指數函數和對數函數 ：练习题

求解方程：$$ 4^{2x-1} = 8^{x+2} $$

解方程 \(\log_4 (x^2 + 7) - \log_4 (x + 1) = 1\)。

某藥物在血液中的濃度 \(C\) (毫克/升) 隨時間 \(t\) (小時) 的變化關係為 \(C(t) = C_0 e^{-kt}\)，其中 \(C_0\) 和 \(k\) 為正常數。已知該藥物的半衰期 (濃度減半所需時間) 為 4 小時。若要使濃度降至初始濃度的 10\%\)，總共需要多少小時？ (答案準確至一位小數)

化簡以下表達式的值：

$$ \log_5 125 + \log_{10} 0.01 $$

已知變量 \(x\) 與 \(y\) 滿足關係式 \(y = p \cdot e^{qx^2}\)，其中 \(p\) 和 \(q\) 為常數。若將 \(\ln y\) 對 \(x^2\) 繪圖，所得的直線通過點 \((1, 3)\) 及 \((4, 9)\)。求 \(p\) 和 \(q\) 的值。

若 \(\ln(2x - 1) = 3\)，求 \(x\) 的值。答案須以 \(e\) 表示。

某森林的樹木數量 \(N\) 在 \(t\) 年後的變化模型為 \(N = 1200e^{0.04t}\)。求該森林的樹木數量增加至初始數量三倍所需的時間（準確至一位小數）。

杯中熱水的溫度 \(T\)（\(^{\circ}C\)）隨時間 \(t\)（分鐘）變化的公式為 \(T = 25 + (T_0 - 25)e^{-kt}\)。若初始溫度 \(T_0 = 95\)，且 \(5\) 分鐘後溫度降至 \(60\)，求 \(k\) 的精確值。

某城市的汽車數量 $$N$$（以千輛為單位）預計將從某個時間點開始以指數形式增長，其模型為 $$N(t) = Ae^{kt}$$，其中 $$t$$ 是自該時間點起的年份，$$A$$ 和 $$k$$ 是常數。

(a) 若在 $$t=0$$ 時城市的汽車數量為 200 千輛，而在 $$t=5$$ 時數量達到 250 千輛，求常數 $$A$$ 和 $$k$$ 的值。將 $$k$$ 的值準確至三位有效數字。

(b) 預測在 $$t=10$$ 時城市的汽車數量，準確至最接近的千輛。

(c) 求汽車數量達到 400 千輛所需的年份 $$t$$，準確至最接近的整數。

某化學家正研究一種易揮發液體在密閉空間內的濃度 \( C \) (mg/L) 與時間 \( t \) (小時) 之間的關係。已知該關係可以用模型 \( C = k \cdot a^{-t} \) 表示，其中 \( k \) 及 \( a \) 均為正常數。

(a) 將 \( C = k \cdot a^{-t} \) 化為變量 \( t \) 與 \( \ln C \) 之間的線性關係式。

(b) 若將 \( \ln C \) 對 \( t \) 繪製成圖像，所得的直線經過點 \( (2, 3.5) \) 及 \( (6, 2.1) \)。
(i) 求該直線的斜率及在垂直軸上的截距。
(ii) 由此，求 \( k \) 及 \( a \) 的值，答案須準確至三位有效數字。

(c) 實驗室規定當該液體的濃度低於 \( 2 \text{ mg/L} \) 時為安全水平。根據 (b) 的結果，求該空間至少需經過多少小時才能達到安全水平？（答案須準確至兩位小數）

(d) 另一種化學物質的濃度 \( D \) 隨時間變化的模型為 \( \ln D = 5 - 0.4t \)。證明在任何時間 \( t \)，濃度 \( C \) 與濃度 \( D \) 的比值均為一常數，並求該常數的值。