Properties of Options

FRM Part I · FRM · 约 4 分钟阅读

歡迎來到期權屬性的世界！

你好！今天我們將深入探討「期權屬性」（Properties of Options）。這一章是金融市場與產品（Financial Markets and Products）部分的基石。你可以把它想像成期權領域的「物理定律」。一旦你理解了這些規則——比如為什麼認購期權（Call option）的價格不能低於某個水平，或者股價與行使價之間是如何互動的——你就會發現後面那些更複雜的公式其實很容易上手。別擔心起初會有很多變量，我們會逐一為你拆解。

你知道嗎？ 我們今天討論的大多數「規則」都是基於套利（Arbitrage）原理。簡單來說，如果這些規則被打破，交易員就能在零風險的情況下「無中生有」地獲利。市場反應非常迅速，絕對不會讓這種機會長期存在！

1. 影響期權價格的六大因素

在看公式之前，我們先來看看決定期權價格的「原材料」。主要有六大因素：

1. 股價 ($S_0$)： 當股價上漲時，認購期權（買入權利）變得更值錢，而認沽期權（賣出權利）則變得不那麼值錢。
2. 行使價 ($K$)： 你需要支付來買入股票的價格（Call）越高，期權價值就越低。反之，你可以賣出股票的價格（Put）越高，期權價值就越高。
3. 到期時間 ($T$)： 一般來說，時間越長越好。這給了股價更多「波動空間」。這通常會提高認購期權和認沽期權的價格。
4. 波動率 ($\sigma$)： 這是「秘方」。期權非常喜歡波動率！因為你的下行風險僅限於支付的權利金，而上行空間卻是無限的，所以更高的波動率意味著更大的獲利機會。更高的波動率會增加認購和認沽期權的價格。
5. 無風險利率 ($r$)： 當利率上升時，認購期權價格傾向於上漲，而認沽期權價格則下降。可以這樣想：買入認購期權就像是「預訂」股票——你遲點才付款，所以節省了利息成本。
6. 股息 ($D$)： 當公司發放股息時，股價會下跌。這對認購期權不利，對認沽期權有利。

核心重點： 波動率是唯一一個讓認購和認沽期權價格朝同一方向（上升！）變動的因素。

2. 期權價格的上下界

期權有其「邊界」。如果價格超出這些界限，套利者就會出手。

上界 (Upper Bounds)

- 認購期權 (Calls)： 認購期權的價值絕不可能超過股票本身。為什麼？因為它僅僅是一種買入股票的權利。你絕不會花 $ \$110 $ 去買一個價值僅為 $ \$100 $ 的東西的買入權。
公式： $ c \leq S_0 $ 與 $ C \leq S_0 $

- 認沽期權 (Puts)： 認沽期權的價值絕不可能超過行使價 ($K$)。認沽期權持有人最好的期望就是公司破產導致股價歸零，從而讓他們能以 $K$ 的價格賣掉一文不值的股票。
公式： $ p \leq Ke^{-rT} $ (歐式) 與 $ P \leq K $ (美式)

下界 (Lower Bounds - 歐式期權)

歐式認購期權的價值不能低於股價減去行使價的現值（或者零，取較高者）。
- 認購期權下界： $ c \geq \max(S_0 - Ke^{-rT}, 0) $
- 認沽期權下界： $ p \geq \max(Ke^{-rT} - S_0, 0) $

常見錯誤： 在處理歐式期權時忘記對行使價 ($K$) 進行折現。請記住，歐式期權只能在到期時行使，所以我們必須使用現值 ($e^{-rT}$)。

核心重點： 如果期權價格跌破這些下界，說明它「太便宜了」，你可以通過買入期權並同時沽空/買入相關資產來進行無風險套利。

3. 認沽-認購平價公式 (Put-Call Parity - 適用於歐式期權)

這是 FRM 中最重要的概念之一！它展示了具有相同行使價和到期日的歐式認購期權與認沽期權之間的固定關係。

公式： $ c + Ke^{-rT} = p + S_0 $

等等，這意味著什麼？
設想兩個組合：
- 組合 A (信託認購 - Fiduciary Call)： 一份認購期權加上足夠的現金，以便在到期時支付行使價。
- 組合 B (保護性認沽 - Protective Put)： 一份認沽期權加上一股股票。

在到期時，兩個組合的價值將完全相同：要麼是股價（如果股價較高），要麼是行使價（如果股價較低）。既然它們最終的價值相同，它們今天的成本必然相等！

比喻： 如果兩個不同的禮物盒裡裝著一模一樣的 $ \$100 $ 玩具，無論包裝如何，兩個盒子都應該以相同的價格出售。

逐步技巧： 如果題目要求你找出「合成認購期權」(Synthetic Call)，只需簡單變換公式： $ c = p + S_0 - Ke^{-rT} $。

核心重點： 認沽-認購平價只適用於歐式期權。對於美式期權，由於具備提前行使功能，我們使用的是不等式。

4. 提前行使：美式期權

美式期權賦予你隨時行使的權利。但你應該這麼做嗎？大多數情況下，答案是「不」。

無派息股票的美式認購期權

如果股票不派息，你絕對不應該提前行使美式認購期權。為什麼？因為行使期權意味著你放棄了期權的「時間價值」，並且比必要的時間更早支付了現金。將期權賣給別人永遠比提前行使更划算。
規則： $ C = c $ (如果沒有股息，美式認購期權價值等於歐式認購期權價值)。

美式認沽期權

與認購期權不同，提前行使美式認沽期權有時是最佳策略。如果一家公司瀕臨破產，股價接近零，那麼股價下跌的空間已經所剩無幾。通過現在行使，你可以立即獲得現金 ($K$) 並開始賺取利息。
規則： $ P > p $ (美式認沽期權通常比歐式認沽期權更有價值)。

別擔心這點會讓你困惑： 記住一個簡單原則：認購期權喜歡等待（讓現金留在銀行裡賺利息）；認沽期權可能想要提前行使（把錢拿到手存進銀行）。

核心重點： 股息是唯一讓你可能提前行使美式認購期權的原因（為了在除息導致股價下跌前捕獲股息）。

5. 股息的影響

股息就像是股價的「洩漏點」。當支付股息時，股價大約會下跌相同的金額。這會影響我們的邊界和認沽-認購平價公式。

我們將股息表示為期權存續期間內股息的現值 ($D$)。只需在公式中從股價中扣除這部分即可：

- 調整後的認購期權下界： $ c \geq S_0 - D - Ke^{-rT} $
- 調整後的認沽-認購平價： $ c + D + Ke^{-rT} = p + S_0 $

快速複習盒：
1. 波動率會增加所有期權的價格。
2. 認購期權上界： 股價。
3. 認沽期權上界： 行使價。
4. 認沽-認購平價： $ c + Ke^{-rT} = p + S_0 $。
5. 提前行使： 美式認購期權絕不提前行使（無股息時），但美式認沽期權有可能提前行使。

恭喜你！你已經掌握了期權的基本屬性。這些概念是你整個 FRM 學習之旅中用來進行「邏輯檢核」的關鍵。繼續練習認沽-認購平價公式的變換，你一定能準備得非常充分！

快速检查

你现在能答出来吗？

展开每个问题，快速检查你是否掌握本章重点。

哪些因素的增加會導致認購期權 (Call Option) 的價值上升？

股價 ($S_0$)、到期時間 ($T$)、波動率 ($\sigma$) 以及無風險利率 ($r$) 的上升都會增加認購期權的價值。

哪些因素的增加會導致認沽期權 (Put Option) 的價值上升？

行使價 ($K$)、到期時間 ($T$)、波動率 ($\sigma$) 以及股息 ($D$) 的上升都會增加認沽期權的價值。

認購期權價格的理論上限 (Upper Bound) 是什麼？

認購期權的價格絕不會超過相關資產的當前股價，即 $ c \leq S_0 $ 與 $ C \leq S_0 $。

美式與歐式認沽期權的理論上限有何不同？

歐式認沽期權上限為行使價的現值 $ p \leq Ke^{-rT} $；美式認沽期權上限為行使價 $ P \leq K $。

歐式認購期權 (無股息) 的理論下限 (Lower Bound) 公式是什麼？

$ c \geq \max(S_0 - Ke^{-rT}, 0) $

什麼是認沽-認購平價公式 (Put-Call Parity)？

對於相同行使價和到期日的歐式期權，公式為：$ c + Ke^{-rT} = p + S_0 $。

為什麼在不派息的情況下，不應提前行使美式認購期權？

因為提前行使會損失期權的時間價值，且提前支付行使價會損失潛在的利息收入。

為什麼美式認沽期權有時需要提前行使？

當股價非常低（接近零）時，提前行使可以立即獲得行使價現金並開始賺取利息。

當考慮預計發放的股息現值 (D) 時，認沽-認購平價公式如何調整？

調整後的公式為：$ c + D + Ke^{-rT} = p + S_0 $。

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