \)。
因此，
\( \frac{250 - w}{4} = 2.17 \implies 250 - w = 8.68 \implies w = 241.32 \approx 241.3 \)。

(c) (i) 設 \( p = 0.1056 \) 為一包咖啡粉重量小於 245 克的概率。
設 \( Y \) 為一盒 6 包中重量小於 245 克的咖啡粉包數。
\( Y \sim B(6, 0.1056) \)。
若 \( Y \ge 2 \)，則該盒被視為「重量不足」。
\( P(Y \ge 2) = 1 - P(Y = 0) - P(Y = 1) \)
\( = 1 - (1 - 0.1056)^6 - \binom{6}{1}(0.1056)^1(1 - 0.1056)^5 \)
\( = 1 - (0.8944)^6 - 6(0.1056)(0.8944)^5 \)
\( \approx 1 - 0.511790 - 0.362556 = 0.125654 \approx 0.1257 \)。

(ii) 我們要求條件概率：
\( P(Y = 1 \mid Y < 2) = \frac{P(Y = 1)}{P(Y < 2)} = \frac{P(Y = 1)}{P(Y = 0) + P(Y = 1)} \)
\( \approx \frac{0.362556}{0.511790 + 0.362556} = \frac{0.362556}{0.874346} \approx 0.414660 \approx 0.4147 \)。

(a)
- 1M: 標準化隨機變量
- 1A: 得到 \( Z < -1.25 \)
- 1A: 求得正確概率 \( 0.1056 \)

(b)
- 1M: 建立標準化方程
- 1A: 求得關鍵 z-值 \( 2.17 \)（或 \( -2.17 \)）
- 1A: 求得正確答案 \( w = 241.3 \)

(c)(i)
- 1M: 利用二項分佈餘概率公式
- 1A: 正確代入 \( (0.8944)^6 + 6(0.1056)(0.8944)^5 \)
- 1A: 求得正確概率 \( \approx 0.1257 \)
(c)(ii)
- 1M: 運用條件概率公式 \( P(Y=1)/P(Y<2) \)
- 1A: 正確代入分子和分母
- 1A: 求得正確概率 \( \approx 0.4147 \)