歡迎來到複合量度！

你有沒有想過，短跑運動員究竟跑得有幾快？為甚麼巨大的鋼鐵輪船可以浮在水面，而細小的石子反而會沉底？又或者在超市裏，哪一盒粟米片才真正最抵買？這三個問題的答案，全都可以用複合量度來解釋！

複合量度簡單來說，就是將兩個或以上不同的基本單位（例如距離、時間、質量或金錢）結合起來，用來表示變化率的量度。（註：如果想複習分與小時、米與公里等基本單位的轉換，可以快速瀏覽「單位轉換」章節。）

即使一開始聽起來有點複雜，也千萬不要擔心！在這份筆記中，我們會逐一拆解大家必須掌握的三大複合量度：速率、密度和單價。

1. 認識複合量度及其單位

在日常生活中，單一量度只描述一種物理量，例如長度 \(5\text{ m}\) 或時間 \(10\text{ s}\)。而複合量度則涉及兩個不同物理量之間的關係。

掌握複合量度的終極秘訣，就是仔細觀察它的單位：因為單位往往直接告訴了你計算公式！

每當你看到每這個字或斜線符號（/），它就代表「除以」：

• 哩每小時（\(\text{mph}\) 或 \(\text{miles/hour}\)）代表 \(\text{距離} \div \text{時間}\)。
• 克每立方厘米（\(\text{g/cm}^3\)）代表 \(\text{質量} \div \text{體積}\)。
• 便士每克（\(\text{p/g}\)）代表 \(\text{費用} \div \text{質量}\)。

重點提示

做題目時如果不記得公式，請仔細看清楚單位。單位已經清楚透露了你需要進行的除法步驟！

2. 速率：距離與時間

速率是一種複合量度，用來表示在特定時間內走過了多少距離。

速率公式

視乎需要計算的項目，我們會用到以下三條相關的方程式：

\(\text{速率} = \frac{\text{距離}}{\text{時間}}\)

\(\text{距離} = \text{速率} \times \text{時間}\)

\(\text{時間} = \frac{\text{距離}}{\text{速率}}\)

記憶法寶：公式三角形

想像一個分成三部分的三角形，頂部是 \(D\)（距離 Distance），底部並排著 \(S\)（速率 Speed）和 \(T\)（時間 Time）：

• 用手指遮住 \(S\)：你會看到 \(D\) 在 \(T\) 之上，所以 \(\text{速率} = \frac{\text{距離}}{\text{時間}}\)。
• 遮住 \(D\)：你會看到 \(S\) 緊貼著 \(T\)，所以 \(\text{距離} = \text{速率} \times \text{時間}\)。
• 遮住 \(T\)：你會看到 \(D\) 在 \(S\) 之上，所以 \(\text{時間} = \frac{\text{距離}}{\text{速率}}\)。

常見的速率單位

• 米每秒（\(\text{m/s}\)）
• 公里每小時（\(\text{km/h}\)）
• 哩每小時（\(\text{mph}\)）

逐步解題範例 1：求速率

一位單車手在 \(3\text{ 小時}\) 內騎行了 \(45\text{ km}\)。她的平均速率是多少？

第 1 步： 找出題目給予的數值：\(\text{距離} = 45\text{ km}\)，\(\text{時間} = 3\text{ 小時}\)。
第 2 步： 選擇合適的公式：\(\text{速率} = \frac{\text{距離}}{\text{時間}}\)。
第 3 步： 進行計算：\(\text{速率} = \frac{45}{3} = 15\text{ km/h}\)。
單車手的速率是 \(15\text{ km/h}\)。

小心陷阱：把時間化為小數！

這是同學最常犯的錯誤：以分鐘為單位的時間不能直接寫成小時的小數部分！

因為 \(1\text{ 小時}\) 有 \(60\text{ 分鐘}\)（而不是 \(100\)），所以必須把分鐘除以 \(60\) 才能化為小時：

• \(30\text{ 分鐘} = \frac{30}{60} = 0.5\text{ 小時}\)（絕不是 \(0.3\text{ 小時}\)）
• \(15\text{ 分鐘} = \frac{15}{60} = 0.25\text{ 小時}\)
• \(45\text{ 分鐘} = \frac{45}{60} = 0.75\text{ 小時}\)
• \(1\text{ 小時 } 12\text{ 分鐘} = 1 + \frac{12}{60} = 1 + 0.2 = 1.2\text{ 小時}\)

逐步解題範例 2：涉及時間轉換求距離

一輛私家車以平均速率 \(60\text{ mph}\) 行駛了 \(2\text{ 小時 } 30\text{ 分鐘}\)。這輛私家車行駛了多遠？

第 1 步： 把時間轉換為小時：\(30\text{ 分鐘} = 0.5\text{ 小時}\)，因此 \(\text{時間} = 2.5\text{ 小時}\)。
第 2 步： 選擇合適的公式：\(\text{距離} = \text{速率} \times \text{時間}\)。
第 3 步： 進行計算：\(\text{距離} = 60 \times 2.5 = 150\text{ miles}\)。
私家車共行駛了 \(150\text{ miles}\)。

重點提示

速率量度的是單位時間內所走過的距離。進行乘法或除法之前，務必檢查時間單位是否與速率單位一致！

3. 密度：質量與體積

密度是量度一個物體內部物質緊密程度的指標。它告訴我們特定體積內包含多少質量。

生動比喻： 想像一個裝滿羽毛的盒子，與另一個大小相同但塞滿鉛塊的盒子。兩個盒子的體積完全相同，但裝滿鉛塊的盒子質量大得多，因此它的密度高很多。

密度公式

跟速率一樣，我們也可以寫出三條相關的方程式：

\(\text{密度} = \frac{\text{質量}}{\text{體積}}\)

\(\text{質量} = \text{密度} \times \text{體積}\)

\(\text{體積} = \frac{\text{質量}}{\text{密度}}\)

記憶法寶：DMV 三角形

想像一個三角形，頂部是 \(M\)（質量 Mass），底部是 \(D\)（密度 Density）和 \(V\)（體積 Volume）：
• 遮住 \(D\) 可得出 \(\frac{M}{V}\)。
• 遮住 \(M\) 可得出 \(D \times V\)。
• 遮住 \(V\) 可得出 \(\frac{M}{D}\)。

常見的密度單位

• 克每立方厘米（\(\text{g/cm}^3\)）
• 公斤每立方米（\(\text{kg/m}^3\)）

逐步解題範例 3：求密度

一塊木塊的質量是 \(240\text{ g}\)，體積是 \(300\text{ cm}^3\)。試計算它的密度。

第 1 步： 找出題目給予的數值：\(\text{質量} = 240\text{ g}\)，\(\text{體積} = 300\text{ cm}^3\)。
第 2 步： 選擇合適的公式：\(\text{密度} = \frac{\text{質量}}{\text{體積}}\)。
第 3 步： 進行計算：\(\text{密度} = \frac{240}{300} = \frac{4}{5} = 0.8\text{ g/cm}^3\)。
該木塊的密度是 \(0.8\text{ g/cm}^3\)。

你知道嗎？沉與浮的秘密

純水的密度大約是 \(1\text{ g/cm}^3\)。密度小於 \(1\text{ g/cm}^3\) 的物體會浮於水面，而密度大於 \(1\text{ g/cm}^3\) 的物體則會沉入水中！因為我們剛才計算的木塊密度是 \(0.8\text{ g/cm}^3\)，所以它會浮在水上。

逐步解題範例 4：求質量

一枚實心銀幣的體積是 \(4\text{ cm}^3\)。銀的密度是 \(10.5\text{ g/cm}^3\)。這枚銀幣的質量是多少？

第 1 步： 找出已知數值：\(\text{體積} = 4\text{ cm}^3\)，\(\text{密度} = 10.5\text{ g/cm}^3\)。
第 2 步： 選擇合適的公式：\(\text{質量} = \text{密度} \times \text{體積}\)。
第 3 步： 進行計算：\(\text{質量} = 10.5 \times 4 = 42\text{ g}\)。
銀幣的質量是 \(42\text{ g}\)。

重點提示

密度反映了物體相對於其大小有多重。記得確保質量與體積採用相配的單位（例如克配 \(\text{cm}^3\)，或公斤配 \(\text{m}^3\)）。

4. 單價：精明消費與性價比

單價是結合金錢與數量的複合量度。它表示單一單位的價格（例如每件商品的價錢、每克的價錢或每公升的價錢）。

超級市場通常會出售不同包裝大小的產品。想知道哪款包裝最抵買（性價比最高），我們可以計算並比較相同基準單位的價錢。

單價公式

\(\text{單價} = \frac{\text{總費用}}{\text{數量}}\)

比較價格時，單位成本最低的商品就最划算！

方法 1：求每件或每個單位的價格

我們來看一個日常購物的例子：

超級市場有兩款雞蛋包裝出售：
• 包裝 A： \(6\text{ 隻雞蛋}\) 售 \(£1.50\)
• 包裝 B： \(10\text{ 隻雞蛋}\) 售 \(£2.30\)
哪一款包裝比較抵買？

第 1 步： 計算包裝 A 中每隻雞蛋的價錢：
\(\text{每隻雞蛋的價錢} = \frac{£1.50}{6} = £0.25\)（即 \(25\text{p}\)）。

第 2 步： 計算包裝 B 中每隻雞蛋的價錢：
\(\text{每隻雞蛋的價錢} = \frac{£2.30}{10} = £0.23\)（即 \(23\text{p}\)）。

第 3 步： 比較兩者的價格：
\(23\text{p}\) 比 \(25\text{p}\) 便宜，因此包裝 B 更加抵買。

方法 2：比較相同數量（例如每 100 克）

有時候，如果直接除以單一克數，會得出極細小且不便運算的小數。在這種情況下，計算每 \(100\text{ g}\) 或每 \(1\text{ kg}\) 的價錢會輕鬆得多！

現有兩樽不同容量的咖啡特價發售：
• 小樽裝： \(200\text{ g}\) 售 \(£3.60\)
• 大樽裝： \(500\text{ g}\) 售 \(£8.50\)
買哪一樽比較划算？

第 1 步： 計算小樽裝每 \(100\text{ g}\) 的價錢：
由 \(200\text{ g}\) 換算為 \(100\text{ g}\)，只需除以 \(2\)：
\(\frac{£3.60}{2} = \text{每 } 100\text{ g } £1.80\)。

第 2 步： 計算大樽裝每 \(100\text{ g}\) 的價錢：
由 \(500\text{ g}\) 換算為 \(100\text{ g}\)，只需除以 \(5\)：
\(\frac{£8.50}{5} = \text{每 } 100\text{ g } £1.70\)。

第 3 步： 比較價格：
\(£1.70\) 比 \(£1.80\) 便宜，所以大樽裝更抵買。

方法 3：單位成本所得數量（例如每 £1 買到多少克）

除了計算每單位商品的價錢外，你也可以倒過來計算花費 \(£1\) 能買到多少分量的商品：

\(\text{每 } £1 \text{ 獲得的數量} = \frac{\text{數量}}{\text{總費用}}\)

使用這個方法時，每鎊能買到最多數量的商品就是最划算的選擇！

重點提示

要公平比較不同優惠，記得將各選項換算成完全相同的數量基準。你可以尋找相同數量下價格最低的選項，或者相同價格下數量最多的選擇。

5. 總結與速查清單

每次解答複合量度題目時，都可以跟隨以下幾個簡單步驟：

1. 辨別量度種類： 題目涉及的是速率、密度，還是單價？
2. 檢查單位： 所有長度單位是否一致？如果需要，時間有沒有正確化為小數小時？
3. 選用正確公式： 善用公式三角形（\(D = S \times T\) 或 \(M = D \times V\)）。
4. 檢查最終答案： 答案是否合乎常理？最後切記寫上正確的複合單位（例如 \(\text{km/h}\)、\(\text{g/cm}^3\) 或 \(\text{p/item}\)）！