簡介：為什麼「預期」價值如此重要？

在之前的 CM1 章節中，你學習了如何計算確定現金流的現值。但在人壽保險的世界裡，沒有什麼是確定的！我們無法確切知道保單持有人何時會去世，這意味著我們不知道何時需要支付身故賠償，或者年金需要支付多長時間。

為了處理這種不確定性，我們將給付的現值 (Present Value, PV) 視為一個隨機變量 (random variable)。在本章中，我們將學習如何計算這個隨機變量的「平均值」（即預期現值，Expected Present Value 或 EPV）以及它的波動程度（即方差，Variance）。這是你在現實世界中看到的每款保險產品定價的基礎。

1. 隨機變量：\(T_x\) 與 \(K_x\)

在研究金錢之前，我們需要先研究時間。衡量一名 \(x\) 歲的人還能活多久有兩種方法：

  • 連續未來壽命 \(T_x\)： 這是指直到死亡為止的精確時間。它可以是任何數值（例如 12.432 年）。我們對在身故後立即支付的給付使用此變量。
  • 截尾未來壽命 \(K_x\)： 這是指身故前活過的完整年數。它總是一個整數（例如，如果某人活了 12.7 年，則 \(K_x = 12\)）。我們對在身故當年的年末支付的給付使用此變量。

2. 保險的預期現值 (EPV)

保險的 EPV 是保險公司今天需要撥出的平均金額，用以支付未來的身故賠償。我們通常稱之為保險因子 (Assurance Factors)。

終身壽險 (Whole Life Assurance)

這在人身故時支付賠償，無論何時發生。
如果是在身故當年的年末支付，現值隨機變量為 \(Z = v^{K_x+1}\)。
EPV 記作 \(A_x\)：
\(A_x = E[v^{K_x+1}] = \sum_{k=0}^{\infty} v^{k+1} \cdot P(K_x = k) = \sum_{k=0}^{\infty} v^{k+1} \cdot {}_k|q_x\)

如果是在身故後立即支付，現值隨機變量為 \(Z = v^{T_x}\)。
EPV 記作 \(\bar{A}_x\)：
\(\bar{A}_x = E[v^{T_x}] = \int_{0}^{\infty} v^t \cdot f_x(t) dt\)

定期壽險 (Term Assurance)

僅在 \(n\) 年的固定期限內身故時支付。如果該人在期限結束後仍然生存，則給付為零。
符號： \(A^1_{x:\overline{n|}}\) （「1」在 \(x\) 上方，表示必須先發生死亡）。
\(A^1_{x:\overline{n|}} = \sum_{k=0}^{n-1} v^{k+1} \cdot {}_k|q_x\)

純生存保險 (Pure Endowment)

這與定期壽險相反：僅在該人存活 \(n\) 年時支付。
符號： \(A_{x:\overline{n|}}^{\ \ \ 1}\) （「1」在 \(n\) 上方，表示需要生存至時間 \(n\)）。
\(A_{x:\overline{n|}}^{\ \ \ 1} = v^n \cdot {}_n p_x\)

小貼士： 你可以將這些組合起來！一個兩全保險（又稱生死合險，Endowment Assurance） (\(A_{x:\overline{n|}}\)) 其實就是定期壽險 + 純生存保險。
\(A_{x:\overline{n|}} = A^1_{x:\overline{n|}} + A_{x:\overline{n|}}^{\ \ \ 1}\)

3. 年金的預期現值 (EPV)

年金是在保單持有人生存期間定期支付的金額。這些被稱為年金因子 (Annuity Factors)。

期初撥付終身年金 (Whole Life Annuity Due)

在人生存期間，每年年初支付 1 單位金額。
符號： \(\ddot{a}_x\)
\(\ddot{a}_x = \sum_{k=0}^{\infty} v^k \cdot {}_k p_x\)

關鍵關係式

CM1 中最重要的公式之一連結了保險與年金。你可以這樣想：如果你今天擁有 1 單位資金，你可以選擇保留它，或者用它交換一份利息年金 (\(d\))，並在你身故時取回該單位資金 (\(A_x\))。
\(A_x = 1 - d\ddot{a}_x\)
同樣地，對於連續函數：\(\bar{A}_x = 1 - \delta \bar{a}_x\)

核心重點： 如果你知道年金數值，就可以輕鬆找到保險數值（反之亦然），而不需要進行長長的累計求和！

4. 計算方差：「動差法則」(Rule of Moments)

現值的方差告訴我們關於風險的信息。如果方差很高，實際成本可能會比 EPV 高出（或低出）很多。

隨機變量 \(Z\) 的方差公式為：
\(Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2\)

如何計算保險的 \(E[Z^2]\)

這裡有一個超棒的捷徑！要計算保險的「二階矩」(\(E[Z^2]\))，你只需使用標準的 EPV 公式，並將利息強度 (\(\delta\)) 翻倍。這相當於將折現因子 \(v\) 平方。
符號： \({}^2 A_x\)

計算終身壽險方差的步驟：
1. 以利率 \(i\) 計算 \(A_x\)。
2. 使用相同的公式，但改用新利率 \(i^*\) 計算 \({}^2 A_x\)，其中 \((1+i^*) = (1+i)^2\)。
3. \(Var(Z) = {}^2 A_x - (A_x)^2\)

注意：這個捷徑僅適用於保險，不直接適用於年金。要計算年金的方差，我們使用關係式 \(Z_{annuity} = \frac{1-Z_{assurance}}{d}\) 將其轉換為保險計算。

5. 使用生命表：\(l_x\) 與 \(d_x\)

在考試中，題目並不總是會直接給你 \({}_k p_x\) 這樣的概率。你需要從生命表 (Life Table) 中提取數據。

  • \(l_x\)：在 \(x\) 歲時生存的人數。
  • \(d_x\)：在 \(x\) 歲至 \(x+1\) 歲之間去世的人數 (\(d_x = l_x - l_{x+1}\))。
  • \({}_n p_x = \frac{l_{x+n}}{l_x}\) （生存 \(n\) 年的概率）。
  • \({}_n q_x = \frac{l_x - l_{x+n}}{l_x}\) （在 \(n\) 年內身故的概率）。

應避免的常見錯誤

  • 年末 vs. 年初： 記住 \(\ddot{a}_x\)（期初年金）是從時間 0 開始支付，而 \(A_x\)（保險）是在時間 \(K_x + 1\) 支付。
  • 平方錯誤的對象： 在計算方差時，學生經常會將利率平方 (\(i^2\))。千萬不要這樣做！ 你必須平方的是折現因子 (\(v^2\))，這意味著要使用新利率 \(i^* = (1+i)^2 - 1\)。
  • 漏掉公式中的 "1"： 在關係式 \(A_x = 1 - d\ddot{a}_x\) 中，別忘了那個 "1"！它代表了保證支付 1 單位金額的現值。

快速回顧

EPV： 給付的精算「平均」成本。
保險因子： \(A_x\)（年末支付）或 \(\bar{A}_x\)（連續支付）。
年金因子： \(\ddot{a}_x\)（期初支付）或 \(a_x\)（期末支付）。
方差技巧： 使用 \({}^2 A_x\)（以雙倍利息強度計算）來尋找保險的二階矩。