引言：理論與現實的對比
在精算工作中，我們經常從一個數學「猜想」或模型開始。例如，我們會假設每天的保險索償次數符合 泊松分佈 (Poisson distribution)，或者男性和女性保單持有人續保的可能性相同。但我們如何知道這些假設是否與現實相符？這就是 卡方 (\(\chi^2\)) 檢定 發揮作用的地方。
在本章中，我們將學習兩個強大的工具：擬合優度檢定 (Goodness of Fit test)（用於檢查數據是否符合特定分佈）以及 列聯表 (Contingency Tables)（用於檢查兩個因素是否相互獨立）。這些檢定讓我們能從「我認為是這樣」提升到「統計證據顯示事實的確如此」。
1. 卡方擬合優度檢定
擬合優度檢定的目標是判斷一組觀測數據是否「符合」某個理論概率分佈（例如二項分佈、泊松分佈或正態分佈）。
核心邏輯
我們會將實際觀察到的數據（觀測頻數，\(O_i\)）與假設理論正確時應看到的數據（期望頻數，\(E_i\)）進行比較。
如果 \(O_i\) 與 \(E_i\) 之間的差異很小，說明我們的理論很可能是正確的；如果差異巨大，則理論可能存在錯誤。
檢定統計量
標準檢定統計量的計算公式如下：
\( \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \)
其中：
- \(O_i\) = 第 \(i\) 類別的觀測頻數
- \(E_i\) = 第 \(i\) 類別的期望頻數
操作步驟
- 建立假設：
\(H_0\)：數據符合指定的分佈。
\(H_1\)：數據不符合指定的分佈。 - 計算期望頻數： 將總觀測次數 (\(n\)) 乘以落入該類別的概率 (\(p_i\))。即 \(E_i = n \times p_i\)。
- 檢查「5 之規則」： 為了使卡方檢定有效，每個期望頻數 \(E_i\) 應至少為 5。如果某個 \(E_i\) 小於 5，你必須將相鄰的類別進行 合併 (group)，直到新的合併 \(E_i\) 達到 5 或以上。
- 計算統計量： 對所有（可能已合併的）類別求和算出 \( \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \)。
- 確定自由度 (df)： 這是最容易失分的地方！
\(df = k - 1 - p \)
其中 \(k\) 是（合併後的）類別數量，而 \(p\) 是為了計算期望值而必須從數據中估算的參數數量。 - 與臨界值比較： 如果計算出的 \(\chi^2\) 大於顯著性水平（通常為 5%）下的查表臨界值，我們則 拒絕 \(H_0\)。
小貼士：如果題目直接給出了參數（例如「檢定此數據是否符合 \(\lambda = 2\) 的泊松分佈」），則 \(p = 0\)。如果你需要利用數據的平均值自己計算 \(\lambda\)，則 \(p = 1\)。
2. 列聯表（獨立性檢定）
精算師經常需要知道兩個分類變量是否相關。例如，「吸煙狀況」（吸煙者/非吸煙者）是否與「保單失效」（失效/有效）相互獨立？我們可以使用 雙向列聯表 (two-way contingency table) 來找出答案。
獨立性檢定的假設
\(H_0\)：兩個分類標準是相互獨立的。
\(H_1\)：兩個分類標準不是相互獨立的（存在關聯）。
計算表格中的期望頻數
在一個有 \(r\) 行和 \(c\) 列的表格中，我們假設獨立的前提下計算每個單元格的期望頻數：
\( E_{ij} = \frac{\text{該行總計} \times \text{該列總計}}{\text{總樣本量}} \)
列聯表的自由度
對於列聯表，自由度始終為：
\(df = (r - 1) \times (c - 1) \)
例子：一個 \(3 \times 2\) 的表格，其自由度為 \((3-1) \times (2-1) = 2 \times 1 = 2\)。
快速回顧：比較表
| 特性 | 擬合優度檢定 | 列聯表 |
|---|---|---|
| 目的 | 數據是否符合特定分佈？ | 兩個變量是否獨立？ |
| 自由度 (df) | \(k - 1 - p\) | \((r - 1)(c - 1)\) |
| 合併類別 | 若 \(E_i < 5\)，合併類別。 | 若 \(E_{ij} < 5\)，合併行/列。 |
3. 實務操作的重要考慮事項
「5 之規則」與合併類別
如果你因為期望值太小而必須合併類別，請記住這會 減少 你的自由度。
例子： 如果你原本有 6 個類別 (\(k=6\))，但必須將最後兩個合併為一個，那麼新的 \(k\) 就是 5。計算自由度時必須使用這個新的 \(k\)。
結果解讀
如果計算出的 \(\chi^2\) 非常小，意味著觀測數據與預期非常接近，我們 不能拒絕 \(H_0\)。
如果計算出的 \(\chi^2\) 非常大，意味著「不吻合度」太大，無法單純用隨機誤差來解釋，我們 拒絕 \(H_0\)。
你知道嗎？
卡方檢定是一種 近似 (approximate) 檢定。隨着樣本量增加，它會變得越精確。這就是為什麼我們有「5 之規則」——它能確保這種近似對於精算決策來說足夠可靠。
4. 應避免的常見錯誤
- 忘記扣除估算參數： 在擬合優度檢定中，如果你計算了平均值 (\(\bar{x}\)) 並將其作為泊松分佈的 \(\lambda\)，你 必須 在自由度中額外減去 1。
- 錯誤地用 \(O_i\) 來判斷「5 之規則」： 只有 期望 頻數才對合併規則有影響。即使觀測頻數小於 5 也沒問題。
- 計算錯誤： 在計算 \( \frac{(O-E)^2}{E} \) 時很容易產生輸入錯誤。請務必仔細複核你的數值表。
- 列聯表自由度錯誤： 學生常會對列聯表誤用 \(n-1\)。請記住始終使用 \((r-1)(c-1)\)。
重點歸納
1. 檢定統計量： 始終是 \( \sum \frac{(O-E)^2}{E} \)。
2. 擬合優度自由度： \( (\text{類別數量}) - 1 - (\text{估算參數數量}) \)。
3. 獨立性檢定自由度： \( (r-1)(c-1) \)。
4. 低頻數處理： 若 \(E < 5\)，則合併類別。
5. P 值： 在 Paper B (R 語言) 中，你會使用 chisq.test() 函數，它會自動為你處理計算並提供 p 值。如果 p 值小於 \(\alpha\)（例如 0.05），則拒絕 \(H_0\)。