面積和體積：练习题

一個正四棱錐的底是一個邊長為 \(6 \text{ cm}\) 的正方形，其體積為 \(48 \text{ cm}^3\)。求該棱錐的高度。

下圖顯示一個直立正四棱錐，其底面是一個邊長為 \(10 \text{ cm}\) 的正方形。若該棱錐的高度為 \(12 \text{ cm}\)，求其總表面面積。

一個底半徑為 \( r \)、高為 \( h \) 的實心直立圓錐體被熔化並重鑄成兩個體積相同的較小實心直立圓錐體。每個新圓錐體的底半徑均為 \( \frac{r}{2} \)。若這兩個新圓錐體的曲面總面積與原圓錐體的曲面面積相等，求 \( h : r \)。

一個直立圓柱體的底直徑為 \( 20 \text{ cm} \)，高度為 \( 15 \text{ cm} \)。求該圓柱體的體積，答案以 \( \pi \) 表示。

一個直立圓錐體的體積是 $100\pi \text{ cm}^3$，$12 \text{ cm}$。求該圓錐體的曲面面積。

一個直立角柱的底是一個底為 \(8 \text{ cm}\)、高為 \(5 \text{ cm}\) 的三角形。若該角柱的高度為 \(12 \text{ cm}\)，求其體積。

一個半徑為 \(r\) 的球體剛好被放置在一個圓柱體容器內，使得球體與圓柱體的側面、底面及頂面均相切。求球體體積與圓柱體體積之比。

一個正方體的邊長為 $$s\text{ cm}$$。一個圓柱體置於正方體的頂面中央，圓柱體的底面半徑為正方體邊長的一半，其高度與其半徑相等。試以 $$s$$ 表示這個複合立體的總表面面積。假設圓柱體的底面完全覆蓋於正方體的頂面。

一個圓柱形水桶的底面半徑為 \(8 \text{ cm}\)，高度為 \(20 \text{ cm}\)。現將 \(800\pi \text{ cm}^3\) 的水注入該空水桶內。
(a) 求水桶的總容量（以 \(\pi\) 表示）。
(b) 求注入水後，水面距離桶口的高度。

有一個半徑為 \(9 \text{ cm}\) 的實心金屬球體。

(a) 求該球體的體積。 (答案以 \(\pi\) 表示)
(b) 若將該球體熔化，並重鑄成兩個半徑相同的實心圓柱體，每個圓柱體的高為 \(8 \text{ cm}\)。求圓柱體的底半徑。
(c) 比較該球體的表面面積與這兩個圓柱體的總表面面積之和。哪一個較大？