歡迎來到投資組合數學的世界！

歡迎來到計量方法（Quantitative Methods）中最令人興奮的部分之一！如果你曾經聽過「不要把雞蛋放在同一個籃子裡」這句諺語，其實你已經掌握了本章的核心哲學。在這裡，我們將從關注單一數字，轉向探討一組投資（即投資組合）如何共同運作。

別擔心如果你自認不是「數學高手」。我們將會把這些公式拆解成符合現實邏輯的步驟。讀完這些筆記後，你將能理解專業基金經理人如何透過計算風險與回報，從而構建出更優秀的投資組合。

1. 預期回報：加權平均數

投資組合的預期回報（Expected Return）僅僅是組合內個別資產預期回報的加權平均數。簡單來說：如果你知道這塊「大餅」中每一部分的預期收益，只需根據每一部分所佔的比重將其加總即可。

公式：
\( E(R_p) = \sum_{i=1}^{n} w_i E(R_i) \)

其中：
\( w_i \) = 投資於資產 \( i \) 的比重（權重）
\( E(R_i) \) = 資產 \( i \) 的預期回報

例子： 想像你有 $100。你將 $60 投入股票 A（預期回報 10%），將 $40 投入股票 B（預期回報 5%）。
你的權重分別為 0.60 和 0.40。
\( E(R_p) = (0.60 \times 10\%) + (0.40 \times 5\%) = 6\% + 2\% = 8\% \)。

常見錯誤： 請務必確保你的權重總和為 1.0（即 100%）。如果不等於 1，代表你遺漏了某項資產，或是計算出錯了！

重點總結：

投資組合的預期回報只是一種簡單的線性組合。這裡沒有什麼「數學魔法」，僅僅是基礎的加權平均。

2. 變異數與標準差（風險）

在 CFA 課程中，風險通常定義為標準差（Standard Deviation，\( \sigma \)）。它衡量的是資產的實際回報偏離其預期回報的程度。標準差越高，代表回報的「波動（wiggle）」越大，不確定性也越高。

你知道嗎？ 標準差是變異數（Variance，\( \sigma^2 \)）的平方根。我們通常會先計算變異數，因為在數學運算上它更方便，但我們用標準差來描述風險，是因為它與我們的回報率單位相同（%）。

「通勤」類比：
想想你每天早上上班的通勤時間。如果每天都精準地花費 30 分鐘，你的「標準差」就是零。如果有的日子花 20 分鐘，有的日子花 40 分鐘，你的「預期」時間仍然是 30 分鐘，但你的風險（標準差）卻高得多。你對何時到達目的地的把握度更低了！

3. 共變異數與相關係數：資產如何「共舞」

這是投資組合數學中最重要的概念。要理解一個投資組合，我們不能孤立地看待資產；我們必須觀察它們是同步波動、背道而馳，還是毫無關聯。

A. 共變異數（\( Cov_{1,2} \)）

共變異數（Covariance）衡量兩個變數共同變動的程度。
- 正共變異數： 當資產 A 上升時，資產 B 也傾向於上升。
- 負共變異數： 當資產 A 上升時，資產 B 傾向於下降。
- 零共變異數： 無線性關係。

B. 相關係數（\( \rho_{1,2} \)）

由於共變異數的數值範圍廣泛（例如 145.2 或 0.003），很難直接解讀。相關係數（Correlation）是共變異數的「標準化」版本，它的數值始終介於 -1.0 到 +1.0 之間。

公式：
\( \rho_{1,2} = \frac{Cov_{1,2}}{\sigma_1 \sigma_2} \)

快速複習箱：
+1.0 = 完全正相關（步調一致）。
0.0 = 無線性關係（相互獨立）。
-1.0 = 完全負相關（走勢完全相反）。

重點總結：

相關係數就像是共變異數的「晚禮服」——它讓兩者之間的關係變得簡潔明瞭，一目了然。

4. 投資組合變異數：分散投資的「魔力」

計算投資組合的風險並非簡單的加權平均。這是因為資產之間可以相互抵銷風險。如果股票 A 下跌時股票 B 上漲，那麼整個投資組合就能保持穩定！

公式（針對雙資產投資組合）：
\( \sigma_p^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2w_1 w_2 Cov_{1,2} \)

等等！別被這個公式嚇到。讓我們把它拆成兩部分來看：
1. 個別風險： \( w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 \)（這只是資產自身的風險）。
2. 交互項： \( 2w_1 w_2 Cov_{1,2} \)（這就是魔力所在！）。

為什麼這很重要：
如果共變異數很低或為負數，公式中的第三項就會變得很小或變為負值，從而降低總投資組合的變異數。這就是分散投資的數學證明：你可以擁有兩個高風險資產，但組合起來後卻能創造出風險低得多的投資組合。

記憶小技巧： 把這個公式想像成代數中的完全平方公式 \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \)。它們非常相似！

5. 羅伊安全第一比率（Roy’s Safety-First Ratio）

有時候，投資者並不擔心「平均」風險，他們擔心的是回報低於某個目標水平（例如支付帳單所需的最低金額）。這被稱為短缺風險（Shortfall Risk）。

羅伊安全第一比率（SF Ratio）幫助我們選擇能將低於「門檻」回報的機率降至最低的投資組合。

公式：
\( SF\ Ratio = \frac{E(R_p) - R_L}{\sigma_p} \)

其中：
\( R_L \) = 門檻（限制）回報（Threshold Return）（投資者能接受的最低回報）。

如何使用：
SF 比率越高越好。
比率越高，代表預期回報距離「危險地帶」有更多的標準差。這就像是你站在距離懸崖邊緣更遠的地方一樣安全。

例子：
投資組合 A：預期回報 10%，標準差 5%
投資組合 B：預期回報 15%，標準差 10%
如果你的最低要求回報（\( R_L \)）為 5%：
投資組合 A 的 SF 比率 = \( (10 - 5) / 5 = 1.0 \)
投資組合 B 的 SF 比率 = \( (15 - 5) / 10 = 1.0 \)
在此情況下，兩者相等。如果投資組合 A 的比率是 1.2，你就會選擇 A！

重點總結：

羅伊安全第一比率的核心就是「安全第一」。選擇比率最高的投資組合，以最大限度地降低無法達到目標的風險。

總結檢查清單

在進入練習題之前，請確保你能：
1. 計算預期回報的加權平均數。
2. 解釋共變異數與相關係數的區別。
3. 識別低相關性如何降低投資組合變異數。
4. 計算並詮釋羅伊安全第一比率（越高越好！）。

繼續加油！你正在構建區分優秀分析師與普通人的數學基礎。你做得到的！