金融資產價格與回報的統計分佈

歡迎來到數量方法（Quantitative Methods）的核心模組之一！金融市場充滿了不確定性。當你投資股票、債券或基金時，根本無法百分之百確定未來的價格或回報率會是多少。為了量化這種不確定性，金融分析師會借助統計分佈（Statistical Distributions）這個強大工具。

如果機率與統計一開始讓你感到有點卻步，千萬不用擔心。我們會把每個概念拆解成簡單易懂的小單元，配合直觀的比喻，一步步帶你了解它們在現實市場中的應用。根據 CFA Level I 課程大綱，本模組圍繞四大核心支柱：
• 平均值、方差及協方差的無條件期望值（Unconditional expected values）
• 金融領域常用關鍵分佈的主動差（Principal moments）
• 條件期望值（Conditional expectations）、條件方差與條件協方差
• 貝氏更新（Bayesian updating）（在新資訊出現時更新機率預測）

交叉參考提示：利用這些參數構建投資組合的方法，會在《金融投資組合的回報與風險》中深入探討；而抽樣與假設檢定則於《估計與假設檢定》單元詳細解構。

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1. 無條件期望值、方差與協方差

無條件期望值（平均值，Mean）

隨機變數的無條件期望值，簡單來說就是各項結果的加權平均值。在未獲取任何新資訊或特定條件之前，每個可能出現的結果都會乘以其發生的機率，然後相加得出。

這就好像計算一門課的學期總成績一樣：每份作業都有各自的比重（機率），而你的總分就是各項分數乘以相應比重後的總和。

在數學上，對於一個離散隨機變數 \(X\)，若其擁有 \(n\) 個可能的結果 \(x_i\)，每個結果出現的機率為 \(P(X = x_i)\)，則：

\(E(X) = \sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) x_i\)

期望值的特性：
• 常數：常數 \(c\) 的期望值就是該常數本身：\(E(c) = c\)。
• 標量乘法：如果將隨機變數乘以常數 \(c\)，其期望值也會乘以相應倍數：\(E(c X) = c E(X)\)。
• 可加性：多個隨機變數總和的期望值，等於各隨機變數個別期望值的總和：\(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\)。無論 \(X\) 與 \(Y\) 是否獨立，此性質都恆成立！

無條件方差（Variance）

期望值為我們指出分佈的中心點，而方差則用來衡量各項結果圍繞該平均值分散的程度。它代表各結果偏離期望值距離的平方平均值：

\(\sigma^2(X) = Var(X) = E\left([X - E(X)]^2\right) = \sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) [x_i - E(X)]^2\)

標準差（Standard deviation）\(\sigma(X)\) 是方差的正平方根：\(\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}\)。在金融領域中，標準差是衡量總風險或波動率（Volatility）最主要的指標。

方差的特性：
• 常數的方差等於零：\(Var(c) = 0\)（常數永遠不會變動）。
• 加上一個常數只會平移分佈中心，但不會改變其分散程度：\(Var(X + c) = Var(X)\)。
• 乘以一個常數，方差會擴大該常數平方的倍數：\(Var(c X) = c^2 Var(X)\)。

無條件協方差與相關係數（Covariance and Correlation）

協方差衡量兩個隨機變數共同變動的趨勢與方向。如果當資產 \(Y\) 高於其平均值時，資產 \(X\) 也往往高於平均值，兩者的協方差就是正數；反之，若一項資產上升時另一項傾向下跌，協方差就是負數。

\(Cov(X, Y) = \sigma_{XY} = E\left([X - E(X)][Y - E(Y)]\right) = \sum_{i=1}^{n} P(x_i, y_i) [x_i - E(X)][y_i - E(Y)]\)

另一種常見的計算公式為：

\(Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)

請留意，一個變數與自身的協方差，其實就等於它本身的方差：\(Cov(X, X) = Var(X)\)。

由於協方差受變數計量單位的影響，我們通常會將其標準化，計算出相關係數（記作 \(\rho(X, Y)\) 或 \(Corr(X, Y)\)）：

\(\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma(X) \sigma(Y)}\)

相關係數的值嚴格界定在 \(-1 \le \rho(X, Y) \le +1\) 之間。\(+1\) 代表完全正線性相關，\(-1\) 代表完全負線性相關，而 \(0\) 則表示兩者不存在線性關係。

重點歸納：期望值是以機率加權的平均結果，方差反映圍繞該中心的波動或離散度，而協方差則衡量兩項資產線性聯動的方向與強度。

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2. 金融主要分佈的主動差

在統計學中，動差（Moments）用來描述機率分佈的形狀特徵。前四個中心動差分別為：
1. 第一動差（平均值／位置，Mean / Location）：即期望值 \(E(X)\)。
2. 第二中心動差（方差／離散度，Variance / Dispersion）：即 \(\sigma^2\)。
3. 第三標準化動差（偏度，Skewness）：衡量分佈的不對稱程度。對稱分佈的偏度為 0。正偏（右偏）分佈有一條長長的右尾巴；負偏（左偏）分佈則有一條長長的左尾巴。
4. 第四標準化動差（峰度，Kurtosis）：衡量分佈頂部的尖銳程度以及尾部的厚度（極端值出現機率）。常態分佈的峰度恰好為 3。超額峰度（Excess kurtosis）定義為 \(\text{峰度} - 3\)。超額峰度大於 0 的分佈稱為高狹峰／肥尾分佈（Leptokurtic / Fat-tailed），這在金融資產回報中極為常見。

A. 離散均勻分佈（Discrete Uniform Distribution）

若隨機變數只可能出現有限個結果，且每個結果發生的機率皆相同，該變數即服從離散均勻分佈。最經典的例子就是擲一枚質地均勻的六面骰子，每個點數 \(x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) 出現的機率都是 \(P(X = x) = \frac{1}{6}\)。

B. 連續均勻分佈（Continuous Uniform Distribution）

連續隨機變數在某個連續的有界區間 \([a, b]\) 內，任何相同長度子區間內的機率都相等。其機率密度函數（PDF）為常數：當 \(a \le x \le b\) 時，\(f(x) = \frac{1}{b - a}\)。

主動差：
• 平均值：\(E(X) = \frac{a + b}{2}\)
• 方差：\(Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}\)
• 偏度：0（以中點為基準完全對稱）。

C. 二項分佈（Binomial Distribution）

二項分佈用來計算在 \(n\) 次獨立的伯努利試驗（Bernoulli trials）中，「成功」次數 \(x\) 的機率。每次試驗只有兩種可能結果（成功或失敗），且每次試驗成功的機率 \(p\) 保持不變。

在 \(n\) 次試驗中恰好取得 \(x\) 次成功的機率為：

\(P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n - x} = \frac{n!}{x!(n - x)!} p^x (1 - p)^{n - x}\)

主動差：
• 平均值：\(E(X) = n p\)
• 方差：\(Var(X) = n p (1 - p)\)
• 標準差：\(\sigma = \sqrt{n p (1 - p)}\)

考試小提示：在金融模型建立中，二項式樹狀模型（Binomial tree）被廣泛應用於模擬資產價格在不同離散時間步長中的上升與下跌路徑。

D. 常態分佈（Normal Distribution）

常態分佈是古典金融理論的基石。它是一個連續、對稱且呈鐘形的分佈，只需兩個參數即可完全定義：平均值 \(\mu\) 與方差 \(\sigma^2\)，通常記作 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)。

關鍵特性與主動差：
• 平均值、中位數及眾數：三者全部相等，皆為 \(\mu\)。
• 偏度：0（完全對稱）。
• 峰度：剛好為 3（超額峰度為 0）。
• 線性組合：相互獨立的常態隨機變數，其線性組合依然服從常態分佈。

標準常態分佈（\(Z\)）：
任何常態變數 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) 都可以透過計算 \(Z\) 分數（\(Z\)-score）標準化為平均值為 0、標準差為 1 的標準常態分佈：

\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)

經驗法則（區間機率）：
• 大約 68% 的觀測值落在 \(\mu \pm 1\sigma\) 範圍內
• 大約 95% 的觀測值落在 \(\mu \pm 1.96\sigma\) 範圍內（約等於 \(\pm 2\sigma\)）
• 大約 99% 的觀測值落在 \(\mu \pm 2.58\sigma\) 範圍內（約等於 \(\pm 3\sigma\)）

E. 對數常態分佈（Lognormal Distribution）

如果一個隨機變數 \(Y\) 的自然對數 \(\ln(Y)\) 服從常態分佈，即 \(\ln(Y) \sim N(\mu, \sigma^2)\)，那麼 \(Y\) 就服從對數常態分佈。

為什麼對數常態分佈對資產價格建模至關重要？
• 常態分佈允許取負值，但大部分金融資產（例如股票）享有有限法律責任（Limited liability），價格不可能跌穿零。
• 對數常態分佈以零為下限（\(Y > 0\)），因此非常適合用來模擬資產價格。
• 連續複利資產回報率可以是負值，常以常態分佈進行近似模擬；而由此產生的資產價格則會呈現對數常態分佈。
• 偏度：對數常態分佈呈正偏態（右偏），擁有一條長右尾，這真實反映出資產價格向上增長潛力無限，但向下最多只會跌至零的特性。

重點歸納：常態分佈適用於對稱且超額峰度為零的現象（常用於資產回報）；對數常態分佈則以下限為零且向右偏斜，是為資產價格建模的理想工具。

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3. 條件期望值、條件方差與條件協方差

在金融市場中，我們會源源不絕地接收到新資訊：經濟數據發布、央行利率決議或企業財報業績。每當新消息揭曉，我們的預期亦隨之調整，這就引出了條件動差（Conditional moments）的概念。

條件期望值

在已知某個特定事件或變數 \(S\) 發生的情況下，隨機變數 \(X\) 的條件期望值記作 \(E(X \mid S)\)。計算方式是使用條件機率來對 \(X\) 進行加權平均。

期望值的全機率法則（Total Probability Rule for Expected Value）：
若事件集合 \(S_1, S_2, \dots, S_k\) 構成了一組互斥且窮盡（Mutually exclusive and exhaustive）的經濟狀態（例如：衰退、正常、擴張），則無條件期望值等於所有狀態下條件期望值的加權平均值：

\(E(X) = \sum_{j=1}^{k} P(S_j) E(X \mid S_j)\)

逐步計算範例：
假設你正在評估股票 A 明年的回報率，預期會面臨兩種經濟狀態：
• 狀態 1（繁榮）：機率 \(P(S_1) = 0.40\)，條件預期回報率 \(E(R_A \mid S_1) = 20\%\)
• 狀態 2（蕭條）：機率 \(P(S_2) = 0.60\)，條件預期回報率 \(E(R_A \mid S_2) = 5\%\)

套用全機率法則：
\(E(R_A) = (0.40)(20\%) + (0.60)(5\%) = 8\% + 3\% = 11\%\)

條件方差

條件方差 \(Var(X \mid S)\) 衡量在已知事件 \(S\) 發生時，\(X\) 的不確定性或離散程度：

\(Var(X \mid S) = E\left([X - E(X \mid S)]^2 \mid S\right)\)

整體的無條件方差，既包含了各狀態內部預期的條件方差，也包含了各狀態之間條件期望值的離散方差。

條件協方差

同理，在特定狀態 \(S\) 下，兩項資產 \(X\) 與 \(Y\) 之間的條件協方差，衡量了它們在該特定情境下的聯動關係：

\(Cov(X, Y \mid S) = E\left([X - E(X \mid S)][Y - E(Y \mid S)] \mid S\right)\)

你知道嗎？在市場極端動盪或危機期間，高風險資產之間的條件協方差和相關係數往往會急劇上升。這意味著在投資者最需要風險分散的時候，分散投資的分流效益往往會大打折扣！

重點歸納：無條件動差反映事件發生前的總體預期；條件動差則在掌握特定情境或新資訊後，相應修正評估預期。

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4. 貝氏更新（Bayesian Updating）

貝氏定理的邏輯

投資分析本質上是一個持續學習與校正的過程。我們會先對某種狀態或資產表現抱有初始信念，在觀察到最新市場數據後，隨之修正這項信念。貝氏定理（Bayes' formula）正是提供這種機率更新機制的嚴謹數學工具。

必備重要術語：
• 先驗機率（Prior Probability）\(P(A)\)：在觀察到新資訊之前，事件 \(A\) 發生的初始基準機率。
• 似然度／條件機率（Likelihood / Conditional Probability）\(P(B \mid A)\)：在已知事件 \(A\) 為真的前提下，觀察到新證據 \(B\) 的機率。
• 無條件機率（Unconditional Probability）\(P(B)\)：跨所有可能狀態下，觀察到新證據 \(B\) 的總機率。
• 後驗機率（Posterior Probability）\(P(A \mid B)\)：在已知新證據 \(B\) 出現後，更新得出事件 \(A\) 發生的修正機率。

貝氏定理公式

\(P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)}{P(B)} P(A)\)

利用全機率法則將分母 \(P(B)\) 展開至互斥狀態 \(A\) 及 \(A^C\)（非 \(A\)）：

\(P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B \mid A) P(A) + P(B \mid A^C) P(A^C)}\)

貝氏定理逐步計算範例

情境：某股票研究部門正評估公司的盈利預測。
• 分析師將企業分類為「高盈利增長」（\(H\)）或「低盈利增長」（\(L\)）。
• 歷史數據顯示，有 \(30\%\) 的公司能實現高增長：即 \(P(H) = 0.30\)，因此 \(P(L) = 0.70\)。
• 現有一項領先指標發出正面信號（\(+\)）：
- 若公司屬高增長型，指標呈現正面信號的機率為 \(P(+ \mid H) = 0.80\)。
- 若公司屬低增長型，指標出現「偽陽性（假警報）」正面信號的機率為 \(P(+ \mid L) = 0.20\)。
• 問題：如果該指標顯示正面信號（\(+\)），這家公司確實具備高增長的更新（後驗）機率 \(P(H \mid +)\) 是多少？

第一步：計算分子與分母各組成的聯合機率：
• 高增長且信號為正面：\(P(+ \mid H) P(H) = 0.80 \times 0.30 = 0.24\)
• 低增長但信號為正面：\(P(+ \mid L) P(L) = 0.20 \times 0.70 = 0.14\)

第二步：計算出現正面信號的無條件總機率 \(P(+)\)：
\(P(+) = 0.24 + 0.14 = 0.38\)

第三步：計算後驗機率 \(P(H \mid +)\)：
\(P(H \mid +) = \frac{0.24}{0.38} \approx 0.6316 \text{ 或 } 63.16\%\)

結果解讀：在觀察到正面指標信號後，我們對該公司屬於高增長的信心程度，從原本的先驗機率 \(30\%\) 大幅提升至約 \(63.2\%\) 的後驗機率。

常見陷阱提防

• 混淆 \(P(B \mid A)\) 與 \(P(A \mid B)\)：在高增長前提下出現正面信號的機率（\(80\%\)），跟在獲得正面信號前提下公司屬於高增長的機率（\(63.2\%\)）截然不同。
• 忽略展開分母：計算時必須確保分母涵蓋了所有可能促成條件事件發生的途徑。

重點歸納：隨著新的客觀數據或信號浮現，貝氏定理提供了一套有系統的步驟，將先驗信念客觀更新為後驗機率。

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模組摘要與快速複習

• 期望值 \(E(X)\)：跨所有可能事件以機率加權的平均結果。
• 方差 \(\sigma^2\) 與協方差 \(\sigma_{XY}\)：方差量化數據相對平均值的偏離幅度；協方差則衡量兩項資產之間的線性聯動趨勢。
• 常態分佈：由 \(\mu\) 與 \(\sigma^2\) 完全定義，呈對稱分佈（偏度 = 0），峰度 = 3。能很好地模擬回報率，但允許出現負值。
• 對數常態分佈：下限為零且呈右偏。非常適合用來模擬金融資產的價格。
• 全機率法則：架起條件期望值與無條件期望值之間的橋樑：\(E(X) = \sum P(S_j) E(X \mid S_j)\)。
• 貝氏更新：利用條件似然度，將先驗機率 \(P(A)\) 轉化修正為後驗機率 \(P(A \mid B)\)。