2025 DSE 物理 模擬試題 | Past Paper 練習

在一列前進橫波中，兩質點 \(P\) 和 \(Q\) 相距 \(0.6\text{ m}\)。該波的傳播速度為 \(12\text{ m s}^{-1}\)，頻率為 \(10\text{ Hz}\)。求 \(P\) 和 \(Q\) 之間的相位差（以弧度表示）？

一條長度為 \(L\)、兩端固定的弦線以其第三諧音（第二泛音）振動，頻率為 \(f_3\)。若將弦線的張力增至原來的四倍，而長度保持不變，其第一諧音（基頻）的頻率將是多少？

兩個電阻值同為 \(R\) 的相同電阻器相互並聯，此組合再與第三個電阻值同為 \(R\) 的相同電阻器串聯。一個開關 \(S\) 與第三個電阻器並聯。求當 \(S\) 斷開（開路）與當 \(S\) 閉合（通路）時，電路總等效電阻的比值？

兩個燈泡 \(X\) 和 \(Y\) 的額定值分別為「\(12\text{ V}, 24\text{ W}\)」和「\(12\text{ V}, 12\text{ W}\)」。若將它們串聯接駁至一個 \(12\text{ V}\) 的理想直流電源，求兩個燈泡消耗的總電功率。（假設燈泡的電阻保持不變。）

一束光線垂直穿入一個直角三角形玻璃三棱鏡，入射面為該三棱鏡 \(60^\circ\) 角的對邊。光線隨後射向該三棱鏡的斜邊。若要在斜邊上發生全內反射，玻璃的最小折射率是多少？

將一物體放在焦距為 \(f\) 的薄凸透鏡前，在光屏上形成一個實像。若物體與光屏之間的距離為 \(4.5f\)，求該像的兩個可能放大率。

一根長為 \(0.5\text{ m}\) 的金屬棒在垂直於指向紙面內的均勻磁場（磁感應強度為 \(0.8\text{ T}\)）的方向上，以 \(4\text{ m s}^{-1}\) 的恆定速度沿兩條平行導電導軌滑動。一個電阻值為 \(2\ \Omega\) 的電阻器跨接在導軌上以形成閉合迴路。求迴路中的感應電流及作用在金屬棒上的磁力。

一個質子（電荷為 \(+e\)，質量為 \(m\)）以水平速度 \(v\) 進入一個指向垂直向上的均勻磁場 \(B\) 區域。關於質子隨後在磁場中的運動，下列哪些敘述是正確的？

(1) 磁力不對質子作功。
(2) 質子的速率會增加。
(3) 質子的動能保持不變。

兩顆衛星 \(A\) 和 \(B\) 分別在半徑為 \(R_A\) 和 \(R_B\) 的圓形軌道上繞地球運行。若衛星 \(A\) 的公轉週期是衛星 \(B\) 的 \(8\text{ 倍}\)，求它們的軌道速率之比 \(\frac{v_A}{v_B}\)？

在氫原子中，當電子從能級 \(n = 3\) 躍遷至 \(n = 1\) 時，會輻射出波長為 \(\lambda_1\) 的光子。當電子從 \(n = 2\) 躍遷至 \(n = 1\) 時，會輻射出波長為 \(\lambda_2\) 的光子。求比值 \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\)？

一根長度為 \(L\) 的弦兩端固定，並以頻率 \(f\) 進行第三諧音振動。若將該弦的張力增至原來的四倍，而其長度及線質量密度保持不變，則新的基頻是多少？

三個電阻值均為 \(R\) 的相同電阻器與一個電壓為 \(V\) 的理想電池連接。在電路 1 中，兩個電阻器並聯，然後與第三個電阻器串聯，其總消耗電功率為 \(P_1\)。在電路 2 中，電阻器重新排列，其中兩個串聯，再與第三個並聯，其總消耗電功率為 \(P_2\)。求 \(P_2 / P_1\) 的比例。

一束單色光垂直穿過半圓形玻璃磚（折射率 \(n = 1.50\)）的圓弧面，射向平面部分的中心 \(O\)。該平面與某種液體接觸。當在 \(O\) 點的入射角超過 \(60^\circ\) 時，便會發生全內反射。求該液體的折射率。

一個邊長為 \(L\)、電阻為 \(R\) 的正方形金屬線圈，以恆定速度 \(v\) 拉出一垂直於線圈平面的均勻磁場 \(B\) 區域。維持此恆定速度所需的外部拉力大小是多少？

兩顆衛星 \(X\) 和 \(Y\) 繞地球作圓軌道運行。\(X\) 的軌道半徑是 \(Y\) 的兩倍（即 \(r_X = 2r_Y\)）。問以下哪些敘述是正確的？

(1) 它們的軌道速度之比為 \(v_X / v_Y = 1 / \sqrt{2}\)。
(2) 它們的公轉週期之比為 \(T_X / T_Y = 2\sqrt{2}\)。
(3) 若它們的質量相同，則它們的動能之比為 \(K_X / K_Y = 1/2\)。

在氫原子中，能級由 \(E_n = -13.6 / n^2\text{ eV}\) 給出，其中 \(n = 1, 2, 3, \dots\)。電子從 \(n = 3\) 躍遷至 \(n = 1\) 時發射出一個頻率為 \(f_1\) 的光子。另一個從 \(n = 2\) 躍遷至 \(n = 1\) 的過程則發射出一個頻率為 \(f_2\) 的光子。求 \(f_1 / f_2\) 的比例。

一個保溫容器盛有 \(0.20\text{ kg}\)、溫度為 \(20^\circ\text{C}\) 的水。將一個質量為 \(0.50\text{ kg}\)、溫度為 \(80^\circ\text{C}\) 的金屬塊放入水中。已知水的比熱容為 \(4200\text{ J kg}^{-1\,\circ}\text{C}^{-1}\)，金屬塊的比熱容為 \(400\text{ J kg}^{-1\,\circ}\text{C}^{-1}\)。假設沒有熱量流失到周圍環境或容器，求混合物的最終平衡溫度。

一輛質量為 \(m\) 的汽車由靜止開始沿直路水平加速。汽車引擎輸出恆定的功率 \(P\)。假設阻力可忽略不計，求汽車速度 \(v\) 隨時間 \(t\) 變化的函數。

一個質量為 \(m\)、向東以速度 \(u\) 運動的小球，與另一個質量為 \(2m\)、向北以速度 \(u\) 運動的小球相撞。碰撞後，兩個小球粘在一起，作為一個整體運動。求碰撞後該整體的物理速度大小。

一個固定體積的密封剛性容器中盛有理想氣體。該氣體的溫度由 \(27^\circ\text{C}\) 升至 \(327^\circ\text{C}\)。問以下哪些關於該氣體的敘述是正確的？

(1) 氣體分子的方均根（r.m.s.）速率加倍。
(2) 氣體的壓強加倍。
(3) 氣體分子的平均動能加倍。

一列波長為 \(\lambda\) 的正弦橫波沿正 \(x\) 方向傳播。在某一時刻，位於 \(x = 2\text{ cm}\) 的質點的位移達到正向最大值。下列關於質點運動的說法中，哪些是正確的？

(1) 位於 \(x = 2\text{ cm}\) 的質點瞬時靜止。
(2) 位於 \(x = 2\text{ cm}\) 的質點與位於 \(x = 2 + 0.5\lambda\text{ cm}\) 的質點之間的相差為 \(\pi\text{ rad}\)。
(3) 在此時刻，位於 \(x = 2 + 0.25\lambda\text{ cm}\) 的質點正向正 \(y\) 方向（向上）運動。

一束光線由介質 X 射入介質 Y，入射角為 \(\theta\)。介質 X 和 Y 的折射率分別為 \(n_X\) 和 \(n_Y\)，其中 \(n_X > n_Y\)。若折射角為 \(r\)，光線的偏向角為 \(d = r - \theta\)，則 \(d\) 的最大可能值是多少？

三個相同的電阻器（每個電阻均為 \(R\)）與一個電動勢為 \(\mathcal{E}\)、內阻為 \(r\) 的電池連接。當它們串聯時，外電路消耗的總功率為 \(P_s\)；當它們並聯時，外電路消耗的總功率為 \(P_p\)。若 \(r = R\)，則 \(P_s / P_p\) 的比值是多少？

一個質量為 \(m\)、寬度為 \(w\)、電阻為 \(R\) 的剛性矩形導電線圈由靜止釋放，並在重力作用下垂直下落。一均勻水平磁場 \(B\) 垂直於線圈平面，但僅存在於高度為 \(h\) 的區域內。當線圈底邊進入磁場時，觀察到它以恆定的終端速度 \(v\) 下落。下列哪項是 \(v\) 的表達式？（忽略空氣阻力和自感。）

一個質量為 \(m\) 的衛星繞地球（質量為 \(M\)）作半徑為 \(r\) 的圓周軌道運動。由於大氣阻力，衛星受到微小的阻力，導致其軌道半徑緩慢減小。在一小段時間內，軌道半徑由 \(r\) 減小至 \(r - \Delta r\)（其中 \(\Delta r \ll r\)）。衛星的動能 \(K\) 和重力勢能 \(U\) 會如何變化？

在氫原子中，當電子從能級 \(n = 3\) 躍遷到 \(n = 2\) 時，會輻射出波長為 \(\lambda_0\) 的光子。當電子從 \(n = 4\) 躍遷到 \(n = 3\) 時，輻射出的光子波長是多少？

在楊氏雙縫干涉實驗中，使用波長為 \(\lambda_1\) 的單色光。在距離為 \(D\) 的屏幕上，條紋間距為 \(y_1\)。當波長改為 \(\lambda_2\)，且雙縫間距減半、屏幕距離加倍時，新的條紋間距為 \(y_2\)。若 \(y_2 = 3 y_1\)，則比值 \(\lambda_2 / \lambda_1\) 是多少？

一個實物放置在焦距為 \(f\) 的凸透鏡前 \(u\) 處。在距離 \(v\) 處形成一個放大率為 \(m\) 的實像。繪製 \(m\) 對 \(v\) 的關係線圖。下列哪項是正確的？

一個具有電動勢 \(\mathcal{E}\) 和內阻 \(r\) 的真實電池與一個電阻為 \(R\) 的可變電阻器連接。當 \(R\) 從極小的值增加到極大的值時，下列哪些說法是正確的？

(1) 電池的端電壓增加。
(2) 內阻消耗的功率增加。
(3) 電路效率（定義為輸送至 \(R\) 的功率與電池提供的總功率之比）增加。

一個理想變壓器，其初級線圈圈數為 \(N_P\)，次級線圈圈數為 \(N_S\)。初級線圈連接到一個恆定均方根（r.m.s.）電壓為 \(V\) 的交流電源。次級線圈兩端連接一個電阻為 \(R\) 的電阻器。初級電路的均方根電流是多少？

一列頻率為 \(10\text{ Hz}\) 的進行波沿一條拉緊的弦線傳播。弦線上兩質點 \(P\) 和 \(Q\) 相距 \(0.15\text{ m}\)。\(P\) 與 \(Q\) 振動之間的最小相位差為 \(\pi/3\text{ rad}\)。求波速。

一個電阻器 \(R_1 = 10\ \Omega\) 與一個並聯網絡串聯。該並聯網絡包含兩個支路：一條支路包含一個電阻器 \(R_2 = 20\ \Omega\)，另一條支路包含一個電阻器 \(R_3\) 與開關 \(S\) 串聯。將一個電動勢為 \(12\text{ V}\) 且內阻可忽略的電池接在整個電路的兩端。一個理想電壓表接在 \(R_1\) 兩端。當開關 \(S\) 斷開時，電壓表的讀數為 \(4\text{ V}\)。當開關 \(S\) 閉合時，電壓表的讀數變為 \(6\text{ V}\)。求 \(R_3\) 的電阻。

兩顆衛星 \(X\) 和 \(Y\) 繞地球作勻速圓周運動。\(X\) 的軌道半徑為 \(R\)，而 \(Y\) 的軌道半徑為 \(4R\)。\(Y\) 的質量是 \(X\) 的兩倍。若 \(X\) 的動能為 \(E\)，求 \(Y\) 的動能。

一條長度為 \(0.80\ \text{m}\) 的弦線兩端固定。當它以 \(150\ \text{Hz}\) 的頻率進行第三諧波振動時：\n(a) 求波在弦線中的傳播速度。\n(b) 若弦線的張力增至原來的四倍，求弦線的新基頻。

兩個同相的相干聲源 \(S_1\) 和 \(S_2\) 相距 \(2.0\ \text{m}\)。一個探測器置於 \(P\) 點，該點與 \(S_1\) 和 \(S_2\) 的距離分別為 \(4.50\ \text{m}\) 和 \(5.25\ \text{m}\)。已知聲速為 \(340\ \text{m s}^{-1}\)，聲音頻率為 \(680\ \text{Hz}\)。\n(a) 試通過計算判斷在 \(P\) 點發生的是相長干涉還是相消干涉。\n(b) 若兩個聲源的頻率逐漸增加，求下一個使 \(P\) 點的干涉性質發生改變的頻率。

一個電動勢為 \(\varepsilon\)、內阻為 \(r\) 的真實電池與一可變電阻器 \(R\) 接通。當 \(R = 4.0\ \Omega\) 時，電池的端電壓為 \(6.0\ \text{V}\)。當 \(R\) 增加至 \(10.0\ \Omega\) 時，端電壓變為 \(7.5\ \text{V}\)。\n(a) 計算 \(r\) 和 \(\varepsilon\)。\n(b) 求可輸出至可變電阻器 \(R\) 的最大功率。

一部電熱水壺（額定值為 "\(220\ \text{V}, 1800\ \text{W}\)"）與一部微波爐（額定值為 "\(220\ \text{V}, 1200\ \text{W}\)"）並聯接駁至一個設有 \(15\ \text{A}\) 保險絲的 \(220\ \text{V}\) 電源。\n(a) 計算兩部電器均在額定值下工作時，從電源汲取的總電流。並解釋保險絲會否熔斷。\n(b) 若電壓因電網波動下降了 \(10\%\)，估算電熱水壺發熱功率的百分比降幅（假設電熱水壺的電阻保持不變）。

一個半圓形玻璃磚的折射率為 \(1.62\)。\n(a) 計算玻璃與空氣界面的臨界角。\n(b) 若將其浸入折射率為 \(1.35\) 的液體中，求新的臨界角。\n(c) 若光波的頻率增加，解釋其臨界角會如何變化（假設為正常色散，即折射率隨頻率增加而增大）。

一個高度為 \(3.0\ \text{cm}\) 的物體置於凸透鏡前 \(12.0\ \text{cm}\) 處，在透鏡另一側的光屏上形成一個高度為 \(6.0\ \text{cm}\) 的實像。\n(a) 計算該透鏡的焦距。\n(b) 若將物體向透鏡移近 \(4.0\ \text{cm}\)，說明並解釋若要在光屏上重新凝聚清晰像，光屏需要如何移動。

一個 \(50\) 匝、邊長為 \(0.10\ \text{m}\) 且電阻為 \(2.0\ \Omega\) 的正方形線圈垂直置於均勻磁場中，磁場方向指向紙面內（垂直線圈平面）。磁場強度 \(B\) 在 \(0.30\ \text{s}\) 內由 \(0.80\ \text{T}\) 均勻減小至 \(0.20\ \text{T}\)。\n(a) 計算線圈中的感應電動勢大小及感應電流。\n(b) 確定從上往下看時感應電流的方向（順時針或逆時針）。利用楞次定律解釋你的答案。

一個質量為 \(m\) 的衛星在半徑為 \(r\) 的圓形地球同步軌道上運行。\n(a) 解釋為何同步衛星必須在地球赤道正上方運行。\n(b) 已知同步軌道半徑為 \(4.2 \times 10^7\ \text{m}\)，計算地球的質量。（取重力常數 \(G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}\)。）

氫原子的能級可表示為 \(E_n = -\frac{13.6}{n^2}\ \text{eV}\)。電子由 \(n=3\) 能級（\(-1.51\ \text{eV}\)）躍遷至 \(n=1\) 基態（\(-13.6\ \text{eV}\)）。\n(a) 計算在此躍遷過程中發射的光子的頻率。（取 \(1\ \text{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{J}\)，\(h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}\)。）\n(b) 解釋一個能量為 \(11.5\ \text{eV}\) 的光子能否被初始處於基態的氫原子吸收。

一個質量為 \(800\text{ kg}\) 的太空探測器正圍繞一顆新發現的太陽系外行星作圓周軌道運行。

(a) 推導一個關係式，以聯繫探測器的軌道週期 \(T\)、圓周軌道半徑 \(r\) 和外行星的質量 \(M\)。寫出推導過程中的任何一個主要假設。 (3 分)

(b) 探測器在外行星表面上方 \(1.5 \times 10^6\text{ m}\) 的高度運行。外行星的半徑為 \(3.5 \times 10^6\text{ m}\)。若軌道週期為 \(4.0\text{ 小時}\)，計算：
    (i) 外行星的質量 \(M\)。 (3 分)
    (ii) 外行星表面的重力加速度。 (2 分)

(c) 現計劃從探測器發射一個小型着陸艙以登陸外行星。該着陸艙相對於探測器的運動方向向後彈射。解釋彈射後着陸艙的軌道參數會如何即時改變，以及為什麼這個操作有助於它下降。 (3 分)

一個由 \(N = 150\) 匝組成的平面正方形線圈，電阻 \(R = 2.5\ \Omega\)，邊長 \(L = 0.20\text{ m}\)，以恆定的水平速度 \(v = 3.0\text{ m s}^{-1}\) 進入一個均勻磁場區域 \(B = 0.40\text{ T}\)。線圈平面呈水平，且與垂直向上（指向紙外）的磁場垂直。

(a) 在線圈進入磁場的時間間隔內：
    (i) 證明線圈中的感應電動勢（e.m.f.）為 \(36\text{ V}\)。 (2 分)
    (ii) 計算線圈中的感應電流，並指出從上往下看時電流的方向（順時針或逆時針）。用楞次定律解釋你的答案。 (3 分)

(b) 計算當線圈進入磁場時，作用於線圈前緣的磁力大小和方向。 (3 分)

(c) 解釋為什麼必須施加一個外在的水平力才能使線圈保持恆速運動，並計算該外力所提供的機械功率。 (3 分)

一根光導纖維由折射率為 \(n_1 = 1.48\) 的圓柱形纖芯和外圍折射率為 \(n_2 = 1.42\) 的包層組成。

(a) (i) 定義 臨界角。 (1 分)
    (ii) 計算光線從纖芯射向包層界面時的臨界角 \(\theta_c\)。 (2 分)

(b) 光線從空氣（折射率 \(n_0 = 1.00\)）以相對於光纖軸線呈入射角 \(\theta_a\) 射入纖芯。
    (i) 證明若光線要在纖芯與包層的界面發生全反射，空氣中的最大入射角 \(\theta_{a,\text{max}}\) 由以下公式給出：
\(\sin \theta_{a,\text{max}} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}\)。 (4 分)
    (ii) 由此，計算該最大角度 \(\theta_{a,\text{max}}\)。 (2 分)

(c) 寫出在長途電信中，使用光導纖維比傳統銅線的一個優點和一個缺點。 (2 分)

兩顆行星 P 和 Q 在圓軌道上圍繞一顆遙遠的恆星公轉。P 的軌道半徑為 \(R\)，公轉週期為 \(T\)。若 Q 的公轉週期為 \(8T\)，則 Q 的軌道半徑是多少？

一個質量為 \(m\) 的衛星在半徑為 \(r\) 的圓軌道上圍繞質量為 \(M\) 的地球公轉，其動能為 \(K\)。若推進器將衛星移至半徑為 \(2r\) 的較高穩定圓軌道，求推進器對衛星所做的功。

恆星 X 是一顆表面溫度為 \(3000\text{ K}\)、光度為 \(10^4 L_{\odot}\) 的紅巨星。恆星 Y 是一顆表面溫度為 \(12000\text{ K}\)、光度為 \(10^{-4} L_{\odot}\) 的白矮星。恆星 X 的半徑與恆星 Y 的半徑之比 \(\frac{R_X}{R_Y}\) 是多少？

觀測到一個遙遠星系的氫吸收譜線，其靜止波長 \(\lambda_0 = 656.3\text{ nm}\) 紅移至 \(\lambda = 671.6\text{ nm}\)。若哈勃常數為 \(H_0 = 70\text{ km s}^{-1}\text{ Mpc}^{-1}\)，試估算該星系與我們的距離。（取光速 \(c = 3.0 \times 10^5\text{ km s}^{-1}\)）

下列關於恆星演化的敘述，哪些是正確的？
(1) 初始質量遠大於太陽（例如 \(15 M_{\odot}\)）的恆星會以白矮星結束生命。
(2) 主序星主要通過其核心中氫聚變為氦來產生能量。
(3) 大質量恆星在主序星階段的壽命比低質量恆星長，因為它擁有更多氫燃料。

兩顆恆星 A 和 B 組成雙星系統，以週期 \(T\) 圍繞它們的共同質心公轉。恆星 A 的質量為 \(M_A\)，恆星 B 的質量為 \(M_B = 2 M_A\)。下列哪些敘述是正確的？
(1) 恆星 A 的軌道半徑是恆星 B 的兩倍。
(2) 恆星 A 的線速度是恆星 B 的兩倍。
(3) 恆星 B 對恆星 A 施加的萬有引力是恆星 A 對恆星 B 施加的兩倍。

某恆星的視差角為 \(0.04\text{ 角秒}\)。該恆星與地球的距離是多少光年？（已知：\(1\text{ pc} = 3.26\text{ 光年}\)）

下列哪些是支持大爆炸理論的證據？
(1) 宇宙微波背景輻射（CMB）高度各向同性，其溫度約為 \(2.7\text{ K}\)。
(2) 宇宙中輕元素（例如氦和氘）的豐度與大爆炸核合成的預測吻合。
(3) 觀測到幾乎所有遙遠星系都在遠離我們，且其退行速度與距離成正比。

一顆外行星繞着一顆遙遠的恆星作圓形軌道運行，軌道半徑為 \(6.0 \times 10^{10} \text{ m}\)，公轉週期為 \(90\) 天。\n\n(a) 求該恆星的質量。(3分)\n\n(b) 該恆星是一顆主序星。其光度 \(L\) 與質量 \(M\) 滿足質量—光度關係 \(L \propto M^{3.5}\)。已知太陽的質量為 \(2.0 \times 10^{30} \text{ kg}\)，光度為 \(3.8 \times 10^{26} \text{ W}\)，求該恆星的光度。(3分)\n\n(c) 求該外行星接收到來自其母恆星的輻射通量（恆星輻射強度）。(2分)\n\n(d) 指出常用於探測這類因恆星運動而發現外行星的光譜學方法，並簡述其工作原理。(2分)

當頻率為 \(f\) 的單色光照射到某金屬板時，光電子的遏止電勢差為 \(V\)。當頻率為 \(1.5f\) 的單色光照射到同一金屬板時，遏止電勢差變為 \(2V\)。求該金屬板的逸出功。

根據氫原子的玻爾模型，在第 \(n\) 能態軌道上運動的電子的德布羅意波長 \(\lambda\) 如何取決於主量子數 \(n\)？

電子（質量為 \(m_e\)）與質子（質量為 \(m_p\)）均自靜止起經過相同的電勢差 \(V\) 加速。電子與質子的德布羅意波長之比 \(\frac{\lambda_e}{\lambda_p}\) 是多少？

在光電效應實驗中，三束光線 P、Q 和 R 照射在同一金屬板上。每束光的光電流 \(I\) 隨施加電壓 \(V\) 的變化描述如下：
- 光束 P 和光束 Q 具有相同的遏止電勢差，但光束 P 的飽和電流大於光束 Q。
- 光束 Q 和光束 R 具有不同的遏止電勢差，其中光束 R 的遏止電勢差比光束 Q 更負，但它們具有相同的飽和電流。
下列哪些敘述是正確的？
(1) 光束 P 和光束 Q 頻率相同，但光束 P 的強度較高。
(2) 光束 R 的頻率高於光束 Q。
(3) 光束 R 激發的光電子的最大動能大於光束 P 激發的光電子的最大動能。

一工作電壓為 \(V\) 的 X 射線管產生一包含最小波長 \(\lambda_{\min}\) 的連續譜以及特徵峰的 X 射線譜。若將管電壓增加至 \(1.5V\)，下列哪些敘述是正確的？
(1) 連續譜的最小波長變為 \(\frac{2}{3}\lambda_{\min}\)。
(2) 特徵峰的波長向較短波長方向移動。
(3) X 射線的整體強度增加。

下列關於掃描隧道顯微鏡（STM）的敘述，哪些是正確的？
(1) STM 的物理原理是基於電子的波動性及量子隧道效應。
(2) 當金屬探針針尖與樣品表面之間的距離增加時，隧道電流會呈指數級增加。
(3) STM 可用於操控表面上的單個原子。

在電子繞射實驗中，一束動能為 \(E\) 的電子束穿過薄多晶石墨片，在屏幕上產生一系列同心繞射環。若電子的動能增加至 \(4E\)，繞射環的半徑會如何變化？

在氫原子中，電子從軌道 \(n = 3\) 躍遷至 \(n = 2\)，發射出頻率為 \(f_1\) 的光子。接著它再從 \(n = 2\) 躍遷至 \(n = 1\)，發射出頻率為 \(f_2\) 的光子。比例 \(\frac{f_1}{f_2}\) 是多少？

一個雙星系統由質量為 \(M_1\) 的恆星 A 與質量為 \(M_2\) 的恆星 B 組成，它們繞著共同的質心作圓周運動。公轉軌道面與我們在地球上的視線方向平行。

(a) 解釋為什麼從地球上觀測，該系統的光譜線會呈現週期性分裂。(3分)

(b) 兩顆恆星之間的距離為 \(d\)，而恆星 A 和恆星 B 繞質心運動的軌道半徑分別為 \(r_1\) 和 \(r_2\)，即 \(d = r_1 + r_2\)。

(i) 證明 \(r_1 = \frac{M_2}{M_1 + M_2} d\)。(2分)

(ii) 證明該系統的公轉週期 \(T\) 滿足以下關係：

\[M_1 + M_2 = \frac{4\pi^2 d^3}{G T^2}\]

(3分)

(iii) 若兩星間距 \(d\) 為 \(8.0 \times 10^{11} \text{ m}\) 且公轉週期 \(T\) 為 \(1.26 \times 10^8 \text{ s}\)，求該雙星系統的總質量 \((M_1 + M_2)\)。(2分)