極限：练习题

求 \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+9} - 3}\) 的值。

設 \(k > 0\)。若 \(\lim_{x \to 0} \frac{k - \sqrt{k^2-x}}{x} = \frac{1}{10}\)，求 \(k\) 的值。

計算以下極限的值：
\( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos(2x)} \)

求 \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan(3x)}\) 的值。

已知 \(\lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + 5}{2x - 3x^2} = -4\)，求 \(a\) 的值。

求 \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 2x}{\sin(x)}\) 的值。

求 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 4}\) 的值。

求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (2k-1)(k+2)\) 的值。

求 \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 4x + 3}{x + 1}\) 的值。

考慮函數 \(f(x) = \begin{cases} \frac{\tan(3x)}{x} & \text{若 } x < 0 \\ k \cos x + 2 & \text{若 } x \ge 0 \end{cases}\) 。
(a) 求 \(\lim_{x \to 0^-} f(x)\) 的值。
(b) 若 \(\lim_{x \to 0} f(x)\) 存在，求常數 \(k\) 的值。