二項展式：练习题

求在 \((x-y)^4\) 的展開式中，\(x^2y^2\) 項的係數。

求在 \((1+x)(1+2x)^5\) 的展開式中，\(x^3\) 項的係數。

假設 n 是一個正整數。已知在展開式 \((1+2x)(1-x)^n\) 中，\(x^2\) 項的係數為 25。求 n 的值。

在 \((2x + 5y)^7\) 的展開式中，共有多少項？

試求 \((x^3 - \frac{2}{x})^8\) 展開式中的常數項。

在 \((1 - 2x)^5\) 的二項展式中，求 \(x^2\) 項的係數。

求 \((1 - 2x)^7 (1 + x)\) 的展開式中 \(x\) 的係數。

求 \((2 + x - x^2)(1 + x)^6\) 的展開式中 \(x^2\) 項的係數。

考慮二項展式 \((2 + x)^5\)。

(a) 展開 \((2 + x)^5\)，並按 \(x\) 的升冪排列。

(b) 由此，求 \((3 - 2x)(2 + x)^5\) 的展開式中 \(x\) 的係數。

考慮展開式 $$F(x) = (1+ax)^3 \left(x^3 - \frac{1}{x}\right)^n$$，其中 $$a$$ 是一個常數且 $$n$$ 是一個正整數。

(a) 求 $$ \left(x^3 - \frac{1}{x}\right)^n $$ 的通項 $$T_{r+1}$$，並證明其 $$x$$ 的指數為 $$3n - 4r$$。 (2分)

(b) 已知 $$F(x)$$ 的展開式中，常數項的值為 $$-72$$，且 $$x^4$$ 的係數為 $$180$$。

(i) 證明 $$n=6$$。(3分)

(ii) 若已知 $$a > 0$$，求 $$a$$ 的值。(3分)