Life table functions and select mortality

歡迎來到生命表的世界！

在你的 CM1 學習旅程中，到目前為止你已經研究過利率和確定性現金流量。現在，我們進入精算工作的核心：人壽保險精算 (Life Contingencies)。在本章中，我們將學習如何使用生命表 (Life Table) 來為人類壽命的不確定性建模。如果這些符號起初看起來像密碼，請不要擔心——一旦你理解了生命表背後的「故事」，數學就會變得非常直觀。

你可以將生命表想像成一大群人的「人生地圖」。我們從他們出生起一直追蹤到最後一個人去世，記錄下每個歲數剩下的人數。這讓我們能夠計算出某人存活並領取養老金，或者在人壽保險保單有效期內身故的概率。

1. 基礎組成部分：\(l(x)\) 與 \(d(x)\)

為了建立模型，我們從兩個構成生命表支柱的基本函數開始。

「生存人數」函數：\(l(x)\)

符號 \(l(x)\) 代表在 精確年齡 (exact age) \(x\) 時預期仍然生存的人數。
- 我們通常從 0 歲時的一個大型任意數值（例如 100,000）開始，這稱為基數 (radix)。
- 隨著年齡 \(x\) 的增加，\(l(x)\) 必須始終保持不變或減少。畢竟，50 歲的生存人數不可能比 40 歲時還要多！

「死亡人數」函數：\(d(x)\)

符號 \(d(x)\) 代表預期在 \(x\) 歲至 \(x+1\) 歲之間死亡的人數。
- 它是連續兩年生存人數之間的「缺口」。
- 公式： \(d(x) = l(x) - l(x+1)\)

簡單類比： 想像有 100 名跑手參加馬拉松。\(l(x)\) 是在第 \(x\) 英里時仍在賽道上的跑手人數。\(d(x)\) 則是那些在第 \(x\) 英里和第 \(x+1\) 英里之間退賽的人數。

關鍵要點： \(l(x)\) 是特定時間點（生日當天）的「快照」，而 \(d(x)\) 則涵蓋了兩次生日之間的整整一年。

2. 使用生命表計算概率

一旦我們有了 \(l(x)\) 的數值表，就可以計算各種生存和死亡概率。在 CM1 課程大綱中，這些概率被表示為生命表函數的比率。

生存概率 (Survival Probabilities)

\(n_p_x\) 是一個 \(x\) 歲的人能繼續生存至少 \(n\) 年的概率。
- 公式： \(n_p_x = \frac{l(x+n)}{l(x)}\)
- 例子： 如果 \(x=40\) 且 \(n=10\)，我們是在計算 40 歲的人當中，有多少比例能活到 50 歲。

死亡概率 (Death Probabilities)

\(n_q_x\) 是一個 \(x\) 歲的人在未來 \(n\) 年內死亡的概率。
- 公式： \(n_q_x = \frac{l(x) - l(x+n)}{l(x)}\) 或簡單地記作 \(1 - n_p_x\)。

延期死亡概率 (Deferred Death Probabilities)

\(n|m_q_x\)（如果 \(m=1\)，通常寫成 \(n|q_x\)）是一個 \(x\) 歲的人在生存 \(n\) 年後，但在隨後的 \(m\) 年內死亡的概率。
- 公式： \(n|m_q_x = \frac{l(x+n) - l(x+n+m)}{l(x)}\)
- 思考過程： 要計算這個概率，你需要找出在該特定「未來窗口」內發生的死亡人數，然後除以現在 \(x\) 歲時的生存人數。

要避免的常見錯誤： 在計算 \(n|m_q_x\) 時，學生經常會不小心除以 \(l(x+n)\)。請記住，符號末尾的下標 \(x\) 告訴你現在在討論誰。請務必除以當前年齡的生存人數 (\(l(x)\))。

3. 選擇性死亡率 (Select Mortality)： 「選擇」效應

這是精算建模中最重要的概念之一。到目前為止，我們假設所有 \(x\) 歲的人都有相同的死亡機會。但在現實世界中，並非如此！

概念： 想像兩位 50 歲的人。甲君是剛從街上隨機找來的；乙君則是剛通過嚴格體檢以購買人壽保單的人。誰在今年死亡的機會較大？通常，乙君（「經過選擇」的人命，Selected life）會更健康。

選擇期 (Select Period)： 通過體檢帶來的「健康紅利」不會永遠持續。幾年後（即選擇期），這組「經過選擇」的人群的死亡率就會開始趨近於一般大眾的死亡率。

選擇符號 (Select Notation)

我們使用方括號 \([x]\) 來表示該人被選擇時的年齡（例如：購買保單時的年齡）。
- \(l[x]+r\)：在 \(x\) 歲時被選擇，且在 \(r\) 年後的生存人數（即目前年齡為 \(x+r\)）。
- \(d[x]+r\)：在 \(x\) 歲時被選擇，且在 \(x+r\) 歲至 \(x+r+1\) 歲之間的死亡人數。

你知道嗎？ IFoA 考試中的大多數生命表都有 2 年的選擇期。這意味著：
- 第 0 年：使用 \(l[x]\)
- 第 1 年：使用 \(l[x]+1\)
- 第 2 年或以上：括號消失，直接使用標準的「終極」(Ultimate) 數值 \(l(x+2)\)。

4. 使用選擇生命表 (Select Tables)

當你查看選擇生命表時，它通常看起來像一個網格。要找到正確的數值，請遵循以下步驟：

第一步：確定選擇年齡 \([x]\)。 這是你的起始行。
第二步：確定經過年數 (Duration) \(r\)。 這是他們加入保單後的年數。
第三步：檢查 \(r\) 是否大於選擇期。 如果選擇期是 2 年，而你需要第 5 年的數值，那麼「選擇」效應已經消失。你需要移動到年齡 \(x+5\) 的 終極 (Ultimate) 欄位。

關鍵關係：
\(p[x] = \frac{l[x]+1}{l[x]}\)（在 \(x\) 歲被選擇的人在 1 年內生存的概率）。
\(p[x]+1 = \frac{l(x+2)}{l[x]+1}\)（在 \(x\) 歲被選擇的人在第 2 年生存，並進入終極表的概率）。

快速總結表：
- 標準（終極） (Ultimate)： \(l(x)\) — 用於一般人群或選擇期結束後。
- 選擇 (Select)： \(l[x]\) — 用於剛加入或剛通過體檢的人。
- 經過年數 (Duration)： \(l[x]+r\) — 用於已加入保單 \(r\) 年的人。

5. 本章總結與技巧

「邏輯流」： 如果你遇到複雜的概率問題（例如延期選擇概率）而感到困惑，請務必回到基本定義：
「概率 = (符合我所尋找條件的人數) / (起始時的生存人數)」

不要對數學感到恐慌： 在 CM1 考試中（特別是 Excel 電腦考卷 Paper B），這些數值通常會直接給你，或者需要你查表。關鍵在於知道要看哪一欄。
- 如果題目提到「剛簽發 (just issued)」、「新保單持有人 (new policyholder)」或「購買 (purchased)」，請使用選擇 (Select) 欄位。
- 如果題目提到「長期保單持有人 (long-term policyholder)」或經過年數超過了選擇期，請使用終極 (Ultimate) 欄位。

關鍵要點： 生命表只是一個將「年齡」轉化為「概率」的工具。掌握了 \(l[x]+r\) 符號，你就掌握了人壽保險定價的基礎！

下一章預告： 我們將結合這些概率與「貨幣時間價值」（利率），來計算保險合約的實際價格！