歡迎來到微分的進階領域！
在你的純數 1 (P1) 學習旅程中，你已經學過如何對 \(x^2\) 或 \(3x^5\) 這類 \(x\) 的基本冪函數進行微分。在純數 2 (P2) 中，我們將會擴展你的「工具箱」。我們將學習如何處理更有趣的函數，例如指數函數、對數函數和三角函數，並掌握一些處理函數乘法或除法的巧妙規則。
如果這看起來有很多新符號，別擔心。把它想像成玩電子遊戲時學會了新的招式——一旦你掌握了按鍵組合，就能挑戰更強大的 Boss 了！
1. 新的「核心」函數
在 P2 中，你需要記住五個新的導數。它們是你學習的基石。
指數與對數函數
1. 指數函數： \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)
比喻： 函數 \(e^x\) 是數學界最「酷」的函數。它對自己的狀態非常滿意，以至於無論你如何對它微分，它都保持不變！
2. 自然對數函數： \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \)
三角函數
3. 正弦 (Sine)： \( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)
4. 餘弦 (Cosine)： \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)
5. 正切 (Tangent)： \( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \)
快速複習箱：
- \(e^x \rightarrow e^x\)
- \(\ln x \rightarrow \frac{1}{x}\)
- \(\sin x \rightarrow \cos x\)
- \(\cos x \rightarrow -\sin x\) (注意那個負號！)
- \(\tan x \rightarrow \sec^2 x\)
常見錯誤： 同學們在對 \(\cos x\) 微分時經常會忘記負號。一個簡單的記憶方法：如果原始三角函數以「c」開頭（例如 cosine），其導數就是負的。
2. 連鎖律 (P2 複習)
當你有一個「函數內嵌另一個函數」（複合函數）時，你必須使用連鎖律 (Chain Rule)。你要對「外層」進行微分，然後乘以「內層」的導數。
範例：對 \(y = e^{3x+2}\) 微分
- 外層：\(e^{(\dots)}\) 微分後維持 \(e^{(\dots)}\)。
- 內層：\(3x+2\) 的導數是 \(3\)。
- 結果：\(\frac{dy}{dx} = 3e^{3x+2}\)
重點總結：
永遠檢查是否存在「內嵌」函數。如果你的三角函數或對數函數中的 \(x\) 實際上是一個更複雜的項（如 \(5x\) 或 \(x^2\)），最後必須乘以該項的導數。
3. 積法則 (Product Rule)
當你有兩個不同的函數相乘時，例如 \(x^2 \sin x\)，請使用此規則。
如果 \(y = uv\)，則：
\(\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\)
記憶口訣：「留左乘右導 + 留右乘左導」。
（第一部分不動 \(\times\) 第二部分的導數）+（第二部分不動 \(\times\) 第一部分的導數）。
範例：對 \(y = x^2 \ln x\) 微分
- 設 \(u = x^2\) 及 \(v = \ln x\)
- \(\frac{du}{dx} = 2x\) 及 \(\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}\)
- \(\frac{dy}{dx} = (x^2)(\frac{1}{x}) + (\ln x)(2x)\)
- 化簡後：\(\frac{dy}{dx} = x + 2x \ln x\)
4. 商法則 (Quotient Rule)
當一個函數除以另一個函數時，例如 \(\frac{\sin x}{e^x}\)，請使用此規則。
如果 \(y = \frac{u}{v}\)，則：
\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)
記憶口訣：「下乘上導減上乘下導，除以下面平方」。
- 下 (Low)： 分母函數 (\(v\))
- 上 (High)： 分子函數 (\(u\))
- 導 (D)： 微分
- 下下 (Low-Low)： 分母的平方 (\(v^2\))
重點總結： 分子的順序很重要！你必須先用分母函數 (\(v\)) 乘以分子的導數。
5. 隱函數微分 (Implicit Differentiation)
通常我們看到的方程式都是 \(y = \dots\) 的形式。但如果 \(x\) 和 \(y\) 混在一起，例如 \(x^2 + y^2 = xy + 7\) 呢？這就是隱函數。
操作方法：
1. 照常對每一項關於 \(x\) 進行微分。
2. 當你對含有 \(y\) 的項進行微分時，照常微分，但在後面補上一個 \(\frac{dy}{dx}\)。
3. 重新整理方程式以求出 \(\frac{dy}{dx}\)。
範例：對 \(y^2\) 微分
把它當作 \((\dots)^2\) 處理。導數為 \(2y \times \frac{dy}{dx}\)。
你知道嗎？ 當你無法輕易寫出「\(y = \dots\)`」形式時，這種技巧對於求圓形或橢圓的切線斜率非常有用！
6. 參數方程微分 (Parametric Differentiation)
有時 \(x\) 和 \(y\) 都由第三個變量定義，通常是 \(t\) (時間) 或 \(\theta\) (角度)。這些被稱為參數。
範例：\(x = 2t\), \(y = t^2\)
要計算 \(\frac{dy}{dx}\)，請使用這個簡單公式：
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)
分步教學：
1. 求出 \(\frac{dx}{dt}\)。
2. 求出 \(\frac{dy}{dt}\)。
3. 將 \(y\) 的結果除以 \(x\) 的結果。
7. 應用：切線與法線
這就是我們利用導數解決幾何問題的地方。這與 P1 的做法完全一樣，只是換成了我們新的 P2 函數！
- 切線斜率 (Tangent Gradient)： 就是 \(\frac{dy}{dx}\) 在該特定點的值。
- 法線斜率 (Normal Gradient)： 是切線斜率的「負倒數」。(倒過來並改變符號：\(-\frac{1}{m}\))。
- 方程式： 使用直線方程公式：\(y - y_1 = m(x - x_1)\)。
快速複習箱：
- 積法則： 用於 \(u \times v\)
- 商法則： 用於 \(u \div v\)
- 隱函數： 用於混合 \(x\) 和 \(y\) 的式子。（\(y\) 項記得加上 \(\frac{dy}{dx}\)！）
- 參數方程： 用於 \(x\) 和 \(y\) 都取決於 \(t\) 的情況。
如果起初覺得這些很棘手，別擔心！微分就是熟能生巧。一旦你學會識別該使用哪種「規則」（是積法則？商法則？還是隱函數？），剩下的就只是執行你背下來的步驟而已。你一定做得到！