歡迎來到衍生工具：遠期承諾的定價與估值！

你好！歡迎來到 CFA Level II 課程中數學運算最密集，但也最具收穫的章節之一。如果你覺得 Level I 的衍生工具內容有點抽象，不用擔心。在這裡，我們將從「是什麼」轉向「怎麼做」。我們將學習如何為合約定價，並計算隨著時間推移，這些合約具體值多少錢。你可以把這視為學習金融世界中一些大型交易背後的「公平市場數學」。讓我們開始吧！

1. 根本區別：定價 (Pricing) 與 估值 (Valuation)

在觸碰任何公式之前，我們必須先釐清一個常見的誤區。在遠期承諾（遠期合約、期貨和交換）的世界裡，定價 (Pricing) 與 估值 (Valuation) 是兩件截然不同的事情。

定價 (Pricing)： 發生在最開始（時間點 0）。這是確定將寫入合約的遠期價格 (\(F_0\)) 的過程。此時，合約對雙方而言價值為零，因為這是一筆公平的交易，且雙方無須支付任何款項。

估值 (Valuation)： 發生在合約開始之後。隨著市場價格和利率的變動，其中一方會開始「獲利」，另一方則開始「虧損」。價值 (\(V_t\)) 是指一方為了在今天終止合約，需要支付給另一方的金額。

類比： 假設你今天同意在六個月後以 500,000 美元購買一棟房子。定價就是決定那個 500,000 美元的數字。估值則是發生在三個月後——如果房價飆升至 600,000 美元，那麼這份合約對你來說就變得非常有價值！

快速總結：
• 在合約初始 (\(t=0\))：價值為零。
• 在存續期間 (\(t > 0\))：價值根據市場波動而變動。
• 在到期時 (\(t=T\))：價值為現貨價格與遠期價格之間的差額。

2. 遠期合約的定價與估值

這裡的核心原則是無套利 (No-Arbitrage)。我們假設你無法透過同時購買資產並賣出遠期合約來獲得無風險利潤。

A. 股票遠期合約（無收益）

這是最簡單的情況。對於無股息股票的遠期合約定價，我們只需將現貨價格 (\(S_0\)) 按照無風險利率 (\(r\)) 進行複利計算。

公式：
\(F_0 = S_0 \times (1 + r)^T\)

等等！如果我們使用連續複利呢？
\(F_0 = S_0 \times e^{rT}\)

B. 附有收益的股票遠期合約（股息）

如果股票支付股息，持有實物股票的人會收到現金，但持有遠期合約的人卻不會。因此，遠期價格必須更低，以反映這種「損失的」收入。

公式（離散收入）：
\(F_0 = (S_0 - PV_{dividends}) \times (1 + r)^T\)

公式（連續收益率，\(q\)）：
\(F_0 = S_0 \times e^{(r-q)T}\)

C. 如何計算價值 (\(V_t\))

如果起初看起來有點棘手也不用擔心！價值就是目前的現貨價格減去你之前同意支付的價格之「現值」。

公式：
\(V_t = S_t - [F_0 / (1 + r)^{T-t}]\)

應避免的常見錯誤： 計算價值時，請務必使用剩餘時間 (\(T-t\))，而不是原始期限 (\(T\))。

關鍵要點： 遠期價格只是現貨價格加上持有成本（利息減去收益）後推移到未來的值。

3. 遠期利率協議 (FRAs)

FRA 是一份在未來以特定利率借款或貸款的合約。在 Level II 中，我們使用先設定、後結算 (Set in Advance, Settled in Arrear) 的邏輯，但付款通常會折現到貸款期開始時。

理解標示法

如果你看到一個 "2 x 5 FRA"，這意味著：
• 「貸款」從現在起 2 個月後開始。
• 「貸款」在現在起 5 個月後結束。
• 貸款本身的期限為 3 個月（5 減 2）。

FRA 的收益

收益基於參考利率 (\(L\)) 與 FRA 利率 (\(IFR\)) 之間的差額。

收益公式：
\(Payoff = \frac{(L - IFR) \times Days/Year}{1 + (L \times Days/Year)} \times Principal\)

你知道嗎？ 我們將收益進行折現，是因為 FRA 的付款通常在貸款期開始時進行，但被避險的利率卻適用於期末。我們必須將該未來價值折算回現在！

4. 交換合約 (Swaps) 的定價與估值

交換合約看起來可能很嚇人，因為它們涉及多次付款，但這裡有個祕密：交換合約就是一系列綑綁在一起的遠期合約。

A. 利率交換 (Interest Rate Swaps)

在標準的「純平式」(Plain Vanilla) 交換中，一方支付固定利率並收取浮動利率（如 LIBOR 或 SOFR）。為了找到固定利率（即交換利率），我們使用折現因子 (\(Z\))。

固定交換利率 (\(C\)) 的公式：
\(C = \frac{1 - Z_n}{\sum Z_i}\)

用白話說： 交換利率等於（1 減去最後一個折現因子）除以所有折現因子的總和。

B. 貨幣交換 (Currency Swaps)

貨幣交換很獨特，因為：
1. 本金在期初進行交換。
2. 利息以不同貨幣支付。
3. 本金在期末換回。

計算貨幣交換價值的步驟：
1. 計算該貨幣自身的「固定端」價值。
2. 計算該貨幣自身的「浮動端」（或第二個固定端）價值。
3. 使用當前現貨匯率將它們轉換為同一種貨幣。
4. 將兩者相減。

C. 權益交換 (Equity Swaps)

在權益交換中，你可能會用標普 500 指數的報酬去交換固定利率。
• 定價： 固定利率的計算方式與利率交換類似。
• 估值： 價值 = (新的權益價格 / 舊的權益價格) - (固定端的價值)。
小技巧： 如果權益價格上漲了 10%，則「權益端」直接就是名目本金的 1.10 倍。

快速複習：
• 利率交換： 使用折現因子找出固定利率。
• 貨幣交換： 兩種不同貨幣；別忘了交換本金！
• 權益交換： 其中一方為簡單的百分比報酬。

5. 期貨定價

你可能會問：「遠期合約和期貨不是一樣的嗎？」在數學上它們非常接近，但有一個重大區別：逐日結算 (Marking to Market)。

由於期貨是每日結算的，期貨合約的價值 (\(V_t\)) 在每個交易日結束時都會重置為零。任何收益或虧損都會立即在你的保證金帳戶中實現。

你知道嗎？ 如果利率保持不變且與資產價格呈正相關，期貨價格會略高於遠期價格。然而，對於 CFA Level II 考試，除非題目另有說明，否則我們通常將它們視為相同。

總結與最後小撇步

1. 依照時間軸： 一定要畫出時間軸。標示出你目前所在的位置 (\(t\)) 以及剩餘時間 (\(T-t\))。
2. 現值法則： 衍生工具中幾乎所有的估值公式都是：（我今天擁有的東西）減去（我承諾在未來進行的交易之現值）。
3. 不要被符號嚇到： 無論是 \(S_0 \times e^{rt}\) 還是 \(S_0 \times (1+r)^T\)，邏輯都是一樣的：使用適當的利率將資金在時間軸上進行移動。

關鍵要點： 定價是為了在初始時找到「公平」利率，使合約價值為零。估值是在市場波動後衡量「贏家的獲利」。精通折現因子，你就掌握了交換合約！