2024 DSE 物理 答案詳解與評分準則

有效加熱功率為 \(P_{\text{eff}} = 50\text{ W} - 10\text{ W} = 40\text{ W}\)。
完全熔化固體所需的能量為：
\(Q = m L = 0.2\text{ kg} \times (2.0 \times 10^5\text{ J kg}^{-1}) = 40000\text{ J}\)。
所需的時間為：
\(t = \frac{Q}{P_{\text{eff}}} = \frac{40000}{40} = 1000\text{ s}\)。

正確答案：B。選對 B 得 1 分。

設氣體的初始狀態為 \((P_0, V_0, T_0)\)。
1. 等溫壓縮至體積減半後，溫度保持為 \(T_0\)，壓強變為 \(2P_0\)。
2. 在等壓加熱恢復至 \(V_0\) 的過程中，壓強保持 \(2P_0\)。根據理想氣體狀態方程 \(PV = nRT\)，當體積在恆定壓強下翻倍時，絕對溫度也必須翻倍至 \(2T_0\)。
由於氣體分子的平均動能與絕對溫度 \(T\) 成正比，因此平均動能翻倍。最終的壓強也翻倍（為 \(2P_0\)）。

正確答案：A。選對 A 得 1 分。

由於木塊勻速沿斜面向上滑動，其處於平衡狀態。沿平行於斜面方向分解力：
\(F \cos 30^\circ = mg \sin 30^\circ + f\)
\(f = F \cos 30^\circ - mg \sin 30^\circ\)
\(f = 50 \times \cos 30^\circ - 4 \times 9.8 \times \sin 30^\circ\)
\(f \approx 43.30 - 19.6 = 23.7\text{ N}\)。

正確答案：C。選對 C 得 1 分。

對玩具車所作的功 \(W\) 為 \(t = 0\) 至 \(4\text{ s}\) 期間 \(P-t\) 圖像下的面積：
\(W = \int_0^4 3t \, dt = \left[ 1.5t^2 \right]_0^4 = 1.5 \times 16 = 24\text{ J}\)。
根據動能定理，\(W = \Delta KE = \frac{1}{2}mv^2 - 0\)：
\(24 = \frac{1}{2} (0.5) v^2\)
\(v^2 = 96\)
\(v = \sqrt{96} \approx 9.80\text{ m s}^{-1}\)。

正確答案：C。選對 C 得 1 分。

向心力由靜摩擦力提供。最大靜摩擦力為 \(f_{\text{max}} = \mu_s m g\)。
在即將滑動的臨界狀態：
\(m \omega^2 r = \mu_s m g\)
\(\omega = \sqrt{\frac{\mu_s g}{r}} = \sqrt{\frac{0.5 \times 9.8}{0.2}} = \sqrt{24.5} \approx 4.95\text{ rad s}^{-1}\)。

正確答案：C。選對 C 得 1 分。

全內反射僅在光線從折射率較高的介質射向折射率較低的介質時才會發生。由於 \(n_{\text{X}} = 1.6 > n_{\text{Y}} = 1.2\)，因此光線必須在介質 X 中入射。
臨界角 \(\theta_c\) 由以下公式給出：
\(\sin \theta_c = \frac{n_{\text{Y}}}{n_{\text{X}}} = \frac{1.2}{1.6} = 0.75\)
\(\theta_c = \sin^{-1}(0.75) \approx 48.6^\circ\)。

正確答案：A。選對 A 得 1 分。

串聯時，等效電阻為 \(R_s = 3R\)，因此總功率為：
\(P_s = \frac{V^2}{3R}\)。
並聯時，等效電阻為 \(R_p = \frac{R}{3}\)，因此總功率為：
\(P_p = \frac{V^2}{R/3} = \frac{3V^2}{R}\)。
兩者比值為：
\(\frac{P_p}{P_s} = \frac{3V^2/R}{V^2/(3R)} = 9\)。

正確答案：D。選對 D 得 1 分。

根據法拉第電磁感應定律，平均感應電動勢 \(\mathcal{E}\) 的大小為：
\(\mathcal{E} = N \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right| = N A \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right|\)
\(\mathcal{E} = 200 \times 0.05\text{ m}^2 \times \frac{0.4\text{ T}}{0.2\text{ s}} = 10 \times 2 = 20\text{ V}\)。

正確答案：C。選對 C 得 1 分。

設 A 和 B 在 \(t\) 小時後的放射性活度分別為 \(A_A(t)\) 和 \(A_B(t)\)。
\(A_A(t) = 1600 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}\)
\(A_B(t) = 100 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}\)
令 \(A_A(t) = A_B(t)\)：
\(1600 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3} = 100 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}\)
\(16 = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6 - t/3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-t/6} = 2^{t/6}\)
因為 \(16 = 2^4\)，所以：
\(\frac{t}{6} = 4 \implies t = 24\text{ 小時}\)。

正確答案：C。選對 C 得 1 分。

取向上為正方向：
碰撞前的瞬時速度：\(v_1 = -\sqrt{2 g h_1} = -\sqrt{2 \times 9.8 \times 2.50} = -7\text{ m s}^{-1}\)。
碰撞後的瞬時速度：\(v_2 = +\sqrt{2 g h_2} = +\sqrt{2 \times 9.8 \times 0.90} = +4.2\text{ m s}^{-1}\)。
小球的動量變化為：
\(\Delta p = m(v_2 - v_1) = 0.2 \times (4.2 - (-7)) = 2.24\text{ kg m s}^{-1}\)。
平均合力為：
\(F_{\text{net}} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2.24}{0.05} = 44.8\text{ N}\)（方向向上）。
由於 \(F_{\text{net}} = F_{\text{floor}} - m g\)：
\(F_{\text{floor}} = F_{\text{net}} + m g = 44.8 + 0.2 \times 9.8 = 44.8 + 1.96 = 46.76\text{ N} \approx 46.8\text{ N}\)。

正確答案：C。選對 C 得 1 分。

首先，計算水降溫至 0°C 所能釋放的最大熱量： Q_{\text{release}} = m_w c_w \Delta T = 0.2 \times 4200 \times 20 = 16800 J。 熔化所有冰塊所需的熱量： Q_{\text{melt}} = m_{\text{ice}} \ell_f = 0.05 \times 3.34 \times 10^5 = 16700 J。 由於 Q_{\text{release}} > Q_{\text{melt}}，所有冰塊都會熔化。因此敘述 (1) 正確。 由於 Q_{\text{release}} 比 Q_{\text{melt}} 多出 100 J，這部分剩餘的熱量會使這 0.25 kg 水混合物的溫度略高於 0°C。因此敘述 (2) 錯誤。 若水的初始溫度為 15°C，水降溫至 0°C 釋放的最大熱量為 0.2 \times 4200 \times 15 = 12600 J。由於這小於 16700 J，冰塊無法完全熔化，因此會有一些冰塊保持未熔化狀態。因此敘述 (3) 正確。

答對（C）得 1 分，答錯得 0 分。

(1) 氣體分子的方均根速率為 v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}。由於 v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}，當絕對溫度 T 加倍時，v_{\text{rms}} 僅變為原本的 \sqrt{2} 倍，而非 2 倍。故 (1) 錯誤。 (2) 在體積固定時，氣體分子的數量密度保持不變。分子與容器壁的碰撞速率正比於分子的平均速率（即正比於 \sqrt{T}）。因此，碰撞頻率僅變為原本的 \sqrt{2} 倍，而非 2 倍。故 (2) 錯誤。 (3) 根據理想氣體公式 PV = nRT，當體積恆定時，壓強 P \propto T。因此當 T 加倍時，P 亦會加倍。故 (3) 正確。

答對（A）得 1 分，答錯得 0 分。

物體 m_1 所受的法向反應力為 R = m_1 g = 3g。 物體 m_1 所受的動摩擦力為 f = \mu R = 0.2 \times 3g = 0.6g。 懸掛物體 m_2 的向下拉力（即其重力）為 m_2 g = 1g。 由於 m_2 g > f（即 1g > 0.6g），系統將會加速移動。 對整個系統沿運動方向應用牛頓第二定律： F_{\text{net}} = m_2 g - f = (m_1 + m_2) a \implies 1g - 0.6g = (3 + 1) a \implies 0.4g = 4a \implies a = 0.1g。

答對（A）得 1 分，答錯得 0 分。

設向右的方向為正。 滑車 A 的初始動量：p_{A,i} = 2 \times 3 = 6 kg m s^{-1}。 滑車 B 的初始動量：p_{B,i} = 1 \times (-1) = -1 kg m s^{-1}。 總初始動量 P_i = 6 - 1 = 5 kg m s^{-1}。 滑車 A 的最終動量：p_{A,f} = 2 \times 1 = 2 kg m s^{-1}。 根據動量守恆定律，總最終動量 P_f = P_i = 5 kg m s^{-1}。 滑車 B 的最終動量：p_{B,f} = 5 - 2 = 3 kg m s^{-1}。 滑車 B 的動量變化：\Delta p_B = p_{B,f} - p_{B,i} = 3 - (-1) = 4 kg m s^{-1}（向右）。 初始總動能：K_i = 0.5 \times 2 \times 3^2 + 0.5 \times 1 \times (-1)^2 = 9.5 J。 最終總動能：K_f = 0.5 \times 2 \times 1^2 + 0.5 \times 1 \times 3^2 = 5.5 J。 由於 K_f < K_i，動能不守恆，故碰撞為非彈性碰撞。

答對（A）得 1 分，答錯得 0 分。

在圓軌道上：GMm/r^2 = mv^2/r，得 v = \sqrt{GM/r}。因此 v \propto 1/\sqrt{r}。當半徑變為 4r 時，速率變為 v' = \sqrt{GM/(4r)} = 0.5 v。根據開普勒第三定律，T^2 \propto r^3，即 T \propto r^{3/2}。當半徑變為 4r 時，新週期為 T' = 4^{3/2} T = 8T。

答對（A）得 1 分，答錯得 0 分。

放大率 m 由公式 m = v/u = 2 給出，故 v = 2u。由於形成的是實像，像距 v 為正。應用透鏡公式：1/f = 1/u + 1/v。代入 f = 10 cm 及 v = 2u：1/10 = 1/u + 1/(2u) = 3/(2u)。因此 2u = 30，解得 u = 15 cm。

答對（B）得 1 分，答錯得 0 分。

R_1 和 R_2 並聯的等效電阻為 R_{12} = (6 \times 6)/(6 + 6) = 3 \Omega。 總電阻為 R_{\text{total}} = R_{12} + R_3 = 3 + 6 = 9 \Omega。 總電流為 I = V/R_{\text{total}} = 18/9 = 2 A。 跨越並聯分支（即 R_1）的電勢差為 V_1 = I \times R_{12} = 2 \times 3 = 6 V。 電路的總消耗功率為 P = I^2 R_{\text{total}} = 2^2 \times 9 = 36 W。

答對（A）得 1 分，答錯得 0 分。

(1) 當北極從上方接近時，向下的磁通量增加。根據楞次定律，銅環產生向上的感應磁場，從上方俯視其感應電流為逆時針。故 (1) 正確。 (2) 南極位於磁鐵頂端。當南極向下離開銅環時，向下的磁通量減少。銅環產生向下的感應磁場以阻礙其減少，從上方俯視其感應電流為順時針。故 (2) 錯誤。 (3) 根據楞次定律，感應電流總是阻礙相對運動，對磁鐵產生向上的阻力，使其加速度始終小於 g。故 (3) 正確。

答對（B）得 1 分，答錯得 0 分。

電壓公式中峰值為 V_0 = 220\sqrt{2} V。 方均根電壓為 V_{\text{rms}} = V_0/\sqrt{2} = 220 V。 方均根電流為 I_{\text{rms}} = V_{\text{rms}}/R = 220/44 = 5 A。 平均消耗功率為 P_{\text{avg}} = I_{\text{rms}} V_{\text{rms}} = 5 \times 220 = 1100 W。

答對（A）得 1 分，答錯得 0 分。

設 t 為經過的時間（小時）。 X 的強度為 A_X(t) = 1600 \times (1/2)^{t/3}。 Y 的強度為 A_Y(t) = 200 \times (1/2)^{t/6}。 兩者相等：1600 \times (1/2)^{t/3} = 200 \times (1/2)^{t/6} \implies 8 \times (1/2)^{t/3} = (1/2)^{t/6} \implies 8 = (1/2)^{t/6 - t/3} = 2^{t/6}。 由於 8 = 2^3，得 3 = t/6 \implies t = 18 小時。

答對（D）得 1 分，答錯得 0 分。

將冰的溫度從 \(-10 ^\circ\text{C}\) 升至 \(0 ^\circ\text{C}\) 所需的能量為 \(E_1 = m c_{\text{ice}} \Delta T = 0.5 \times 2100 \times 10 = 10500\text{ J}\)。在 \(0 ^\circ\text{C}\) 下將冰完全熔化所需的能量為 \(E_2 = m \ell_f = 0.5 \times 3.34 \times 10^5 = 167000\text{ J}\)。所需總能量為 \(E = E_1 + E_2 = 177500\text{ J}\)。加熱時間為 \(t = \frac{E}{P} = \frac{177500}{100} = 1775\text{ s}\)。

正確答案為 C。選擇 C 得 1 分。其他選項不得分。

根據理想氣體定律 \(PV = nRT\)，由於摩爾質量和體積 \(V\) 恆定，氣體質量 \(m \propto n = \frac{PV}{RT}\)。初始質量 \(m_1 \propto \frac{P_1}{T_1} = \frac{P}{300}\)。最終質量 \(m_2 \propto \frac{P_2}{T_2} = \frac{0.6P}{280}\)。剩餘比例為 \(\frac{m_2}{m_1} = \frac{0.6 P / 280}{P / 300} = 0.6 \times \frac{300}{280} \approx 0.643\)。

正確答案為 C。選擇 C 得 1 分。

總位移為 \(v-t\) 圖下方的面積，這是一個梯形。下底為 \(10\text{ s}\)，上底為 \(4\text{ s}\)（從 \(t=4\) 到 \(t=8\)），高為 \(10\text{ m s}^{-1}\)。面積 \(= \frac{1}{2} \times (10 + 4) \times 10 = 70\text{ m}\)。平均速率 \(= \frac{\text{總位移}}{\text{總時間}} = \frac{70\text{ m}}{10\text{ s}} = 7.0\text{ m s}^{-1}\)。

正確答案為 C。選擇 C 得 1 分。

首先測試木塊是否會下滑。平行於斜面的重力分力為 \(F_{\text{pull}} = mg \sin 30^\circ = 2 \times 9.8 \times 0.5 = 9.8\text{ N}\)。最大可能靜摩擦力為 \(f_{\text{max}} = \mu_s N = \mu_s mg \cos 30^\circ = 0.6 \times 2 \times 9.8 \times \cos 30^\circ \approx 10.18\text{ N}\)。由於 \(F_{\text{pull}} < f_{\text{max}}\)，木塊不會下滑，保持靜態平衡。靜摩擦力必須與向下的重力分力平衡，因此 \(f = F_{\text{pull}} = 9.8\text{ N}\)。

正確答案為 B。選擇 B 得 1 分。

在垂直彈簧振子系統中，相對於平衡位置的總機械能可視為純彈性勢能：\(E = \frac{1}{2} k A^2\)，其中 \(A = 0.1\text{ m}\) 是振幅。最大動能在木塊經過平衡位置時發生，等於總能量：\(K_{\text{max}} = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 0.1^2 = 0.5\text{ J}\)。

正確答案為 C。選擇 C 得 1 分。

萬有引力提供向心力：\(\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R} \implies v^2 = \frac{GM}{R}\)。動能為 \(K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2R}\)。因此，\(R = \frac{GMm}{2K}\)。這給出 \(\frac{R_P}{R_Q} = \frac{m_P}{m_Q} \times \frac{K_Q}{K_P}\)。已知 \(m_P = 0.5 m_Q \implies \frac{m_P}{m_Q} = \frac{1}{2}\)，且 \(K_P = 2 K_Q \implies \frac{K_Q}{K_P} = \frac{1}{2}\)。因此，\(\frac{R_P}{R_Q} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)。

正確答案為 A。選擇 A 得 1 分。

根據折射定律，\(n_X \sin \theta_X = n_Y \sin \theta_Y \implies n_X \sin 30^\circ = n_Y \sin 45^\circ \implies \frac{n_Y}{n_X} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{0.5}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)。全內反射只能在光線從光密介質（\(X\)) 射向光疏介質（\(Y\)) 時發生。臨界角 \(\theta_c\) 滿足 \(\sin \theta_c = \frac{n_Y}{n_X} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)，得 \(\theta_c = 45^\circ\)。

正確答案為 B。選擇 B 得 1 分。

對於兩端固定的弦線，第 \(n\) 諧音的頻率為 \(f_n = n f_1\)，其中 \(f_1\) 為基音頻率。我們有 \(f_3 = 3 f_1 = 120\text{ Hz}\)，這意味著 \(f_1 = 40\text{ Hz}\)。因此，第五諧音的頻率為 \(f_5 = 5 f_1 = 5 \times 40 = 200\text{ Hz}\)。

正確答案為 C。選擇 C 得 1 分。

串聯時，等效電阻為 \(R_1 = 3R\)。消耗功率為 \(P_1 = \frac{V^2}{3R}\)。並聯時，等效電阻為 \(R_2 = \frac{R}{3}\)。消耗功率為 \(P_2 = \frac{V^2}{R/3} = \frac{3V^2}{R}\)。因此，\(\frac{P_1}{P_2} = \frac{V^2 / 3R}{3V^2 / R} = \frac{1}{9}\)。

正確答案為 A。選擇 A 得 1 分。

根據法拉第電磁感應定律，平均感應電動勢為 \(\varepsilon = N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = N A \frac{\Delta B}{\Delta t}\)。代入已知數值：\(\varepsilon = 50 \times 0.2 \times \frac{0.8 - 0.2}{0.3} = 10 \times \frac{0.6}{0.3} = 20\text{ V}\)。

正確答案為 C。選擇 C 得 1 分。

為防止滑動，靜摩擦力必須提供所需的向心力：\(\mu m g \ge m \omega^2 r \implies \mu \ge \frac{\omega^2 r}{g}\)。最小摩擦係數為 \(\mu_{min} = \frac{\omega^2 r}{g}\)。當 \(\omega' = 2\omega\) 且 \(r' = r/2\) 時，有 \(\mu'_{min} = \frac{(2\omega)^2 (r/2)}{g} = 2 \frac{\omega^2 r}{g} = 2 \mu_{min}\)。因此，最小摩擦係數加倍。

正確選項 C 得 1 分。方法：列出摩擦力不等式 \(\mu g \ge \omega^2 r\) 並代入變化。

根據楞次定律，感應電流總是阻礙相對運動。當銅環接近磁鐵時，向上的磁通量增加，產生向下的感應磁場，導致向上的排斥力。說法 (1) 正確。當銅環恰好位於對稱條形磁鐵的中點時，穿過銅環的磁通量達到最大值，這意味著磁通量的變化率為零（\(\frac{d\Phi}{dt} = 0\)）。因此感應電動勢和電流為零，磁力也為零。說法 (2) 正確。當銅環離開磁鐵時，向上的磁通量減少，產生向上的感應磁場，導致向上的吸引力以阻礙其離開。說法 (3) 錯誤。

正確選項 C 得 1 分。分析運動各個階段的磁通量變化率和楞次定律。

根據折射定律，\(n_X \sin \theta_X = n_Y \sin \theta_Y\)。由於折射率 \(n = c/v\)，我們可以寫成 \(\frac{\sin \theta_X}{v_X} = \frac{\sin \theta_Y}{v_Y}\)。整理後得到速度之比：\(\frac{v_X}{v_Y} = \frac{\sin \theta_X}{\sin \theta_Y} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{0.5}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)。因此，在 X 與 Y 中的速度之比為 \(1 : \sqrt{2}\)。

正確選項 A 得 1 分。以波速表示折射定律：\(\frac{v_X}{v_Y} = \frac{\sin \theta_X}{\sin \theta_Y}\) 並進行計算。