軌道運動：练习题

根據開普勒第三定律，對於繞同一中心天體運行的所有衛星，其軌道週期的平方與軌道半徑的三次方成正比。下列哪項物理量是這個比例常數的決定因素？

一顆質量均勻分佈的球形行星，半徑為 R，行星質量為 M。如果行星表面的引力場強度為 \(g_R\)，請問在距離行星中心 \(2R\) 處的引力場強度 \(g_{2R}\) 是 \(g_R\) 的多少倍？

一顆質量為 \(m\) 的人造衛星最初在距離地球中心 \(R\) 的圓形軌道上運行。它被轉移到距離地球中心 \(2R\) 的另一個圓形軌道。假設地球質量為 \(M\) 且萬有引力常數為 \(G\)。將衛星從半徑 \(R\) 轉移到半徑 \(2R\) 的軌道所需的最小能量是多少？

兩個質量分別為 \(M\) 和 \(m\) 的物體，相距 \(r\)。它們之間的萬有引力大小為 \(F\)。如果它們之間的距離增加一倍，即變為 \(2r\)，則它們之間的萬有引力將變為多少？

為什麼只有在赤道平面上、並且軌道半徑特定的圓形軌道上，衛星才能實現地球同步軌道 (geostationary orbit)？

一個質量為 \(m\) 的人造衛星，在半徑為 \(r\) 的圓形軌道上繞質量為 \(M\) 的行星運行。已知萬有引力常數為 \(G\)，寫出該衛星的軌道速率 \(v\) 的表達式（以 \(G\)、\(M\) 和 \(r\) 表示）。

一顆人造衛星在半徑為 \(r\) 的圓形軌道上繞地球運行。如果衛星的軌道半徑增加，請說明衛星的軌道速度、動能（K.E.）和總機械能（E）會如何變化。

試列出從牛頓萬有引力定律和勻速圓周運動的概念，推導出開普勒第三定律 (\(T^2 \propto r^3\)) 的圓形軌道形式時，需要用到的兩個關鍵物理原理和一個核心數學關係式。

一顆小型衛星 S 繞著質量為 \(M\) 的大質量行星 P 運行。衛星最初在半徑為 \(R\) 的圓形軌道上運行，軌道週期為 \(T\)。天文學家計劃將衛星轉移到一個半徑為 \(4R\) 的新圓形軌道。

(a) 說明衛星 S 在半徑為 \(4R\) 的新軌道上的軌道速度 \(v'\) 是舊軌道速度 \(v\) 的多少倍。

(b) 計算衛星 S 在半徑為 \(4R\) 的新軌道上的公轉週期 \(T'\)，以 \(T\) 表示。

一顆質量為 \(m = 500 \text{ kg}\) 的人造衛星在半徑為 \(R_1 = 2R_E\) 的圓形軌道上環繞地球運行，其中地球半徑 \(R_E = 6.37 \times 10^6 \text{ m}\)。地球質量為 \(M_E = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}\)，萬有引力常數 \(G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}\)。

(a) 寫出衛星在半徑 \(r\) 圓形軌道上的總機械能 \(E\) 的表達式。 (1分)

(b) 計算衛星在軌道 \(R_1\) 上的總機械能 \(E_1\) 的數值。 (2分)

(c) 為了讓衛星完全脫離地球引力場，需要將其提升到無窮遠處。計算衛星從軌道 \(R_1\) 逃逸所需的最小額外能量 \(\Delta E\)。 (3分)

(d) 假設衛星在軌道 \(R_1\) 上的速度為 \(v_1\)。如果衛星需要在 \(R_1\) 軌道上進行瞬時加速以達到逃逸速度 \(v_{esc, 1}\)，寫出 \(v_{esc, 1}\) 與 \(v_1\) 之間的關係，並計算所需的最小速度增量 \(\Delta v\)。 (2分)