相關概率簡介

在之前的學習中，你可能主要集中在單一遞減模型 (Single Decrement Model)——即「離開」某種狀態的唯一途徑是通過一個特定事件（通常是死亡）。然而，在現實世界中，受保人離開保險合約的原因有很多：他們可能會死亡、可能患上危疾，或者可能單純地取消保單（失效/退保）。

本章將探討我們如何為這些競爭風險 (competing risks) 建模。我們稱這些為「相關」概率（或稱依存概率），因為因某一原因離開的機率，取決於其他原因是否存在。如果你不幸去世，你就不再可能讓保單失效！理解轉移效力 (force of transition)（瞬時風險）與相關概率 (dependent probability)（一年內發生的機會）之間的數學聯繫，是本章的核心目標。

1. 多重遞減模型

多重遞減模型 (Multiple Decrement Model) 是多狀態馬可夫模型 (Multiple-State Markov Model) 的一個特例。一般的馬可夫模型允許你在不同狀態之間來回移動（例如從「健康」到「患病」，再回到「健康」），但遞減模型是一條「單程路」。一旦個人通過某種遞減方式離開了「活躍 (Active)」狀態，他們就無法返回。

比喻：漏水的水桶
想像一個水桶底部有三個不同的洞。1 號洞是「死亡」，2 號洞是「疾病」，3 號洞是「退保」。水從 1 號洞流出的速度取決於該洞的大小，但最終從 1 號洞流出的總水量，會受到水從 2 號和 3 號洞流走的速度所限制。這些洞正在「競爭」桶裡的水。

關鍵符號

  • \(x\)：個人的當前年齡。
  • \(j\)：遞減的特定類型（例如 \(j=1\) 代表死亡，\(j=2\) 代表退保）。
  • \(\mu_{x+t}^j\)：在年齡 \(x+t\) 時，遞減原因 \(j\) 的遞減效力 (force of decrement)。這是「瞬時」風險。
  • \((aq)_x^j\)：在所有其他遞減因素同時存在的情況下，個人在一年內因遞減原因 \(j\) 離開狀態的相關概率 (dependent probability)。
  • \(ap_x\)：個人在整年內保持在活躍狀態的概率（在所有遞減因素中生存）。

快速複習： \((aq)_x^j\) 中的 "a" 代表 "absolute"（絕對）或 "all-causes"（全因），表示我們是在一個所有退出原因同時運作的多重遞減框架下進行運算。

2. 效力與概率之間的關係

要計算特定事件發生的概率，我們需要考慮兩點：該人必須在時間 \(t\) 之前避過所有遞減因素，然後在該瞬間通過遞減原因 \(j\) 退出。

維持在活躍狀態直到時間 \(t\) 的概率為：
\( {}_tp_x^{aa} = \exp\left( -\int_0^t \sum_k \mu_{x+s}^k ds \right) \)

在一年內因遞減原因 \(j\) 離開的相關概率，是將「在時間 \(t\) 仍處於活躍狀態的概率」乘以「該特定遞減效力」後的積分：
\( (aq)_x^j = \int_0^1 {}_tp_x^{aa} \cdot \mu_{x+t}^j dt \)

重點總結： 因任何原因離開的總概率，即是各個相關概率的總和：
\( (aq)_x^{total} = \sum_j (aq)_x^j \)

3. 常數效力假設

在 IFoA CM1 課程大綱中，一個非常常見且重要的假設是轉移效力在每一歲年齡區間內為常數。這意味著在 \(x\) 歲到 \(x+1\) 歲之間，隨著 \(t\) 從 0 移動到 1，風險 \(\mu_{x+t}^j\) 保持不變。

假設總共有 \(m\) 種遞減因素。如果對於 \(0 \le t < 1\)，\(\mu_{x+t}^j = \mu^j\)（常數）：

A. 從效力計算相關概率

如果我們已知常數效力 \(\mu^1, \mu^2, ..., \mu^m\)，則總效力為：
\( \mu^{total} = \mu^1 + \mu^2 + ... + \mu^m \)

一年內維持在活躍狀態的概率為：
\( ap_x = e^{-\mu^{total}} \)

遞減原因 \(j\) 的相關概率為：
\( (aq)_x^j = \frac{\mu^j}{\mu^{total}} (1 - e^{-\mu^{total}}) \)

如果覺得這看起來很複雜，別擔心！ 只需記住括號部分 \((1 - e^{-\mu^{total}})\) 是因任何原因離開的概率。我們只是按「效力 \(j\)」佔「總效力」的比例來分配這個概率。

B. 從相關概率計算效力

有時考試會給出概率 \((aq)_x^1, (aq)_x^2, ...\) 並要求計算效力。首先，找出維持在活躍狀態的總概率：
\( ap_x = 1 - \sum (aq)_x^j \)

然後，總效力為：
\( \mu^{total} = -\ln(ap_x) \)

最後，我們找出遞減原因 \(j\) 的個別效力：
\( \mu^j = \frac{(aq)_x^j}{\sum (aq)_x^k} \cdot \mu^{total} \)

常見錯誤： 忘記 \(\sum (aq)_x^k = 1 - ap_x\)。請務必檢查你的「總離開概率」加上「維持現狀概率」是否等於 1。

4. 逐步示範實例

問題： 某保險策略受兩種遞減因素影響：死亡 (\(j=1\)) 和退保 (\(j=2\))。在 40 至 41 歲之間，常數死亡效力為 \(0.02\)，常數退保效力為 \(0.08\)。計算一名 40 歲的保單持有人在一年內退保的概率。

第一步：確定各項效力。
\( \mu^1 = 0.02 \)
\( \mu^2 = 0.08 \)

第二步：計算總效力。
\( \mu^{total} = 0.02 + 0.08 = 0.10 \)

第三步：應用退保概率 \((aq)_{40}^2\) 的公式。
\( (aq)_{40}^2 = \frac{0.08}{0.10} (1 - e^{-0.10}) \)
\( (aq)_{40}^2 = 0.8 \cdot (1 - 0.90484) \)
\( (aq)_{40}^2 = 0.8 \cdot 0.09516 = 0.07613 \)

解讀： 雖然退保的「瞬時」風險是 8%，但因為有些人在一年中途死亡了（遞減因素 1），所以最終只有 7.613% 的人實際活得夠久並觸發了退保。

5. 為什麼這很重要？

在精算建模中，我們使用這些概率來預測現金流。如果我們在計算身故賠償的預期現值 (EPV)，我們必須使用死亡的相關概率。如果我們使用單一遞減概率（忽略退保因素），我們就會高估預期支付的身故賠償金額，因為我們忽略了許多人在死亡前就已經因取消保單而離開了受保群體。

重點筆記總結：
1. 當存在多種競爭方式離開某種狀態時，使用多重遞減模型。
2. 在常數效力假設下，特定退出方式的概率與其效力成正比。
3. 相關概率 \((aq)_x^j\) 永遠會小於其效力 \(\mu^j\)（當 \(\mu\) 較小時），因為其他遞減因素會「偷走」潛在的退出候選人。

準備好進行下一步了嗎？ 這些邏輯是構建多重遞減表 (Multiple Decrement Tables) 的基礎，我們會利用這些概率來追蹤一個假設的生命群體（通常由 \(l_x = 100,000\) 開始）。