連續分佈簡介

歡迎來到 CS1 旅程中最重要的章節之一！在上一章，我們探討了離散分佈（Discrete Distributions）——即我們用來「計數」的情況（例如索償次數）。現在，我們進入連續（Continuous）的世界，這裡我們主要是進行「測量」。想像一下下一次交通意外發生的確切時間，或是某宗保險索償的具體金額。由於這些數值可以是任何數字（例如 124.50 或 124.5023...），我們便使用連續分佈來為它們建模。

如果起初覺得有點難，請不用擔心！雖然數學上涉及一些微積分，但核心概念其實很簡單：我們是在觀察數據在某個區間內的「形狀」。讀完這篇筆記後，你將會熟悉用來預測未來的精算分佈「工具箱」。

註：關於如何計算矩（Moments）或使用生成函數（Generating functions），請參閱「矩與累積量生成函數」章節。關於產生這些變量的「逆變換採樣法」（Inverse transform method），請參閱「泊松過程與模擬」章節。

1. 核心基礎：PDF 與 CDF

在連續的世界中，隨機變量 \(X\) 精確地等於某個特定數值的概率永遠為零：\(P(X = x) = 0\)。相反地，我們討論的是 \(X\) 落在某個範圍內的概率。

  • 概率密度函數 (PDF), \(f(x)\)： 這代表曲線的「高度」。曲線下的總面積必須等於 1。
  • 累積分佈函數 (CDF), \(F(x)\)： 這是 \(X\) 小於或等於某個數值 \(x\) 的概率。數學表達式為：\(F(x) = P(X \le x)\)。

小貼士：要找出兩點 \(a\) 與 \(b\) 之間的概率，你只需計算 \(F(b) - F(a)\) 即可。

2. 均匀分佈 (Uniform Distribution)

均匀分佈是最簡單的連續分佈。它假設在範圍 \([a, b]\) 內，所有長度相同的區間出現的機會均等。想像一個完美的平衡轉盤；指針停在 0.1 的機會與停在 0.9 的機會是完全一樣的。

\(X \sim U(a, b)\) 的關鍵性質：

  • PDF： 對於 \(a \le x \le b\)，\(f(x) = \frac{1}{b-a}\)。
  • 期望值 (Mean)： \(E(X) = \frac{a+b}{2}\)（正好在正中間！）。
  • 方差 (Variance)： \(Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\)。

3. 指數分佈 (Exponential Distribution)

指數分佈是關於「等待時間」的分佈。精算師常用它來模擬獨立事件之間的時間間隔，例如客戶服務中心接到兩通電話之間的時間。

\(X \sim Exp(\lambda)\) 的關鍵性質：

  • PDF： 對於 \(x > 0\)，\(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\)。
  • CDF： \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)。
  • 期望值 (Mean)： \(E(X) = \frac{1}{\lambda}\)。
  • 方差 (Variance)： \(Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}\)。

你知道嗎？ 指數分佈具有「無記憶性」（Memoryless）。這意味著如果你已經等了 10 分鐘索償才到，那麼再等 5 分鐘的概率，與你剛剛才開始等候時的概率是完全一樣的！（註：這是連續分佈中唯一的特性）。

4. 正態分佈 (Normal Distribution)

正態分佈（或稱「鐘形曲線」）是統計學中最著名的分佈。它是對稱的，並由其期望值 (\(\mu\)) 和方差 (\(\sigma^2\)) 定義。

\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) 的關鍵性質：

  • 期望值 (Mean)： \(E(X) = \mu\)。
  • 方差 (Variance)： \(Var(X) = \sigma^2\)。
  • 標準化 (Standardization)： 我們經常使用以下公式將 \(X\) 轉換為標準正態變量 \(Z \sim N(0, 1)\)：\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)。

常見錯誤： 使用公式 \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\) 時，請記住 \(\sigma\) 是標準差（方差的平方根）。同學經常忘記開方！

5. 對數正態分佈 (Lognormal Distribution)

如果一個變量的自然對數服從正態分佈，那麼該變量本身就是對數正態。這在保險業中非常受歡迎，用於模擬索償金額的大小，因為它是「偏斜」（Skewed）的——這意味著它有一條向右伸展的長尾巴，代表那些罕見但極其昂貴的索償。

定義： 如果 \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\)，那麼 \(X = e^Y\) 就是對數正態分佈。

6. 伽瑪分佈 (Gamma Distribution)

伽瑪分佈比指數分佈更具靈活性。指數分佈模擬的是直到第一個事件發生的時間，而伽瑪分佈則可以模擬直到第 \(n\) 個事件發生的時間。

參數： 它通常具有形狀參數 (\(\alpha\)) 和率參數 (\(\lambda\))。

  • 期望值 (Mean)： \(E(X) = \frac{alpha}{\lambda}\)。
  • 方差 (Variance)： \(Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}\)。

註：如果 \(\alpha = 1\)，伽瑪分佈實際上就是指數分佈！

7. 貝塔分佈 (Beta Distribution)

貝塔分佈非常獨特，因為它定義在固定區間內，通常是 \([0, 1]\)。這使它非常適合用來模擬比例或百分比，例如某份特定再保險合約所承擔的損失百分比。

8. 用於統計推斷的分佈

以下三種分佈主要用於對數據進行「檢驗」。你將在教學大綱的統計推斷（Statistical Inference）部分更頻繁地看到它們。

  • 卡方分佈 (\(\chi^2\))： 伽瑪分佈的一個特例。它用於檢驗模型與數據的擬合程度（擬合優度檢驗）。
  • t-分佈： 看起來像正態分佈，但擁有「更厚實的尾部」（Fatter tails）。當樣本量較小且不知道真實總體方差時，我們會使用它。
  • F-分佈： 主要用於比較兩個不同的方差，以查看它們是否存在顯著差異。

9. 計算分位數與概率

在 CS1 考試中，你需要找出概率（例如 \(P(X < 10)\)）或分位數（Quantiles，即滿足 \(P(X < x) = 0.95\) 的 \(x\) 值）。

Paper A（筆試/查表）

在 Paper A 中，你經常會用到 Formulae and Tables（黃表）。對於正態分佈，你會查閱「Phi」函數 \(\Phi(z)\) 來找出概率。至於其他分佈，你可能需要直接使用 CDF 公式。

Paper B（使用 R 語言）

在以 R 為基礎的考試 (CS1B) 中，你會使用標準指令。每個分佈都有一個前綴：

  • p 代表概率 (CDF)：例如 pnorm(x, mean, sd)
  • q 代表分位數 (Quantile)：例如 qexp(0.95, rate)
  • r 代表產生隨機樣本 (Random samples)：例如 rgamma(100, shape, rate)

重點回顧

  • 連續變量是用來測量的，而不是計數的。
  • 正態分佈是我們的對稱基準。
  • 對數正態與伽瑪分佈對於模擬「偏斜」的保險索償數據至關重要。
  • 指數分佈是處理等待時間的首選，並具有獨特的無記憶性。
  • 分位數與概率可以在 Paper A 中透過查表或在 Paper B 中透過 R 函數找到。

做得好！你剛剛已經掌握了連續概率中的核心「角色」。請繼續練習這些分佈之間的聯繫，因為它們構成了精算統計學中幾乎所有內容的基礎。