簡介：歡迎來到幾何級數！
歡迎來到 A Level 數學中最實用且引人入勝的單元之一。如果你曾經留意過一段熱門影片的觀看次數如何每小時翻倍，或是看過儲蓄帳戶中的利息如何累積，其實你已經接觸過幾何增長（geometric growth）了。
在這一章，我們不再像「等差級數」那樣每次都「加上」同一個數，而是要來看看當我們不斷地乘以同一個數時會發生什麼事。如果起初覺得公式有點複雜，不用擔心，我們會一步步拆解，直到你對這些概念瞭如指掌！
1. 什麼是幾何數列？
在我們計算級數總和之前，首先要了解它所對應的數列。幾何數列（Geometric Sequence，又稱等比數列，Geometric Progression 或 GP）是一組數字，其中每一項都是由前一項乘以一個固定的非零數值所得，這個數值稱為公比（common ratio）。
必須掌握的關鍵術語：
• 首項 (\(a\))： 就是數列的第一個數字。
• 公比 (\(r\))： 我們乘以這個數字來得到下一項。你可以用任何一項除以前一項來找到它：\(r = \frac{u_2}{u_1}\)。
• 第 \(n\) 項 (\(u_n\))： 位於第 \(n\) 位置的特定數值。
例子：3, 6, 12, 24...
這裡，首項 \(a = 3\)。
公比 \(r = 2\)（因為 \(3 \times 2 = 6\)，\(6 \times 2 = 12\)，以此類推）。
第 \(n\) 項的公式
若要找出數列中的任何一項而不需要逐一列出，我們使用：
\(u_n = ar^{n-1}\)
為什麼是 \(n-1\)？ 你可以這樣想：要到達第 2 項，你只需要乘 一次 \(r\)。要到達第 3 項，你需要乘 兩次 \(r\)。所以，要到達第 \(n\) 項，你乘 \(r\) 的次數永遠會比位置序號少 1！
快速複習：
數列： 5, -10, 20, -40...
\(a = 5\)
\(r = -2\)（沒錯，\(r\) 可以是負數！這會讓數列的正負號交替出現）。
第 5 項： \(u_5 = 5 \times (-2)^{4} = 5 \times 16 = 80\)。
關鍵要點： 幾何數列的核心就是乘法。永遠先找出 \(a\) 和 \(r\)；它們就是解開所有問題的「鑰匙」。
2. 幾何級數：求總和
級數（series）是你將數列中的各項相加後得到的結果。例如，如果數列是 2, 4, 8，那麼級數就是 \(2 + 4 + 8 = 14\)。我們使用記號 \(S_n\) 來代表前 \(n\) 項的總和。
總和公式
同一個公式有兩種寫法。你可以選擇你覺得比較好用的那個，但通常規則如下：
• 若 \(r > 1\)（為了保持數值為正）：\(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\)
• 若 \(r < 1\)：\(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)
總和公式的證明（課程指引要求）
在 OCR MEI H640 中，你需要懂得如何利用代數證明此公式：
1. 寫出前 \(n\) 項的總和：
\(S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}\) （方程式 1）
2. 將整條方程式乘以 \(r\)：
\(rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n\) （方程式 2）
3. 以方程式 1 減去方程式 2（留意中間項幾乎全部互相抵消！）：
\(S_n - rS_n = a - ar^n\)
4. 兩邊提取公因式：
\(S_n(1 - r) = a(1 - r^n)\)
5. 兩邊同時除以 \((1 - r)\)（其中 \(r \neq 1\)）：
\(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)
別擔心，如果這看起來有點複雜…… 最常見的錯誤是混淆了第 \(n\) 項公式（使用 \(r^{n-1}\)）和總和公式（使用 \(r^n\)）。請記住：「求單項需要減 1 預留空間（\(n-1\)），但求總和時要用到完整的項數（\(n\)）。」
逐步示範：
求 2, 6, 18, 54... 前 8 項的和。
1. 找出 \(a = 2\)。
2. 找出 \(r = 6 \div 2 = 3\)。
3. 我們要求的是 \(n = 8\)。
4. 代入公式：\(S_8 = \frac{2(3^8 - 1)}{3 - 1}\)
5. 化簡：\(S_8 = \frac{2(6561 - 1)}{2} = 6560\)。
3. 求和記號（\(\sum\)）
幾何級數經常使用求和記號（sigma notation）來表示。符號 \(\sum\) 代表「求和」。
例如：\(\sum_{k=1}^n ar^{k-1} = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} = S_n\)。
例子： 計算 \(\sum_{k=1}^6 3(2)^{k-1}\)。
這裡，\(a = 3(2)^{0} = 3\)，\(r = 2\)，且 \(n = 6\)。
\(S_6 = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1} = 3(64 - 1) = 3 \times 63 = 189\)。
4. 收斂級數與無窮級數和
想像你正站在距離牆壁 2 公尺的地方。
首先，你走 1 公尺（一半的距離）。
接著，你走 0.5 公尺（剩下距離的一半）。
然後，你再走 0.25 公尺……
你真的會穿過那面牆嗎？不會！你走過的總距離會越來越接近 2 公尺，但永遠不會超過它。這就是收斂級數（convergent series）。
級數何時收斂？
一個幾何級數只有在公比 \(r\) 滿足以下條件時，才會有無窮級數和（\(S_\infty\)）：\(|r| < 1\)（或 \(-1 < r < 1\)）。
如果 \(|r| < 1\)，當 \(n \to \infty\) 時，\(r^n \to 0\)。將此代入 \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)，即可得出無窮級數和。
無窮級數和公式
如果 \(|r| < 1\)，總和為：
\(S_\infty = \frac{a}{1 - r}\)
你知道嗎？
這就是循環小數運算的原理！小數 \(0.3333...\) 其實就是一個幾何級數：\(\frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000}...\)，其中 \(a = 0.3\) 且 \(r = 0.1\)。代入公式：\(S_\infty = \frac{0.3}{1 - 0.1} = \frac{0.3}{0.9} = \frac{1}{3}\)。
5. 常見陷阱與技巧
• 「n-1」陷阱： 記住 \(u_n\) 使用 \(r^{n-1}\)，但 \(S_n\) 使用 \(r^n\)。
• 負數公比： 如果 \(r\) 是負數（例如 -0.5），數列項會在正數與負數間跳動。使用總和公式時，務必將負數放入計算機的括號中：\((-0.5)^n\)。
• 求 \(n\) 的值： 如果題目問「需要多少項才能使總和超過 1000？」，你通常需要使用對數（Logarithms）來解指數 \(n\)。
6. 使用幾何級數建立模型
在考試中，你可能會遇到「現實世界」的題目，這通常與金錢或增長有關。
類比：複利（Compound Interest）
如果你將 1000 英鎊存入銀行，利率為 5%，明年你會有 \(1000 \times 1.05\)。再過一年，你會有 \((1000 \times 1.05) \times 1.05\)。
這就是一個幾何數列，其中 \(a = 1000\) 且 \(r = 1.05\)。
模型建立的重要技巧： 仔細閱讀題目，確認首項是從第 0 年還是第 1 年開始。這會影響你的指數是 \(n\) 還是 \(n-1\)。簡單畫出前 3 項的時間線，通常就能釐清困惑！
章節總結
• 幾何數列： 每次乘以 \(r\)（\(u_n = ar^{n-1}\)）。
• 前 \(n\) 項總和： \(S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a(r^n-1)}{r-1}\)。
• \(S_n\) 的證明： 列出 \(S_n\)，乘以 \(r\)，計算相減 \(S_n - rS_n\)，然後提取公因式。
• 求和記號： \(\sum_{k=1}^n ar^{k-1}\) 代表前 \(n\) 項的總和。
• 無窮級數和： \(S_\infty = \frac{a}{1-r}\)，只在 \(|r| < 1\) 時成立。
• 模型建立： 使用這些工具來解決涉及百分比、人口與財務的問題。