歡迎來到 R 語言精算統計！

在卷 A (Paper A) 中，你會學習分佈與統計學背後的理論。而在卷 B (Paper B) 中，你將會運用 R 語言將這些理論付諸實踐。本章將集中討論在每一次 CS1 考試中幾乎都會用到的基本工具：計算匯總統計量（如平均數與變異數），以及尋找各種分佈的機率和分位數。

你可以將 R 想像成一個功能超級強大的科學計數機。與其翻閱《公式與表格手冊》（俗稱 Gold Book）來查找數值，你可以直接要求 R 在不到一秒的時間內給你精確的數值。我們開始吧！

1. 探索性數據分析：匯總統計量

在投入複雜的模型之前，精算師總是會先觀察數據。這被稱為探索性數據分析 (Exploratory Data Analysis, EDA)。我們想知道數據的「中心點」在哪裡（位置測度）以及數據有多「分散」（離散測度）。

位置測度 (Measures of Location)

要找出一組數據 x 的平均值或中心值：

mean(x)：計算算術平均數 \( \bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i \)。
median(x)：找出數據排序後的中位數。

離散測度 (Measures of Spread)

要觀察數據的波動程度：

var(x)：計算樣本變異數 \( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2 \)。
sd(x)：計算樣本標準差 \( s = \sqrt{var(x)} \)。
range(x)：給出最小值和最大值。
IQR(x)：計算四分位距（第 75 百分位數與第 25 百分位數之差）。

一應俱全的指令

summary(x)：這是考生的最愛！它能一次過提供最小值、第一四分位數、中位數、平均數、第三四分位數及最大值。這是快速獲取數據「概覽」的最快方法。

小貼士：如果你的數據中有缺失值（在 R 中標示為 NA），這些函數可能會返回 NA。要解決這個問題，請在括號內加入參數 na.rm = TRUE，例如：\( mean(x, na.rm = TRUE) \)。

重點筆記：使用 summary() 進行快速概覽，當題目要求特定指標時，則使用 sd() 或 var() 等特定函數。

2. 「四大」分佈前綴

在 CS1 中，你會處理許多不同的分佈（如正態分佈、泊松分佈、二項分佈等）。R 使用一套非常一致的命名系統。每個分佈都有一個基本名稱（例如：正態分佈為 norm，泊松分佈為 pois），並配以四種可能的前綴：

1. d (Density)：用於離散型變量的機率質量函數 (PMF) \( P(X = x) \)，或連續型變量的機率密度函數 (PDF) 值。
2. p (Probability)：用於累積分佈函數 (CDF) \( P(X \le x) \)。這是你尋找機率時的「必用」工具。
3. q (Quantile)：用於逆累積分佈函數 (Inverse CDF)。如果你已知機率並想找出對應的數值 \( x \)，請使用 q。
4. r (Random)：用於從特定分佈中生成隨機樣本。（註：我們將在下一章關於「模擬」的部分詳細介紹）。

視覺化理解差異：
如果你想求某一點左側的面積，請使用 p。
如果你想求左側具有特定面積的那一點，請使用 q。

3. R 語言中的常用分佈

以下是 CS1 課程大綱中你需要掌握的分佈及其在 R 中的名稱：

離散型分佈：
binom：二項分佈 \( (n, p) \)
pois：泊松分佈 \( (\lambda) \)
geom：幾何分佈 \( (p) \)
nbinom：負二項分佈 \( (k, p) \)
hyper：超幾何分佈

連續型分佈：
norm：正態分佈 \( (\mu, \sigma) \)
exp：指數分佈 \( (\lambda) \)
gamma：伽瑪分佈 \( (\alpha, \lambda) \)
chisq：卡方分佈 \( (\nu) \)
t：學生 t 分佈 \( (\nu) \)
f：F 分佈
beta：Beta 分佈
unif：均勻分佈

範例： 尋找標準正態分佈 \( Z \sim N(0,1) \) 的第 95 百分位數：
\( qnorm(0.95, mean = 0, sd = 1) \)

範例： 已知 \( X \sim Poisson(5) \)，求 \( P(X \le 3) \)：
\( ppois(3, lambda = 5) \)

4. 關鍵考試陷阱（千萬別在這裡失分！）

「下尾」（Lower Tail）參數

在預設情況下，R 的 p-functions 計算的是 \( P(X \le x) \)（即下尾機率）。如果考試要求 \( P(X > x) \)，你有兩個選擇：
1. 計算 \( 1 - p... \) （例如：\( 1 - pnorm(x, ...) \))
2. 在函數內加入參數 lower.tail = FALSE （例如：\( pnorm(x, ..., lower.tail = FALSE) \))。

離散 vs. 連續

別忘記！對於連續型分佈（如正態分佈），\( P(X < x) \) 與 \( P(X \le x) \) 是一樣的。
但對於離散型分佈（如二項分佈或泊松分佈），這點至關重要！R 的 p-functions 總是包含該數值：\( pbinom(k, ...) \) 代表 \( P(X \le k) \)。如果你需要計算 \( P(X < k) \)，在 R 中你必須計算 \( P(X \le k-1) \)。

伽瑪分佈 (Gamma Distribution) 參數

在卷 A 中，我們經常使用「率」參數 (rate parameter) \( \lambda \)。在 R 中，gamma 函數可以接受 rate 或 scale。請記住 \( scale = 1 / rate \)。如果不確定，請隨時在 R 控制台輸入 ?rgamma 來檢查函數參數。

標準差 vs. 變異數

在 R 的 norm 函數中，參數是 sd (\( \sigma \))，而不是變異數 (\( \sigma^2 \))。如果題目說明 \( X \sim N(10, 25) \)，你在 R 中必須輸入 sd = 5。

5. 分位數與百分位數

卷 B 的常見任務是尋找風險價值 (Value at Risk, VaR) 或特定的分位數。q-functions 正是為此而設計的。

情境： 某保險理賠分佈服從對數正態分佈 (Lognormal)，其中 \( meanlog = 5 \) 且 \( sdlog = 2 \)。求理賠額的第 99 百分位數。
R 指令： \( qlnorm(0.99, meanlog = 5, sdlog = 2) \)

重點筆記： 如果題目給你一個機率（例如：「前 5%」或「0.90 置信度」），你很可能需要用到 q-function。如果題目給你一個數值（例如：「理賠額超過 1000 的機率是多少？」），你則需要用到 p-function。

快速複習

匯總統計量： 使用 mean()、var()、sd() 和 summary()。
機率： 使用 p-name() 來計算 \( P(X \le x) \)。
分位數： 使用 q-name() 來尋找與機率相關聯的數值。
上尾機率： 使用 lower.tail = FALSE 來計算 \( P(X > x) \)。
正態分佈： 務必使用標準差 (\( \sigma \))，而非變異數 (\( \sigma^2 \))。

如果你忘記了某個函數參數的精確順序，別擔心！你可以在 R 中輸入問號後接函數名稱（例如：?pbinom）來查看幫助文件，確認所需的輸入內容。