歡迎來到股票與物業估值！
在之前的章節中，我們研究了債券等固定收益證券，其支付金額是已知且保持不變的。但如果收入隨時間增長會發生什麼呢？這正是普通股（股息通常會增加）和投資物業（租金會定期檢討並通常會調升）的情況。
在本章中，我們將把價值方程（Equation of Value）應用於這些「增長型資產」。如果公式起初看起來有點嚇人，請不要擔心——一旦你掌握了其中的規律，它就像你讀書時學過的等比數列（geometric progression）一樣簡單！
1. 基礎知識：股票 vs. 物業
在深入計算之前，讓我們看看我們到底在估算什麼的價值：
- 普通股：你擁有一家公司的一部分。公司向你支付股息。這些股息並非固定的；隨著公司盈利增加，股息通常也會增長。
- 物業：你擁有一個物業並將其出租給租客。租客向你支付租金。雖然租金可能在幾年內保持不變，但通常會在「租金檢討」（rent reviews）時調高，以跟上通脹或市場需求。
核心概念：與債券不同，這些資產在理論上是永久存在的（永續資產）。因此，我們計算的是無限流增長支付額的現值（Present Value, PV）。
2. 恆定增長：股息折現模型
如果我們假設收入以恆定的年複利率增長，我們可以使用一個非常優雅的公式。假設：
- \( D \) = 剛剛支付的股息/租金（在時間 \( t=0 \)）
- \( g \) = 恆定年增長率
- \( i \) = 要求的報酬率（利率）
- \( v \) = 折現因子 \( (1+i)^{-1} \)
現金流量將會是：
在時間 1：\( D(1+g) \)
在時間 2：\( D(1+g)^2 \)
在時間 3：\( D(1+g)^3 \)
...以此類推。
價值方程
現值（\( PV \)）是所有這些折現現金流的總和：
\( PV = D(1+g)v + D(1+g)^2 v^2 + D(1+g)^3 v^3 + \dots \)
這是一個首項為 \( a = D(1+g)v \)，公比為 \( r = (1+g)v \) 的等比數列。
只要 \( |(1+g)v| < 1 \)（這等同於說 \( g < i \)），其無窮級數之和為：
\( PV = \frac{a}{1-r} = \frac{D(1+g)v}{1-(1+g)v} \)
簡化版本
如果將分子和分母同時乘以 \( (1+i) \)，公式可以漂亮地簡化為：
\( PV = \frac{D(1+g)}{i - g} \)
註：\( D(1+g) \) 正是第一年年末預期發放的股息。我們稱之為 \( D_1 \)。
\( PV = \frac{D_1}{i - g} \)
快速回顧：「i 減 g」準則
這是本章最有名的公式！要計算增長型永續年金的價格，請用下一次預期支付額除以利率減去增長率。
3. 變動增長（多階段模型）
在現實世界中，增長並不總是恆定的。一家公司可能在 5 年內高速增長，然後回落到「正常」的增長率。為了計算其價值，我們使用兩步法。
步驟說明：
- 第一步：計算「高增長」期間每一筆股息的現值。
- 第二步：使用恆定增長公式，計算增長變得恆定那一刻起，所有未來股息的價值。（這通常稱為「終端價值」Terminal Value）。
- 第三步：將該終端價值折現回現在。
- 第四步：將它們相加！
例子：某股票今天支付了 \( \$2 \) 股息。未來 2 年將以 \( 10\% \) 增長，之後永久以 \( 3\% \) 增長。利率為 \( 8\% \)。
第一年股息： \( 2(1.10) = 2.20 \)
第二年股息： \( 2(1.10)^2 = 2.42 \ )
第二年年末「永久部分」的價值： 使用 \) \frac{D_3}{i-g} \)，其中 \( D_3 = 2.42(1.03) = 2.4926 \)
\( Value_{t=2} = \frac{2.4926}{0.08 - 0.03} = 49.852 \)
今天的總現值：
\( PV = 2.20v + 2.42v^2 + 49.852v^2 \)
（其中 \( v = 1/1.08 \)）
4. 計算收益率
有時考試會給出價格（Price）並要求計算收益率（Yield）（即利率 \( i \)）。
使用我們最愛的公式： \( P = \frac{D_1}{i-g} \)
我們可以將其重新排列以求解 \( i \)：
\( i = \frac{D_1}{P} + g \)
用白話來說：收益率 = 股息率 + 增長率。
你知道嗎？這解釋了為什麼像科技股這樣的「增長股」股息率通常很低。投資者之所以接受極小的 \( \frac{D_1}{P} \)，是因為他們預期 \( g \) 會非常高！
5. 實質增長 vs. 名義增長
課程大綱提到了計算「名義或實質」收益率。這與通脹（Inflation）有關。
- 名義（Nominal）：實際的現金金額（例如，你的租金以現金計算增加了 \( 5\% \)）。
- 實質（Real）：經通脹調整後的價值（例如，如果租金增加了 \( 5\% \) 但通脹率是 \( 3\% \)，則「實質」增長大約是 \( 2\% \)）。
至關重要的規則：務必保持一致！
- 使用名義利率對應名義增長率。
- 使用實質利率對應實質增長率。
6. 應避免的常見陷阱
如果你覺得這有點難，別擔心；即使是頂尖學生也會犯這些錯誤：
- 「D0」與「D1」陷阱：公式 \( \frac{D}{i-g} \) 需要的是第一年年末的股息。如果題目說「股息剛剛發放」，那就是 \( D_0 \)。在代入公式之前，你必須先將其乘以 \( (1+g) \)。
- 「g > i」的不可能情況：從數學上講，如果 \( g > i \)，公式會得出負數，這顯然不合理。在現實世界中，公司的增長速度不可能永遠快於整體經濟！
- 支付時間：通常假設股息是按年期末付（in arrear）的。如果題目提到「連續」（continuous）支付（在物業估值中較常見），你可能需要使用利力（force of interest） \( \delta \) 或連續年金函數，但「i-g」的邏輯依然適用。
重點回顧
1. 恆定增長：使用 \( PV = \frac{D_1}{i-g} \)。
2. 變動增長：手動計算前幾筆支付額，然後對「尾部」使用公式並將其折現回現在。
3. 收益率：總回報是股息率與增長率之和（\( i = \frac{D_1}{P} + g \)）。
4. 一致性：名義利率配名義增長，實質利率配實質增長。