歡迎來到代數與函數的世界！
歡迎來到 AQA AS Level 數學之旅中最重要的一個章節。你可以把代數與函數 (Algebra and Functions) 想像成數學的「引擎室」。一旦你掌握了這些工具，你就能輕鬆解決微積分、力學，甚至是現實物理中的複雜問題。我們會將這些宏大的概念拆解成細小且容易理解的步驟。如果起初覺得內容有點抽象也不用擔心——我們會有大量的例題來幫你打好基礎！
1. 指數與根式
在開始起樓之前，我們需要準備合適的工具。指數 (Indices)（冪）和根式 (Surds)（無法化簡為整數的平方根）是代數的基本構件。
指數定律
指數遵循特定的運算規則。只要記住這些，幾乎所有算式都能迎刃而解：
- 乘法： \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) （指數相加）
- 除法： \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) （指數相減）
- 冪之冪： \((a^m)^n = a^{mn}\) （指數相乘）
- 負指數： \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) （負號代表「取倒數」）
- 分數指數： \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\) 及 \(a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m\)
處理根式
根式是像 \(\sqrt{2}\) 或 \(\sqrt{3}\) 這樣的無理數。它們代表「精確」的值。 比喻：將 \(\sqrt{2}\) 想像成食譜中的某種特定香料。如果你把它換成 1.41，你就失去了一些「風味」！保持根式形式才能確保準確。
分母有理化：我們通常不希望分數的分母帶有根式。要消除它，只需將分子和分母同時乘以該根式。如果分母是 \(a + \sqrt{b}\)，則乘以它的「好拍檔」\(a - \sqrt{b}\)。這被稱為共軛 (conjugate)。
重點複習： \(x^{\frac{1}{2}}\) 其實就是 \(\sqrt{x}\) 的另一種寫法。負冪次只代表該數位於分數的分母位置！
2. 二次函數
二次函數 (Quadratic) 是指 \(x\) 的最高次方為 \(x^2\) 的任何算式，形式通常為 \(ax^2 + bx + c\)。
解二次方程
你手上有三個主要的「武器」來解這些方程：
- 因式分解 (Factorising)： 將其拆解為兩個括號，例如 \((x+2)(x-3) = 0\)。
- 二次公式 (The Quadratic Formula)： \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。當題目無法輕易分解時，直接用這個公式！
- 配方法 (Completing the Square)： 將方程寫成 \((x+p)^2 + q\) 的形式。這對於找出函數圖像的頂點 (turning point)（拋物線的最高點或最低點）非常有幫助。
判別式
二次公式中根號裡面的部分 \(b^2 - 4ac\) 稱為判別式 (discriminant)。它能告訴你函數圖像與 x 軸的相交情況：
- 若 \(b^2 - 4ac > 0\)：兩個不同的實根（圖像與 x 軸相交兩次）。
- 若 \(b^2 - 4ac = 0\)：一個重根（圖像與 x 軸只有一點相切）。
- 若 \(b^2 - 4ac < 0\)：無實根（圖像完全懸浮在 x 軸上方或下方）。
關鍵要點： 當題目問「有多少個解」或「證明沒有實根」時，請務必使用判別式。你不需要解出整個方程也能知道答案！
3. 聯立方程與不等式
有時我們會有兩個方程和兩個未知數（\(x\) 和 \(y\)），我們需要找出它們「共存」的地方。
聯立方程
在 AQA AS Level 中，你常會遇到一個線性方程（如 \(y = 2x + 1\)）和一個二次方程（如 \(y = x^2 + 3x - 5\)）。
解題步驟：
1. 將線性方程重新排列，寫成 \(x = \dots\) 或 \(y = \dots\) 的形式。
2. 將其代入 (Substitute) 二次方程中。
3. 解出由此得出的二次方程以求出一個變量。
4. 將求得的值代回方程以找出另一個變量。
不等式
解線性不等式和解方程很像，但要非常小心！如果你乘以或除以一個負數，你必須翻轉不等號（例如：\(<\) 變成 \(>\)）。
對於二次不等式（例如 \(x^2 - 5x + 6 > 0\)）：
1. 先假設方程為 \(= 0\) 來找出「臨界值」。
2. 畫出圖像。這是最穩妥的方法，用來觀察曲線在哪一部分高於或低於 x 軸。
冷知識：你可以使用集合符號 (Set Notation) 來寫答案。例如，\(\{x : x < 2\} \cup \{x : x > 3\}\) 代表 \(x\) 小於 2 或者 大於 3。
4. 多項式與因式定理
多項式 (Polynomial) 只是個專有名詞，用來稱呼像 \(x^3 + 4x^2 - 5x + 2\) 這種有多個項的算式。
代數除法
你可以用類似小學學過的「長除法」來將一個大的多項式除以一個小的（如 \(x-2\)）。這能幫你因式分解三次或四次多項式。
因式定理
這是一個超好用的捷徑！如果你有一個函數 \(f(x)\)，而你發現代入某個數 \(p\) 後結果為零 (\(f(p) = 0\))，那麼 \((x - p)\) 就是該多項式的一個因式。 例子：如果 \(f(3) = 0\)，那麼在進行因式分解時，\((x - 3)\) 必定是其中一個括號。
常見錯誤：注意正負號！如果 \(f(-2) = 0\)，則因式是 \((x + 2)\)，而不是 \((x - 2)\)。
5. 函數圖像
你需要認出不同函數圖像的「性格」：
- 多項式： \(y = x^3\) 看起來像個「波浪」，而 \(y = x^4\) 看起來像個平底的「U」。
- 倒數函數圖： \(y = \frac{a}{x}\) 和 \(y = \frac{a}{x^2}\)。這些圖形有漸近線 (asymptotes)——即圖像無限接近但永遠不會碰到的線。可以把漸近線想像成地圖上的「禁區」。
- 比例： 正比例 (\(y = kx\)) 是一條經過原點的直線。反比例 (\(y = \frac{k}{x}\)) 是一條倒數曲線。
6. 函數圖像變換
這部分是將基礎圖像 \(y = f(x)\) 進行移動或變形。想像圖像就像貼在窗戶上的一張貼紙，你可以平移或拉伸它。
「括號外」的變化（影響 \(y\)）
- \(y = f(x) + a\)：將圖像向上平移 \(a\) 個單位。
- \(y = af(x)\)：將圖像進行垂直拉伸（\(y\) 坐標乘以 \(a\)）。
「括號內」的變化（影響 \(x\)）
記憶小撇步：括號裡面的東西都是「騙子」——它們的行為總是和你預期的相反！
- \(y = f(x + a)\)：將圖像向左平移 \(a\) 個單位（即使算式寫的是加號！）。
- \(y = f(ax)\)：將圖像進行水平拉伸，倍率為 \(\frac{1}{a}\)（即將 \(x\) 坐標除以 \(a\)）。
總結要點： 如果變化是在括號外面，那很直接，會影響 \(y\)。如果是在括號裡面，那就很「怪」，會影響 \(x\)。