三角比的應用：练习题

在長方形 \(ABCD\) 中，\(AB = 12 \text{ cm}\)，\(BC = 5 \text{ cm}\)。求對角線 \(AC\) 與邊 \(AB\) 之間的夾角（準確至最接近的度）。

一艘船從港口 \(P\) 出發，以方位角 \(055^\circ\) 航行 40 公里到達點 \(A\)。另一艘船從港口 \(P\) 出發，以方位角 \(145^\circ\) 航行 30 公里到達點 \(B\)。求點 \(A\) 與點 \(B\) 之間的距離。

在下圖中，一座高 \(h\) 米的塔 \(AB\) 立於水平地面上。從點 \(C\) 測得塔頂 \(A\) 的仰角為 \(30^\circ\)。觀測者向塔底 \(B\) 的方向走近 60 米到達點 \(D\)，測得塔頂 \(A\) 的仰角變為 \(45^\circ\)。已知 \(C, D, B\) 在同一直線上，求該塔的高度 \(h\)。 (答案須準確至一位小數)

從一座高 \(50 \text{ m}\) 的大廈頂部測得地面上一點 \(P\) 的俯角為 \(30^\circ\)。求 \(P\) 與大廈底部的水平距離（答案以根號 \(\sqrt{\phantom{x}}\) 表示）。

船 \(A\) 位於港口 \(O\) 的正東方 \(15 \text{ km}\) 處，船 \(B\) 則位於港口 \(O\) 的正北方 \(20 \text{ km}\) 處。求從船 \(A\) 測得船 \(B\) 的真方位角（準確至最接近的度）。

某目標物位於觀察者的正西方。若該目標物的真方位角改以羅盤方位角表示，應記為什麼？

一架直升機停留在離地面 \( 500 \text{ m} \) 的上空。從直升機測得地面上某小島的俯角為 \( 15^\circ \)。求直升機與該小島之間的直線距離。

(答案須準確至最接近的整数。)

一座垂直塔 \(OT\) 立在水平地面上。點 \(A\) 位於塔底 \(O\) 的正西方，點 \(B\) 位於 \(O\) 的正北方。已知從 \(A\) 測得塔頂 \(T\) 的仰角為 \(30^\circ\)，從 \(B\) 測得塔頂 \(T\) 的仰角為 \(60^\circ\)。若 \(A\) 與 \(B\) 之間的距離為 \(40\text{ m}\)，求塔的高度 \(OT\)。
(答案須準確至三位有效數字。)

一艘船從港口 O 出發，先向方位角 \(060^\circ\) 方向航行了 \(12\) 公里到達點 A。然後，船轉向方位角 \(150^\circ\) 方向繼續航行 \(5\) 公里到達點 B。

(a) 證明 \(\angle OAB = 90^\circ\)。
(b) 求港口 O 與點 B 之間的距離。
(c) 求點 B 相對於港口 O 的真方位角。（答案須準確至三位有效數字。）

下圖所示為一座垂直樹立於水平地面上的通訊塔 PQ，其中 Q 是塔的底部。觀察者站在地面上的 A 點和 B 點。已知 A、B 和 Q 三點共線於水平地面上，且 B 點位於 A 點和 Q 點之間。A 點和 B 點之間的距離 AB 為 \(60\) 米。