歡迎學習隨時間變化的利息力（Force of Interest Varying with Time）

在先前的學習中，你可能大多接觸固定利率或固定利息力（force of interest）\( \delta \)。這種設定雖然簡單直接，但在現實金融世界中，利率會受通脹預期、經濟週期和央行政策影響而隨時波動。這意味著瞬時回報率——亦即利息力——往往取決於時間，通常表示為時間的函數 \( \delta(t) \)。

若你平時對微積分有些畏懼，千萬別擔心！在這一章中，我們會循序漸進地拆解，教你如何從隨時間變化的利息力 \( \delta(t) \) 推導出實用的累積因子（accumulation factors）、折現因子（discount factors）以及等價的年實質利率（equivalent annual effective interest rates）。

課程範圍快速對照： 本章屬於 CM1 課題中的利息理論（Theory of interest rates）。我們將重點探討當利息力隨時間變化時，累積與折現的運作原理，以及如何求出該累積過程所隱含的等價年實質利率。

1. 甚麼是作為時間函數的利息力？

我們先來重溫核心的直觀概念。在時間 \( t \) 的利息力，記作 \( \delta(t) \)，用以衡量在時間 \( t \) 附近的無窮小瞬時區間內，持續運作的單位時間名義增長率。

微分關係

假設你投入了一筆初始本金。設 \( A(t) \) 代表此項投資在時間 \( t \) 的累積值。在極微小的時間間隔 \( dt \) 內，基金價值的增長與以下三項成正比：

1. 截至當時已累積的基金規模，\( A(t) \)
2. 所經過的時間長度，\( dt \)
3. 該特定瞬間運作的瞬時增長率，\( \delta(t) \)

用數學形式表達：

\( dA(t) = A(t) \cdot \delta(t) \, dt \)

將上式移項，即可得出變動利息力的正式定義：

\( \delta(t) = \frac{1}{A(t)} \frac{d}{dt}A(t) = \frac{d}{dt}\ln[A(t)] \)

生活化比喻： 可以將 \( A(t) \) 想像為汽車上的里程表，顯示行駛的總距離；而 \( \delta(t) \) 則是車輛在時間 \( t \) 的車速表讀數。如果車速在整個行程中不斷改變，你絕不能單純用單一行車速度乘以總時間來計算路程；相反，你必須對速度函數進行時間積分，才能算出到底走了多遠！

2. 變動利息力下的累積因子

我們將由時間 \( t_1 \) 至時間 \( t_2 \)（其中 \( t_1 \le t_2 \)）的累積因子記作 \( A(t_1, t_2) \)。這個因子表示在時間 \( t_1 \) 投資的 1 個單位金額，增長至時間 \( t_2 \) 時的價值。

公式推導

從剛才的微分方程出發：

\( \frac{d}{dt}\ln[A(t)] = \delta(t) \)

在積分上下限 \( t_1 \) 和 \( t_2 \) 之間，對兩邊關於 \( t \) 進行定積分：

\( \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\ln[A(t)] \, dt = \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \)

\( \ln[A(t_2)] - \ln[A(t_1)] = \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \)

\( \ln\left( \frac{A(t_2)}{A(t_1)} \right) = \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \)

兩邊取指數函數（\( e \) 的次方），即可得出累積的黃金法則：

\( A(t_1, t_2) = \frac{A(t_2)}{A(t_1)} = \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)

當計算由時間 0 到時間 \( t \) 的累積時，我們寫作：

\( A(0, t) = \exp\left( \int_0^t \delta(s) \, ds \right) \)

核心要點： 每當要在變動利息力下將資金向前累積，你只需在相應的時間區間內對利息力進行積分，然後將 \( e \) 取該積分值的次方即可。

3. 變動利息力下的折現因子

折現正好是累積的逆運算。由時間 \( t_2 \) 折現回時間 \( t_1 \)（其中 \( t_1 \le t_2 \)）的折現因子記作 \( v(t_1, t_2) \)，代表在時間 \( t_2 \) 應支付的 1 個單位金額在時間 \( t_1 \) 的現值。

因為折現正好抵消累積：

\( v(t_1, t_2) = \frac{1}{A(t_1, t_2)} = \exp\left( -\int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)

當從時間 \( t \) 折現回時間 0 時，此因子通常簡寫為 \( v(t) \)：

\( v(t) = \exp\left( -\int_0^t \delta(s) \, ds \right) \)

記憶法寶： 累積往上增（正次方：\( + \int \delta \)），折現往下減（負次方：\( - \int \delta \)）。

4. 考試中常見的兩種 \( \delta(t) \) 形式

在 CM1 考試題目中，\( \delta(t) \) 通常以以下兩種形式之一出現：

1. 分段常數函數（階梯函數，piecewise constant / step function）
2. 關於 \( t \) 的平滑連續數學函數（例如線性、多項式或指數函數）

情況 A：分段常數函數（階梯函數）

假設利息力在特定時間區間內為常數：

\( \delta(t) = \delta_1 \) 當 \( 0 \le t \le t_1 \)
\( \delta(t) = \delta_2 \) 當 \( t_1 < t \le t_2 \)

由 \( 0 \) 到 \( t_2 \) 的累積可以乾淨俐落地拆分為各區間相乘的各項：

\( A(0, t_2) = \exp\left( \int_0^{t_1} \delta_1 \, dt + \int_{t_1}^{t_2} \delta_2 \, dt \right) = \exp(\delta_1 t_1) \cdot \exp(\delta_2 (t_2 - t_1)) \)

情況 B：關於 \( t \) 的平滑連續函數

此時 \( \delta(t) \) 會以特定代數式給出，例如 \( \delta(t) = a + b t \) 或 \( \delta(t) = a + b t^2 \)。求解步驟如下：

步驟 1： 列出定積分式 \( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \)。
步驟 2： 運用基本微積分法則，仔細計算定積分的值。
步驟 3： 若求累積值，將結果代入 \( \exp(\dots) \)；若求折現值，則代入 \( \exp(-\dots) \)。

5. 逐步解題範例

計算範例 1：連續時間函數

題目： 在時間 \( t \)（以年為單位）的利息力為：

\( \delta(t) = 0.03 + 0.008 t \quad \text{適用於 } t \ge 0 \)

試計算：
(a) 於時間 \( t = 0 \) 投資的 £2,000 在時間 \( t = 5 \) 的累積值。
(b) 於時間 \( t = 6 \) 到期應付的 £5,000 在時間 \( t = 2 \) 的現值。

題解：

(a) 部份： 將 £2,000 由 \( t = 0 \) 累積至 \( t = 5 \)。
首先，計算 \( \delta(t) \) 在 \( 0 \) 至 \( 5 \) 區間的定積分：

\( \int_0^5 (0.03 + 0.008t) \, dt = \left[ 0.03t + 0.004t^2 \right]_0^5 \)

\( = (0.03 \times 5 + 0.004 \times 5^2) - 0 = 0.15 + 0.10 = 0.25 \)

接著，計算累積因子：

\( A(0, 5) = \exp(0.25) \approx 1.284025 \)

因此，£2,000 的累積值為：

\( 2{,}000 \times A(0, 5) = 2{,}000 \times 1.284025 = £2{,}568.05 \)

(b) 部份： 將 £5,000 由 \( t = 6 \) 折現回 \( t = 2 \)。
首先，計算 \( \delta(t) \) 在積分限 \( 2 \) 至 \( 6 \) 之間的定積分：

\( \int_2^6 (0.03 + 0.008t) \, dt = \left[ 0.03t + 0.004t^2 \right]_2^6 \)

\( = (0.03 \times 6 + 0.004 \times 36) - (0.03 \times 2 + 0.004 \times 4) \)

\( = (0.18 + 0.144) - (0.06 + 0.016) = 0.324 - 0.076 = 0.248 \)

由於我們要求現值，需要套用折現因子：

\( v(2, 6) = \exp(-0.248) \approx 0.780362 \)

在時間 \( t = 2 \) 的現值為：

\( 5{,}000 \times v(2, 6) = 5{,}000 \times 0.780362 = £3{,}901.81 \)

計算範例 2：分段定義的利息力

題目： 某投資者在時間 \( t = 0 \) 將 £10,000 存入基金。利息力定義如下：

\( \delta(t) = \begin{cases} 0.04 & 0 \le t \le 3 \\ 0.01 + 0.01t & 3 < t \le 7 \end{cases} \)

求該投資在時間 \( t = 7 \) 的價值。

題解：
我們需要求出累積因子 \( A(0, 7) \)。因為 \( \delta(t) \) 的定義在 \( t = 3 \) 時發生改變，我們將積分分為兩部份計算：

\( \int_0^7 \delta(t) \, dt = \int_0^3 0.04 \, dt + \int_3^7 (0.01 + 0.01t) \, dt \)

計算第一個區間：

\( \int_0^3 0.04 \, dt = [0.04t]_0^3 = 0.12 \)

計算第二個區間：

\( \int_3^7 (0.01 + 0.01t) \, dt = \left[ 0.01t + 0.005t^2 \right]_3^7 \)

\( = (0.01 \times 7 + 0.005 \times 49) - (0.01 \times 3 + 0.005 \times 9) \)

\( = (0.07 + 0.245) - (0.03 + 0.045) = 0.315 - 0.075 = 0.240 \)

將兩段積分相加：

\( \int_0^7 \delta(t) \, dt = 0.12 + 0.24 = 0.36 \)

因此，整體累積因子為：

\( A(0, 7) = \exp(0.36) \approx 1.433329 \)

在時間 7 的累積金額為：

\( 10{,}000 \times 1.433329 = £14{,}333.29 \)

6. 等價年實質利率（Equivalent Annual Effective Rate of Interest）

在 CM1 考試目標 1.1 中，考生被明確要求計算：

「在利息力為時間函數的一段時期內，累積所隱含的等價年利率。」

這是甚麼意思？

假設一筆投資在變動利息力 \( \delta(t) \) 下，由時間 \( t_1 \) 累積至時間 \( t_2 \)（總期數為 \( n = t_2 - t_1 \) 年）。
等價常數年實質利率（記作 \( i \)），是指若採用單一固定不變的實質年利率，在完全相同的 \( n \) 年期內能產生完全相同總累積額的利率。

計算公式

在固定年實質利率 \( i \) 下，投資 1 個單位金額 \( n \) 年後會增長至 \( (1 + i)^n \)。
在變動利息力下，1 個單位金額會增長至 \( \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)。

將兩者等同：

\( (1 + i)^n = \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)

解出 \( i \)：

\( 1 + i = \left[ \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \right]^{\frac{1}{n}} = \exp\left( \frac{1}{n} \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)

\( i = \exp\left( \frac{1}{n} \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) - 1 \)

你有發現嗎？ 算式中的 \( \frac{1}{n} \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \) 其實就是該期間內的平均利息力，通常記作 \( \bar{\delta} \)。因此：

\( 1 + i = \exp(\bar{\delta}) \implies i = e^{\bar{\delta}} - 1 \)

這提供了一個直觀的速算技巧：只要找出該時段內的平均利息力，再將這個平均利息力轉換成實質利率即可！

計算範例 3：等價年實質利率

題目： 沿用計算範例 1 的利息力條件，即 \( \delta(t) = 0.03 + 0.008t \)：
試求由 \( t = 0 \) 至 \( t = 5 \) 這 5 年期間內的等價年實質利率。

題解：
從計算範例 1 中，我們已知 5 年期間的累積因子為：

\( A(0, 5) = \exp\left( \int_0^5 \delta(t) \, dt \right) = \exp(0.25) \approx 1.284025 \)

這裡的年期為 \( n = 5 \) 年。我們建立等價方程式：

\( (1 + i)^5 = 1.284025 \)

兩邊開 5 次方：

\( 1 + i = (1.284025)^{1/5} = (e^{0.25})^{0.2} = e^{0.05} \approx 1.051271 \)

\( i = 1.051271 - 1 = 0.051271 \text{ 或 } 5.127\% \)

合理性檢查（Sanity check）： 該時期的平均利息力為 \( \bar{\delta} = \frac{0.25}{5} = 0.05 \)。對應的等價實質利率為 \( e^{0.05} - 1 = 5.127\% \)。在利率為正數的情況下，實質利率必定略高於其連續利息力，因此 \( 5.127\% > 5\% \) 完全符合邏輯！

6. 計算變動利息力下的一般現金流現值

只要掌握了計算 \( v(t) \) 的方法，求出變動利息力下任何現金流的現值，就是直接應用標準折現原理：

• 離散現金流（Discrete cashflows）： 對於在時間 \( t_k \) 發生的離散款項 \( C_k \)，在時間 0 的現值為：

\( \text{PV} = \sum_k C_k \cdot v(t_k) = \sum_k C_k \cdot \exp\left( -\int_0^{t_k} \delta(t) \, dt \right) \)

• 連續現金流（Continuous cashflows）： 對於在時間 \( a \) 至 \( b \) 之間以速率 \( \rho(t) \) 支付的連續現金流，其現值為：

\( \text{PV} = \int_a^b \rho(t) \cdot v(t) \, dt = \int_a^b \rho(t) \cdot \exp\left( -\int_0^t \delta(s) \, ds \right) dt \)

（關於可變連續現金流的詳細積分運算，我們會在「現金流流動（Cashflow Streams）」章節進一步深入探討。）

7. 應試常見陷阱及注意事項

考官經常在 Paper A 和 Paper B 中考核這個課題。請特別提防以下常見錯誤：

• 積分時搞錯上下限： 當計算 \( t_1 \) 到 \( t_2 \) 之間的累積時，切記積分區間必須是從 \( t_1 \) 到 \( t_2 \)，而不是從 0 到 \( t_2 - t_1 \)，除非 \( \delta(t) \) 純粹是經過時間的函數而非歷法時間的函數。

• 指數上的正負號混淆： 謹記折現必須使用負次方：\( \exp\left(-\int \delta \, dt\right) \)，正次方則代表向前累積。

• 混淆年實質利率 \( i \) 與利息力 \( \delta \)： \( 1 + i = \exp(\bar{\delta}) \)，換言之 \( i = e^{\bar{\delta}} - 1 \)，千萬不要直接寫 \( i = \bar{\delta} \)。

• 微積分運算失誤： 對 \( t \) 的冪次進行積分時，別忘了除以新的指數：\( \int b t \, dt = \frac{b t^2}{2} \)。在考試壓力下，不少考生往往因為這種簡單的算術疏忽而痛失分數！

8. 重要公式總結

溫習時請務必熟記以下核心公式：

• 利息力的定義：\( \delta(t) = \frac{1}{A(t)} \frac{d}{dt}A(t) = \frac{d}{dt}\ln[A(t)] \)

• 累積因子：\( A(t_1, t_2) = \exp\left( \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)

• 折現因子：\( v(t_1, t_2) = \exp\left( -\int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) \)

• \( n \) 年期內的等價年實質利率：\( i = \exp\left( \frac{1}{n} \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \, dt \right) - 1 = e^{\bar{\delta}} - 1 \)