坐標簡介：你的數學世界地圖指南！

各位同學好！歡迎來到奇妙的坐標世界。你玩電子遊戲時有沒有試過在地圖上尋找角色？或者用導航App來找路？這些都多虧了坐標！

本章將會教你如何在平面上描述一個點的精確位置。這就像學習藏寶圖的秘密代碼一樣。學完這章，你就可以在直角坐標系和極坐標系中標示點、計算水平和鉛垂點之間的距離、計算面積，甚至用數字來進行圖形變換。讓我們開始這趟探險之旅吧！


1. 直角坐標系：我們的地圖

要找出位置，我們需要一張地圖。在數學中，我們的地圖稱為直角坐標系或笛卡兒平面。它看起來像一個帶有兩條互相垂直相交主要線的網格。

我們地圖的關鍵部分
  • x軸：這是一條左右延伸的水平線。你可以把它想像成一條你沿著走的走廊。
  • y軸：這是一條上下延伸的鉛垂線。你可以把它想像成你上下的樓梯。
  • 原點：這是x軸和y軸相交的特殊點。它是我們的起點，其位置永遠是(0, 0)。
坐標：點的地址

平面上每個點都有一個獨特的地址，稱為坐標，我們會將它寫成一個有序數對：\((x, y)\)。

  • 第一個數是x坐標。它告訴你從原點向左或向右移動了多遠。
  • 第二個數是y坐標。它告訴你向上或向下移動了多遠。
助記口訣：先跑再跳！

一個記住順序\((x, y)\)的簡單方法是：你必須「跑」（沿著水平x軸）然後才能「跳」（沿著鉛垂y軸上或下）。另外，英文字母中X也在Y之前！

例子：讓我們找找點\(P(3, 2)\)。

1. 從原點\((0, 0)\)開始。
2. 沿x軸向右「跑」3個單位（因為x坐標是正3）。
3. 從那裡，向上「跳」2個單位（因為y坐標是正2）。
4. 標示出那個位置。那就是點P了！

四個象限

x軸和y軸將平面分為四個區域，稱為象限（從右上角開始逆時針方向編號）。坐標的正負號會告訴你點在哪個象限：

  • 象限I：右上角。這裡x和y都是正數：\((+, +)\)
  • 象限II：左上角。這裡x是負數，y是正數：\((-, +)\)
  • 象限III：左下角。這裡x和y都是負數：\((-, -)\)
  • 象限IV：右下角。這裡x是正數，y是負數：\((+, -)\)

重點提示

直角坐標系給予每個點一個獨特的\((x, y)\)地址，精確地告訴我們它在平面上的位置。


2. 極坐標系

除了直角坐標網格之外，還有另一種常用來描述點位置的方法：極坐標系。

極坐標不是沿著水平和鉛垂線組成的網格移動，而是利用與固定參考點的距離以及與固定方向的角來描述一個點。

極坐標的關鍵部分
  • 極點：固定的起點（類似原點\(O\)）。
  • 極軸：從極點向正右方引出的一條水平射線（類似正x軸）。
  • 坐標\((r, \theta)\)：
    • \(r\)是從極點到該點的直線距離（其中\(r \ge 0\)）。
    • \(\theta\)是從極軸逆時針方向量度至連接極點與該點之直線的角。
例子：標示點\(A(4, 60^\circ)\)。

1. 從極軸開始。
2. 逆時針方向旋轉\(60^\circ\)角。
3. 沿此方向向外移動4個單位距離以標示點A。

重點提示

在極坐標\((r, \theta)\)中，\(r\)表示與極點的距離，而\(\theta\)表示逆時針方向角。


3. 尋找簡單距離

讓我們找出位於水平或鉛垂直線上點之間的距離吧。

水平線上兩點之間的距離

如果兩點位於同一條水平線上，它們的y坐標將會相同。要找出它們之間的距離，只需計算它們x坐標的差：

距離 = \(|x_2 - x_1|\)（\(x_1\)與\(x_2\)之間的正數差）

例子：找出\(A(2, 3)\)和\(B(7, 3)\)之間的距離。

1. 注意到y坐標都是3（水平線）。
2. 減去x坐標：\(7 - 2 = 5\)。
3. A和B之間的距離是5個單位。

鉛垂線上兩點之間的距離

如果兩點位於同一條鉛垂線上，它們的x坐標將會相同。要找出它們之間的距離，只需計算它們y坐標的差：

距離 = \(|y_2 - y_1|\)

例子：找出\(C(4, 1)\)和\(D(4, 6)\)之間的距離。

1. 注意到x坐標都是4（鉛垂線）。
2. 減去y坐標：\(6 - 1 = 5\)。
3. C和D之間的距離是5個單位。

重點提示

對於水平線或鉛垂線上的點，距離就是其不同坐標的正數差。


4. 尋找簡單多邊形的面積

我們可以結合標示點和求水平/鉛垂距離的知識，來計算笛卡兒平面上多邊形的面積。

方法一：直接公式（底和高）

對於邊為水平或鉛垂線的長方形、平行四邊形和三角形，可以直接求出邊長並應用面積公式。

例子：找出頂點為\(A(1, 1)\)、\(B(7, 1)\)、\(C(7, 4)\)和\(D(1, 4)\)的長方形ABCD面積。

1. 底\(AB\)是水平線：\(\text{長度} = |7 - 1| = 6\)個單位。
2. 高\(BC\)是鉛垂線：\(\text{長度} = |4 - 1| = 3\)個單位。
3. \(\text{面積} = \text{底} \times \text{高} = 6 \times 3 = 18\)平方單位。

方法二：分割法或填補法（框盒法）

對於不規則的直線圖形，可以將圖形分割為簡單的長方形和三角形，或者將圖形包含在一個大長方形內，再減去外部未著色的面積。

重點提示

要找出坐標平面上多邊形的面積，可直接量度水平和鉛垂線段的長度，並應用標準幾何面積公式。


5. 坐標平面上的變換

變換是指在坐標平面上移動或改變點或圖形位置的方式。讓我們看看平移、反射和旋轉。

1. 平移（滑動）

平移是指在不改變方向的情況下，水平和/或鉛垂「滑動」一個點：

  • 向右移動\(a\)個單位：\((x, y) \rightarrow (x + a, y)\)
  • 向左移動\(a\)個單位：\((x, y) \rightarrow (x - a, y)\)
  • 向上移動\(b\)個單位：\((x, y) \rightarrow (x, y + b)\)
  • 向下移動\(b\)個單位：\((x, y) \rightarrow (x, y - b)\)
例子：將\(A(3, 4)\)向左平移2個單位，向下平移5個單位：

新的\(x = 3 - 2 = 1\)，新的\(y = 4 - 5 = -1\)。新的點是\(A'(1, -1)\)。

2. 反射（翻轉）

反射是在反射線上創建鏡像：

  • 沿x軸反射：\((x, y) \rightarrow (x, -y)\)
  • 沿y軸反射：\((x, y) \rightarrow (-x, y)\)
  • 沿鉛垂線\(x = c\)反射：y坐標保持不變，且該點在鏡線另一側保持相同的距離。
  • 沿水平線\(y = c\)反射：x坐標保持不變，且該點在鏡線另一側保持相同的距離。
例子：將\(P(1, 3)\)沿鉛垂線\(x = 4\)反射。

從\(x = 1\)到\(x = 4\)的距離是向右3個單位。再向右移動3個單位得到\(x = 4 + 3 = 7\)。反射後的點是\(P'(7, 3)\)。

3. 繞原點旋轉（轉動）

將一個點繞原點\((0, 0)\)轉動一個標準角（逆時針方向）：

  • 逆時針旋轉\(90^\circ\)（或順時針旋轉\(270^\circ\)）：\((x, y) \rightarrow (-y, x)\)
  • 逆時針旋轉\(180^\circ\)（或順時針旋轉\(180^\circ\)）：\((x, y) \rightarrow (-x, -y)\)
  • 逆時針旋轉\(270^\circ\)（或順時針旋轉\(90^\circ\)）：\((x, y) \rightarrow (y, -x)\)
例子：將\(P(2, 3)\)繞原點逆時針旋轉\(90^\circ\)。

根據規則\((x, y) \rightarrow (-y, x)\)，新的點是\(P'(-3, 2)\)。

重點提示

變換使用精確的代數規則將點對應到新的坐標，包括滑動（平移）、翻轉（沿坐標軸或平行線反射）以及轉動（繞原點旋轉）。