歡迎來到數據的高階推理（Extended Reasoning with Data）

在基礎數學中，你已經學習過如何用平均數（mean）、中位數（median）和眾數（mode）來衡量數據的集中趨勢，以及如何用分佈域（range）和四分位距（IQR）來衡量數據的離差（spread）。你亦探討過單一事件和複合事件的基本概率。（如果想溫習收集數據、盒形圖或簡易概率的基礎知識，可以查看本單元前面的章節！）

在這個拓展數學（Extended Mathematics）章節中，我們會更進一步，學習兩個全球科學家、經濟學家和體育分析師都常用的強大工具：
• 標準差（Standard Deviation）：衡量數據圍繞平均數離散程度的黃金標準。
• 條件概率（Conditional Probability）：當我們已知某些額外資訊（「在……條件下」）時，計算某事件發生的機會率。

一開始覺得它們深奧也不用擔心！我們會用生活化的例子，一步步拆解每個公式，讓你可以充滿信心應對任何 eAssessment 的題目。

第一部分：標準差（拓展）

1. 甚麼是標準差？

試想像兩位射箭運動員：箭手 A 和箭手 B。兩人在五次試射中的平均得分都是每箭 \(8\) 環。
• 箭手 A 的得分：\(8, 8, 8, 8, 8\)
• 箭手 B 的得分：\(4, 6, 8, 10, 12\)

兩人的平均數完全相同：
\(\bar{x} = \frac{8 + 8 + 8 + 8 + 8}{5} = 8\)
\(\bar{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 10 + 12}{5} = 8\)

他們的表現是否一樣穩定？當然不是！箭手 A 每一箭都穩穩射中 \(8\) 環，而箭手 B 的箭則散落靶面各處。單靠平均數，根本無法看清全貌。我們需要一個指標，用來反映數據點圍繞平均數聚集的緊密程度。

標準差（通常用希臘字母 \(\sigma\) 或英文字母 \(s\) 表示）是用來衡量數據值與算術平均數之間的典型（或平均）距離。
• 標準差較小：代表數據值緊密聚集在平均數周圍（穩定性高，離散程度低）。
• 標準差較大：代表數據值分散在離平均數較遠的地方（穩定性低，離散程度高）。
• 如果所有數據值都一模一樣，標準差就恰好等於 \(0\)。

2. 標準差的公式

對於一個包含 \(n\) 個數值 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)、平均數為 \(\bar{x}\) 的數據集，母體標準差公式為：

\(\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}}\)

讓我們來逐一拆解每個符號的意思：
• \(x\)：個別數據值
• \(\bar{x}\)：數據值的平均數（讀作「x-bar」）
• \((x - \bar{x})\)：每個數值與平均數的離差（距離）
• \((x - \bar{x})^2\)：離差平方（平方能把負差距轉為正數，這樣它們相加時就不會互相抵消！）
• \(\sum\)：「求和」— 把所有數值全部加起來
• \(n\)：數據值的總個數
• \(\sqrt{\phantom{x}}\)：平方根 — 將單位還原回原本的度量單位

記憶口訣： 記住 D-S-M-S — 算差值（Difference from mean）、取平方（Square them）、求平均（Mean of squares，除以 \(n\)）、開方根（Square root）！

3. 逐步計算示範

讓我們計算四位學生測驗分數的標準差：\(4, 6, 7, 11\)。

第 1 步：計算平均數（\(\bar{x}\)）
\(\bar{x} = \frac{4 + 6 + 7 + 11}{4} = \frac{28}{4} = 7\)

第 2 步：求每個數值的離差 \((x - \bar{x})\)
• 針對 \(4\)：\(4 - 7 = -3\)
• 針對 \(6\)：\(6 - 7 = -1\)
• 針對 \(7\)：\(7 - 7 = 0\)
• 針對 \(11\)：\(11 - 7 = +4\)

快速驗算： 平方前所有離差的總和必然等於 \(0\)：\((-3) + (-1) + 0 + 4 = 0\)！

第 3 步：計算每個離差的平方 \((x - \bar{x})^2\)
• \((-3)^2 = 9\)
• \((-1)^2 = 1\)
• \(0^2 = 0\)
• \(4^2 = 16\)

第 4 步：將離差平方求和並除以 \(n\)（這個數值稱為方差 Variance）
\(\text{方差} = \frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n} = \frac{9 + 1 + 0 + 16}{4} = \frac{26}{4} = 6.5\)

第 5 步：開平方根
\(\sigma = \sqrt{6.5} \approx 2.55\)（準確至 \(3\) 位有效數字）

4. 結合情境比較兩個數據集（準則 C 及 D）

在 MYP 電腦化評估（on-screen eAssessment）中，題目常要求你運用統計量來比較兩個分佈。記住一定要結合真實情境，同時評論集中趨勢量度（平均數）和離差量度（標準差）：

例子： 一間麵包店測試兩部不同的切麵包機。
• 機器 A：麵包片平均厚度 = \(12\text{ mm}\)，標準差 = \(0.4\text{ mm}\)
• 機器 B：麵包片平均厚度 = \(12\text{ mm}\)，標準差 = \(1.8\text{ mm}\)

答題示範：
「兩部機器切出的麵包片平均厚度相同，均為 \(12\text{ mm}\)。然而，機器 A 表現更為可靠和穩定，因為其標準差（\(0.4\text{ mm}\)）遠低於機器 B（\(1.8\text{ mm}\)）。機器 B 切出的厚度變化較大，較不均勻。」

5. 數據變換：標準差會如何改變？

如果我們改變數據集裡的每一個數值，會發生甚麼事？
• 每個數值加上或減去常數 \(k\)： 整體分佈在數線上平移，但離散程度完全不變！
\(\sigma_{\text{新}} = \sigma_{\text{舊}}\)
• 每個數值乘以或除以正數常數 \(k\)： 數值之間的距離會放大或縮小 \(k\) 倍。
\(\sigma_{\text{新}} = k \times \sigma_{\text{舊}}\)

例子： 若一組氣溫數據的標準差為 \(3^\circ\text{C}\)，將所有氣溫都加上 \(5^\circ\text{C}\) 後，新的標準差仍然是 \(3^\circ\text{C}\)。若將每個氣溫數值都翻倍，新的標準差就會變成 \(2 \times 3 = 6^\circ\text{C}\)。

重點複習：標準差

• 標準差衡量數據圍繞平均數的離散程度。
• \(\sigma\) 越小 = 越穩定、分佈越集中；\(\sigma\) 越大 = 穩定性越低、分佈越分散。
• 標準差與原始數據帶有相同的單位。
• 整體加上常數不會改變 \(\sigma\)；乘以 \(k\) 則會使 \(\sigma\) 變為原本的 \(k\) 倍。

第二部分：條件概率（拓展）

1. 甚麼是條件概率？

在現實生活中，當有新資訊出現時，概率往往會隨之改變。
假設你擲一顆普通的六面骰子。擲出 \(2\) 的概率是多少？是 \(\frac{1}{6}\)。
現在，假設朋友看了一眼骰子並告訴你：「擲出的是雙數。」
擲出 \(2\) 的機會還是 \(\frac{1}{6}\) 嗎？當然不是！因為可能出現的結果已經從 \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) 縮小至只有 \(\{2, 4, 6\}\)。因此，現在的概率變成了 \(\frac{1}{3}\)。

這就是條件概率：指在事件 \(B\) 已經發生的條件下，事件 \(A\) 發生的概率。

2. 符號與通用公式

我們將「在 \(B\) 發生的條件下，\(A\) 發生的條件概率」記作：
\(P(A \mid B)\)

直線符號 \(\mid\) 讀作「在……條件下」（given that）。寫在豎線後面的，就是我們已知必定為真的條件。

條件概率公式為：

\(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)  （前提是 \(P(B) > 0\)）

若以結果個數（來自樣本空間或頻數表）來表示：

\(P(A \mid B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}\)

為甚麼這個公式合理？
因為已知條件 \(B\) 成了我們新的、縮小了的樣本空間（即新的分母，\(n(B)\) 或 \(P(B)\)）。而在 \(B\) 之中同時符合 \(A\) 的結果，就只有同時屬於 \(A\) 和 \(B\) 的部分（即分子，\(n(A \cap B)\) 或 \(P(A \cap B)\)）。

3. 乘法法則（Product Rule）

將條件概率公式移項，便能得出計算複合事件的乘法法則：

\(P(A \cap B) = P(B) \times P(A \mid B)\)

同樣地也可以寫成：
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\)

4. 方法一：使用雙向頻數表（Two-Way Tables）

雙向表能讓條件概率一目了然，因為你只需專注於其中一行或一列。

例子： 一項調查訪問了 \(100\) 位學生是否有演奏樂器。

數據如下：
• 九年級：\(25\) 人演奏樂器，\(15\) 人不演奏。（該級總人數 = \(40\)）
• 十年級：\(35\) 人演奏樂器，\(25\) 人不演奏。（該級總人數 = \(60\)）
• 總計：\(60\) 人演奏樂器，\(40\) 人不演奏。（全體總人數 = \(100\)）

題目 a： 求隨機選出一名學生有演奏樂器的概率。
題目沒有設定任何條件，因此分母為全體總人數：
\(P(\text{演奏樂器}) = \frac{60}{100} = \frac{3}{5} = 0.6\)

題目 b： 已知該名學生是九年級學生，求他有演奏樂器的概率。
這裡的條件是「九年級學生」。我們將範圍完全鎖定在九年級這一行（共 \(40\) 人）：
\(P(\text{演奏樂器} \mid \text{九年級}) = \frac{n(\text{演奏樂器} \cap \text{九年級})}{n(\text{九年級})} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8} = 0.625\)

題目 c： 已知該名學生有演奏樂器，求他是九年級學生的概率。
留意條件的順序倒轉了！現在的條件是「有演奏樂器」。我們將範圍鎖定在演奏樂器這一列（共 \(60\) 人）：
\(P(\text{九年級} \mid \text{演奏樂器}) = \frac{n(\text{九年級} \cap \text{演奏樂器})}{n(\text{演奏樂器})} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12} \approx 0.417\)

重要啟示： \(P(A \mid B)\) 通常不等於 \(P(B \mid A)\)！審題時一定要看清楚哪一個事件才是條件（即直線後面的事件）。

5. 方法二：使用韋恩圖（Venn Diagrams）

用韋恩圖解條件概率題目時，可以把已給予的條件想像成聚光燈：將那個圓圈以外的所有部分遮蓋。

例子： 一個班級有 \(30\) 位學生：
• \(18\) 人修讀西班牙文（\(S\)）
• \(12\) 人修讀法文（\(F\)）
• \(5\) 人兩科皆修讀（\(S \cap F\)）
• \(5\) 人兩科皆沒有修讀

我們來確認各區域的人數：
• 只修讀西班牙文：\(18 - 5 = 13\)
• 兩科皆修讀：\(5\)
• 只修讀法文：\(12 - 5 = 7\)
• 兩科皆沒有修讀：\(5\)
總人數：\(13 + 5 + 7 + 5 = 30\) 人。

求 \(P(F \mid S)\)： 已知一名學生修讀西班牙文，求他修讀法文的概率。
• 已知條件為 \(S\)，因此忽略圖中其他所有區域。分母為 \(n(S) = 18\)。
• 在這群學生中，同時修讀法文的人數即為交集 \(n(F \cap S) = 5\)。
\(P(F \mid S) = \frac{n(F \cap S)}{n(S)} = \frac{5}{18}\)

求 \(P(S \mid F')\)： 已知一名學生沒有修讀法文，求他修讀西班牙文的概率。
• 已知條件為 \(F'\)（非修讀法文）。
• 沒有修讀法文的總人數：\(30 - 12 = 18\) 人（或計算只修西班牙文的 \(13\) 人 + 兩科皆非的 \(5\) 人 = \(18\)）。
• 在這 \(18\) 人中，有多少人修讀西班牙文？就是那 \(13\) 位只修西班牙文的學生。
\(P(S \mid F') = \frac{13}{18}\)

6. 方法三：使用樹狀圖（Tree Diagrams）

樹狀圖非常適合處理多階段問題，特別是不放回抽樣（第二輪抽取的概率會改變）。

例子： 一個袋裡有 \(5\) 粒紅珠和 \(3\) 粒藍珠（共 \(8\) 粒）。連續抽取兩粒，抽取後不放回。

第一次抽取：
• \(P(R_1) = \frac{5}{8}\)
• \(P(B_1) = \frac{3}{8}\)

第二次抽取（條件分支）：
• 若第一粒抽到紅色：
  – \(P(R_2 \mid R_1) = \frac{4}{7}\)
  – \(P(B_2 \mid R_1) = \frac{3}{7}\)
• 若第一粒抽到藍色：
  – \(P(R_2 \mid B_1) = \frac{5}{7}\)
  – \(P(B_2 \mid B_1) = \frac{2}{7}\)

要計算兩次都抽到紅珠的概率：
\(P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2 \mid R_1) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}\)

7. 獨立事件的檢驗（拓展深度）

如果事件 \(A\) 的發生與否完全不影響事件 \(B\) 發生的概率，則稱這兩件事為獨立事件（Independent Events）。

在基礎數學中，你學過這條公式：
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)

現在學會了條件概率，我們可以給出獨立性最直觀的定義：
\(A\) 和 \(B\) 為獨立事件，若且唯若（if and only if）：
\(P(A \mid B) = P(A)\)   或   \(P(B \mid A) = P(B)\)

箇中含義： 即便知道 \(B\) 發生了，對判斷 \(A\) 會否發生也沒有帶來任何新資訊；\(A\) 發生的概率維持不變！

考試題目示範：
已知 \(P(A) = 0.4\)、\(P(B) = 0.5\) 及 \(P(A \cap B) = 0.2\)。試判斷 \(A\) 和 \(B\) 是否為獨立事件？
方法一： 計算 \(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.2}{0.5} = 0.4\)。
由於 \(P(A \mid B) = 0.4 = P(A)\)，因此兩者為獨立事件。
方法二： 計算 \(P(A) \times P(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.2\)。
由於 \(P(A \cap B) = 0.2 = P(A) \times P(B)\)，因此兩者為獨立事件。

常犯錯誤提醒

• 混淆 \(P(A \mid B)\) 與 \(P(A \cap B)\)：
\(P(A \cap B)\) 是在整個樣本空間中，兩件事同時發生的概率。
\(P(A \mid B)\) 則是僅在 \(B\) 已經發生的結果中，\(A\) 發生的概率。
• 顛倒條件： 先搞清楚哪一個是已知條件。如果題目問「已知下雨，球賽取消的概率是多少？」，條件就是「下雨」，記作 \(P(\text{取消} \mid \text{下雨})\)。
• 分母用錯總數： 在雙向表中，要確保分母來自指定的行或列之總數，而不是全體總人數。

重點複習：條件概率

• \(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}\)。
• 豎線 \(\mid\) 後面的條件會縮小樣本空間。
• 若兩事件獨立，則 \(P(A \mid B) = P(A)\)。
• 樹狀圖的第二層分支展示的就是條件概率。

第三部分：MYP eAssessment 應試要訣

準則 A 及 C：清晰表達計算過程

想在準則 A（認知與理解）及準則 C（溝通）取得最高等級（7–8 分）：
• 列出公式： 代入數字前務必先寫出公式（例如 \(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) 或 \(\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x - \bar{x})^2}{n}}\)）。
• 註明單位： 標準差帶有單位（例如 \(\text{cm}\)、\(\text{秒}\)、\(\text{kg}\)）。概率本身沒有單位，但應寫成分數、小數或百分比。
• 使用準確符號： 平均數用 \(\bar{x}\)、標準差用 \(\sigma\)、條件概率用 \(P(A \mid B)\)。

準則 D：現實情境的反思範例

在準則 D 的任務中，你可能會評估醫療篩查測試：
假設某種罕見疾病只影響人口中的 \(1\%\)。有種檢驗試劑的準確率為 \(95\%\)。
若某人檢測呈陽性，很多人會直覺認為他有 \(95\%\) 的機會患病。但運用條件概率計算後會發現，由於該疾病極為罕見，大部分呈陽性的結果實際上可能是「假陽性」（False Positives）！
若能清楚解釋為甚麼 \(P(\text{患病} \mid \text{呈陽性})\) 會低於 \(P(\text{呈陽性} \mid \text{患病})\)，就能展現出高階的批判性思維，並證明你懂得將數學模型深入應用於真實世界的情境中。

快速溫習清單

• 你能否在不提及「公式」這兩個字的情況下，解釋標準差代表甚麼？
• 你能否針對小型數據集，利用離差及離差平方的列表，手算求出標準差？
• 你是否清楚將數據全部加上一個數，與全部乘以一個數時，標準差分別會如何改變？
• 你能否理解並靈活運用公式 \(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)？
• 你能否從雙向頻數表、韋恩圖及樹狀圖中計算條件概率？
• 你能否運用條件概率來檢驗兩件事是否在統計學上互相獨立？