歡迎來到金融遠期合約（Forwards）與期貨（Futures）定價的世界！

各位未來的 FRM 持證人，歡迎！如果你曾經好奇交易員究竟是如何決定股票或貨幣在六個月後的確切價值，那麼你來對地方了。在本章中，我們將學習定價的運作機制。

我們在此所做一切的「秘密武器」是一個稱為無套利定價（Arbitrage-Free Pricing）的概念。簡單來說，我們的目標是找到一個價格，讓任何人無法在不承擔任何風險的情況下，「白賺」一筆錢。別擔心如果起初數學看起來有點嚇人，我們會透過你在日常生活中也能運用的邏輯，一步步為你拆解。


1. 基礎：投資資產 vs. 消費資產

在進行任何計算之前，我們需要知道我們在處理什麼。在 FRM 課程的這個部分，我們主要關注投資資產（Investment Assets）。

投資資產是指被大量投資者純粹出於投資目的而持有的資產（例如股票、債券或黃金）。而消費資產（Consumption Assets）則主要用於消耗（例如石油、銅或豬腩肉）。

為什麼這點很重要？ 因為對於投資資產，我們可以使用套利（Arbitrage）理論來找到精確的價格。如果價格過高或過低，投資者會進行買入或賣出，直到價格回到「公允價值（Fair Value）」。

必備概念：賣空（Short Selling）

要理解套利，你必須先理解賣空。這涉及借入你並不擁有的資產，在今天賣出，並承諾在未來買回以歸還。如果價格下跌，你就能獲利！

快速複習：
• 現貨價格（Spot Price, \( S_0 \)）：資產在當下的價格。
• 遠期價格（Forward Price, \( F_0 \)）：今天約定在未來交割的價格。
• T：合約距離到期的時間（通常以年為單位）。
• r：無風險利率（以連續複利表示）。


2. 無收益投資資產的定價

想像你想在一年後購買一股不發放股利的股票。你有兩個選擇：
1. 今天以現貨價格 \( S_0 \) 買入並持有它。
2. 簽訂一份遠期合約，約定在一年後以 \( F_0 \) 的價格買入。

為了使這兩個選擇相等，遠期價格必須考慮到貨幣的時間價值（Time Value of Money）。如果你等到一年後才付錢，你本來可以將這筆錢存入銀行賺取利息！

公式：
\( F_0 = S_0 e^{rT} \)

範例：
如果股票今天為 $100（\( S_0 = 100 \)），無風險利率為 5%（\( r = 0.05 \)），合約期限為 1 年（\( T = 1 \)）：
\n\( F_0 = 100 \times e^{0.05 \times 1} \approx \$105.13 \)

避免常見錯誤：
學生常忘記將月份轉換為年來計算 \( T \)。如果合約期限為 6 個月，則 \( T = 0.5 \)。一定要檢查你的時間單位！

重點總結：遠期價格只是將現貨價格透過利率「推向未來」。如果遠期價格高於這個計算出的數值，你就可以借錢買入資產，同時賣出遠期合約，從而獲得「無風險利潤」（這就是套利！）。


3. 加入收益因素

如果資產在你持有期間會產生收益怎麼辦？例如，債券會支付利息，或股票會支付股利。這使得持有該資產比持有遠期合約更具吸引力（因為遠期合約持有者拿不到這些收益）。

A. 已知現金收益（\( I \)）

如果你收到一筆確定的金額（如債券利息），我們在將現貨價格推向未來之前，必須先從中扣除該收益的現值（Present Value）。

公式：
\( F_0 = (S_0 - I) e^{rT} \)
其中 \( I \) 是合約期間內所有預期收益的現值。

B. 已知連續收益率（\( q \)）

對於股票指數（如 S&P 500），股利發放非常頻繁，我們將其視為連續的「流」或收益率（\( q \)）。

公式：
\( F_0 = S_0 e^{(r-q)T} \)

類比：將 \( r \) 視為持有資產的「成本」（你支付的利息），將 \( q \) 視為「收益」（你獲得的股利）。遠期價格僅按淨成本 \( r - q \) 成長。

重點總結：收益會降低遠期價格，因為持有遠期合約的人會錯過這些收益。


4. 遠期合約的評價（價格 vs. 價值）

這是 FRM 學生最容易混淆的地方，讓我們釐清它！

• 遠期價格（\( F_0 \)）：這是合約中寫明的「交割價格」。在合約開始時，其價值（Value）為零，因為合約是公平定價的。
• 價值（\( f \)）：隨著時間流逝，現貨價格（\( S_t \)）變動，合約開始變得「有價值」。如果你鎖定的買入價是 $100，而現在價格漲到 $120，你的合約現在就值錢了！

價值公式（長倉）：
\( f = (F_t - K) e^{-r(T-t)} \)
其中 \( K \) 是你最初約定的交割價格，\( F_t \) 是目前新合約的遠期價格。

記憶技巧：價值就是如果你今天結算該合約，你將獲得利益的現值。


5. 外匯遠期（利率平價）

處理貨幣時，將外幣利率（\( r_f \)）視為該貨幣的「股利收益率」。如果你持有歐元，你就可以賺取歐元的利息。

公式：
\( F_0 = S_0 e^{(r_d - r_f)T} \)
• \( r_d \)：本國無風險利率（例如美元）
• \( r_f \)：外國無風險利率（例如歐元）

注意：現貨價格 \( S_0 \) 必須報價為「每單位外幣兌換多少本幣」（例如 1.10 美元兌 1 歐元）。

你知道嗎？這種關係稱為利率平價（Interest Rate Parity）。如果這個關係不存在，銀行就可以在不同國家之間調度資金，並賺取源源不絕的無風險利潤！


6. 期貨 vs. 遠期：它們是一樣的嗎？

在 FRM 考試中，我們通常假設遠期價格與期貨價格相同。然而，理論上存在微小的差異。

由於期貨是每日結算（Marked-to-market）的，現金流的時間點非常重要。如果利率與資產價格之間存在強烈的相關性，期貨價格可能會與遠期價格略有不同。

快速經驗法則：
• 如果利率是固定的或可預測的：期貨價格 = 遠期價格。
• 對於大多數考試題目：除非題目特別詢問關於利率相關性的問題，否則請將它們視為完全相同。


7. 「持有成本（Cost of Carry）」總結

總結來說，我們使用一個稱為持有成本（\( c \)）的概念來涵蓋我們所學的所有公式。

通用公式：
\( F_0 = S_0 e^{cT} \)

• 對於無收益股票：\( c = r \)
• 對於股票指數：\( c = r - q \)
• 對於貨幣：\( c = r_d - r_f \)

重點總結：持有成本簡單來說就是儲存/融資資產的成本減去從資產中賺取的收益。


最後的鼓勵

如果需要多讀幾遍這些公式，請不要擔心。定價其實就是貨幣的「時間旅行」。只要問自己：「如果我晚點買而不是現在買，我可以省下多少利息，又會錯失多少股利？」 一旦你掌握了這個邏輯，數學就會變得非常自然。你一定可以做到的！