簡介：歡迎來到 BSM 模型的世界！

你好，未來的 FRM 持證人！歡迎來到金融學中最著名的課題之一：布萊克-舒爾斯-默頓 (Black-Scholes-Merton, BSM) 模型。如果你曾經好奇交易員是如何精確計算出期權的價值，那麼你來對地方了。

雖然這些公式起初看起來有點令人望而生畏，但別擔心！我們會將其拆解，逐一擊破。你可以將 BSM 模型想像成一個「金融廚房秤」。就像秤可以幫助你稱量食材以做出完美的蛋糕一樣，BSM 模型能幫助我們「衡量」各種因素——如時間、波動率和利率——從而找出期權的公平價格。讓我們開始吧！

1. 理解股價行為

在我們對期權定價之前，必須先了解股價是如何變動的。BSM 模型對回報和價格作出了兩個關鍵假設：

1. 連續回報呈常態分佈： 我們假設連續複利回報遵循經典的鐘形曲線（常態分佈）。
2. 股價呈對數常態分佈 (Lognormal Distribution)： 這是一種高階的說法，意思是股價永遠不會跌破零，並且向右有一個「長尾」（意即股價上漲沒有上限）。

快速複習：為什麼是對數常態分佈？

想像一隻股價為 $100 的股票。它可以漲到 $200、$500 甚至 $1,000。但它永遠不可能變成 -$50。常態分佈會允許出現負價格，這在現實世界中是不可能的。對數常態分佈通過在零點處截斷，解決了這個問題。

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重點總結： 回報是常態的；價格是對數常態的。

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2. BSM 的核心假設

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為了讓數學運算成立，BSM 模型假設了一個「完美」的世界。儘管現實世界並不完美，但這些假設為我們提供了一個非常有力的起點：

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  • 無交易成本： 沒有佣金或稅費。
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  • 連續交易： 你可以在任何時間買入或賣出任何比例的股份。
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  • 波動率恆定： 股票的「風險性」(\(\sigma\)) 在期權有效期內不會改變。
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  • 無風險利率恆定： 利率 (\(r\)) 保持不變。
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  • 無套利： 市場上不存在「免費午餐」。
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  • 幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion)： 這是形容股價隨機「曲折」路徑的數學術語。
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常見陷阱： 學生經常忘記標準的 BSM 模型假設期權有效期內沒有派發股息。（我們會稍後調整股息！）

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3. 布萊克-舒爾斯-默頓公式

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該公式用於計算歐式期權的價格。別讓這些符號嚇到你，我們會在下方解釋它們的含義。

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買權 (Call Option) 公式：

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\( c = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) \)

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賣權 (Put Option) 公式：

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\( p = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1) \)

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變數說明：

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  • \( S_0 \)：當前股價
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  • \( K \)：履約價格 (Exercise Price)
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  • \( r \)：無風險利率（連續複利）
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  • \( T \)：到期時間（以年為單位）
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  • \( N(x) \)：累積常態分佈函數（數值小於 \(x\) 的機率）
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什麼是 \( d_1 \) 和 \( d_2 \)？

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這些是中間計算值。你不需要背誦推導過程，但必須知道如何使用它們：

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\( d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} \)

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\( d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} \)

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你知道嗎？ \( N(d_1) \) 項實際上就是買權的 Delta。它告訴你如果股價變動 $1，期權價格會發生多少變化。\( N(d_2) \) 則是期權在風險中性世界中被行使的機率。

4. 直覺：公式為什麼長這樣？

再看一次買權公式：\( c = [S_0 N(d_1)] - [K e^{-rT} N(d_2)] \)

這其實就是一個簡單的「收益減去成本」的減法：

1. 收益： \( S_0 N(d_1) \) 本質上是你行使期權時將收到的股票之預期價值。
2. 成本： \( K e^{-rT} N(d_2) \) 是你為了獲得該股票而必須支付的履約價格之現值。

類比： 想像你有一個一個月後以 $10 購買披薩的優惠券。該優惠券今天的價值，就是披薩目前的價值減去你必須支付的 $10，並根據你一個月後真的想吃披薩的機率進行調整！

5. 股息調整

如果股票派發股息，它對買權持有者而言會變得較不具吸引力（因為他們收不到股息），而對賣權持有者則更有吸引力。在 BSM 模型中，我們透過將股價 \( S_0 \) 替換為「股息調整後」的價格來處理這一點。

如果有連續股息收益率 (\(q\))，公式中的 \( S_0 \) 會變為： \( S_0 e^{-qT} \)

記憶小撇步： 股息 (Dividends) 會讓股價「下跌」(Drop)。由於買權持有者希望價格上漲，因此股息對買權是不利的，對賣權則是有利的。

重點總結： 若要調整股息，只需在將數據代入 BSM 公式前，從當前股價中減去股息的現值即可。

6. 認股權證 (Warrants) 與期權的區別

FRM 考試偶爾會考到 認股權證。雖然它們看起來像期權，但有一個巨大差異：稀釋效應 (Dilution)。

  • 期權： 是在兩位投資者之間交易。不會產生新股份。
  • 認股權證： 是由公司本身發行的。當權證被行使時，公司會發行新股。

由於產生了新股，公司的總價值被攤分到更多股份上，這會稍微降低股價。這就是 稀釋效應。要評估權證價值，你需要將 BSM 計算出的價格乘以一個稀釋因子。

7. 波動率：秘密成分

波動率 (\(\sigma\)) 是 BSM 模型中我們無法直接從市場觀察到的唯一變數。我們有兩種方法來獲取它：

歷史波動率

我們查看過去的股價（例如過去 90 天）並計算回報的標準差。這就像查看司機的過去駕駛記錄來猜測他明天會如何開車一樣。

隱含波動率 (Implied Volatility, IV)

這是一種「前瞻性」的方法。我們取得期權的當前市場價格，並反向運算 BSM 公式，找出使公式等於市場價格的 \(\sigma\) 值。
例子： 如果一個期權的交易價格為 $5，我們將 $5 代入 BSM 公式的「價格」端，然後解出 \(\sigma\)。

快速複習盒：
- 波動率越高 = 期權價格越高（對於買權和賣權皆然）。
- 隱含波動率是市場對未來風險的共識。

8. 總結與最後建議

BSM 模型是 FRM 課程的基石。以下是你必須記住的重點：

  • 對數常態性： 價格是對數常態的；回報是常態的。
  • 公式組成： \( N(d_1) \) 是 Delta；\( N(d_2) \) 是行使機率。
  • 輸入變數： \( S, K, r, T, \sigma \)。只有 \(\sigma\) 不是直接可觀察的。
  • 股息： 會減少公式中使用的股價。
  • 認股權證： 會導致稀釋；一般期權則不會。

最後鼓勵： 如果 \( d_1 \) 公式看起來很複雜，請不要擔心！大多數考試題目關注的是邏輯和關係（例如：「如果波動率增加，買權價格會發生什麼變化？」），而不是要求你手動計算複雜的自然對數。請先專注於理解直覺！