歡迎來到進階向量（Further Vectors）！
在 A Level 數學中，你已經學過如何在二維和三維空間中運用向量。在進階數學 (8FM0) 的這一章中，我們將把這些技巧提升到更高層次！我們將探索如何在三維空間中描述直線與平面（稱為 planes）。這些概念是現代科技的基石——從 GPS 衛星如何追蹤你的位置，到電子遊戲引擎如何渲染 3D 世界，都離不開它們。
如果剛開始覺得有點困難，別擔心！ 我們會將所有內容拆解成簡單、易懂的步驟。讓我們開始吧！
1. 三維空間中的直線
你可以將三維空間中的直線想像成空中的一條軌跡。要準確描述這條軌跡，你只需要兩樣東西：一個起點和移動的方向。
向量形式
直線的向量方程式寫作： \( \mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b} \)
• \( \mathbf{r} \)：直線上的任意點（由坐標 \(x, y, z\) 表示）。
• \( \mathbf{a} \)：已知直線上某一點的位置向量（即「起點」）。
• \( \mathbf{b} \)：方向向量（直線延伸的方向）。
• \( \lambda \) (lambda)：一個純量參數。當你改變 \(\lambda\) 時，你就會沿著直線「滑動」到不同的點。
笛卡兒形式
有時，我們更喜歡用 \(x, y,\) 和 \(z\) 來書寫直線方程式，而不是使用向量。這就是笛卡兒形式：
\( \frac{x - a_1}{b_1} = \frac{y - a_2}{b_2} = \frac{z - a_3}{b_3} \)
小貼士： 若要從向量形式轉換為笛卡兒形式，只需重新排列向量方程式，讓 \(\lambda\) 作為每個分量 (\(x, y,\) 和 \(z\)) 的主項，然後令它們相等即可。
平行線、相交線與歪斜線
在二維空間中，直線不是平行就是相交。但在三維空間中，還有第三種可能：
• 平行線： 擁有相同（或互為倍數關係）的方向向量 \(\mathbf{b}\)。
• 相交線： 它們在剛好一點上相遇。
• 歪斜線 (Skew lines)： 既不平行也永遠不會相交的直線。
兩條直線的交點
要判斷兩條直線是否相交並求出交點：
1. 為每條直線使用不同的純量參數：\(\mathbf{r}_1 = \mathbf{a}_1 + \lambda \mathbf{b}_1\) 及 \(\mathbf{r}_2 = \mathbf{a}_2 + \mu \mathbf{b}_2\)。
2. 令 \(x, y,\) 和 \(z\) 分量分別相等，得出包含 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 的三個方程式。
3. 聯立解其中兩個方程式，求出 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 的值。
4. 將這些值代入第三個方程式。若方程式成立，則直線相交（將 \(\lambda\) 代入 \(\mathbf{r}_1\) 即可求得該點的位置向量）。若不成立，則直線不相交（只要它們不平行，即為歪斜線）。
重點總結： 直線需要一個點 (\(\mathbf{a}\)) 和一個方向 (\(\mathbf{b}\))。處理兩條直線時，請務必使用不同的參數（例如 \(\lambda\) 和 \(\mu\)）。
2. 平面的方程式
想像一張向四面八方無限延伸的平紙——這就是一個平面。
向量形式（兩個方向）
如果你知道平面上的一個點以及兩個位於平面上的不平行方向向量： \( \mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b} + \mu \mathbf{c} \)
法向量形式（純量積形式）
每個平面都有一個法向量 (\(\mathbf{n}\))，它垂直於平面表面：
\( \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = d \)
其中 \(d\) 是一個常數純量，透過已知平面上一點 \(\mathbf{a}\) 與 \(\mathbf{n}\) 的純量積計算得出。
平面的笛卡兒形式
如果 \(\mathbf{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\)，則笛卡兒方程式為： \( ax + by + cz = d \)
你知道嗎？ 笛卡兒方程式中的係數 \(a, b,\) 和 \(c\) 正是法向量 \(\mathbf{n}\) 的分量！
重點總結： 定義平面最直接的方法是使用它的法向量（垂直於其表面的向量）。
3. 純量積（點積）
純量積定義為：
\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta \)
主要應用：
1. 計算夾角 (\(\theta\))： \( \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} \)。
2. 垂直性質： 兩個非零向量垂直的充要條件是 \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \)。
4. 計算直線與平面間的夾角
計算夾角時，請先找出相關的方向向量或法向量：
兩條直線間的夾角
使用方向向量 \(\mathbf{b}_1\) 和 \(\mathbf{b}_2\)：
\( \cos \theta = \frac{|\mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{b}_2|}{|\mathbf{b}_1||\mathbf{b}_2|} \)
兩個平面間的夾角
使用法向量 \(\mathbf{n}_1\) 和 \(\mathbf{n}_2\)：
\( \cos \theta = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|} \)
直線與平面間的夾角
由於法向量 \(\mathbf{n}\) 垂直於平面，直線方向 \(\mathbf{b}\) 與平面之間的夾角 \(\theta\) 滿足：
\( \sin \theta = \frac{|\mathbf{b} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{b}||\mathbf{n}|} \)
記憶法： 線與線、面與面，使用 \(\cos\)；線與面，使用 \(\sin\)。
5. 交點與垂直距離
直線與平面的交點
要找出直線 \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}\) 與平面 \(ax + by + cz = d\) 的交點：
1. 利用直線方程式以 \(\lambda\) 表示 \(x, y, z\)：\(x = a_1 + \lambda b_1\)，\(y = a_2 + \lambda b_2\)，\(z = a_3 + \lambda b_3\)。
2. 將這些代入平面方程式，並解出關於 \(\lambda\) 的線性方程式。
3. 將 \(\lambda\) 代回直線方程式，以求得交點坐標。
點到平面的垂直距離
點 \(P(\alpha, \beta, \gamma)\) 到平面 \(ax + by + cz = d\) 的垂直距離由以下公式給出：
\( \text{距離} = \frac{|a\alpha + b\beta + c\gamma - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)
點到直線的垂直距離
要計算位置向量為 \(\mathbf{p}\) 的點 \(P\) 到直線 \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}\) 的垂直距離：
1. 設 \(F\) 為直線上垂線的垂足，因此 \(\vec{OF} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}\)。
2. 求出向量 \(\vec{PF} = (\mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}) - \mathbf{p}\)。
3. 由於 \(\vec{PF}\) 垂直於直線，令 \(\vec{PF} \cdot \mathbf{b} = 0\) 並解出 \(\lambda\)。
4. 將 \(\lambda\) 代回以求得 \(\vec{PF}\)，然後計算其模長 \(|\vec{PF}|\)。
兩條直線間的垂直距離
• 平行線： 在第一條直線上任取一點，並使用上述「點到直線」的方法計算其到第二條直線的垂直距離。
• 歪斜線： 設 \(P\) 為直線 1 上的任意點 (\(\mathbf{a}_1 + \lambda \mathbf{b}_1\))，\(Q\) 為直線 2 上的任意點 (\(\mathbf{a}_2 + \mu \mathbf{b}_2\))。當向量 \(\vec{PQ}\) 同時垂直於兩個方向向量時，其長度為最短距離：\(\vec{PQ} \cdot \mathbf{b}_1 = 0\) 及 \(\vec{PQ} \cdot \mathbf{b}_2 = 0\)。聯立解這兩個方程式以求得 \(\lambda\) 和 \(\mu\)，然後計算 \(|\vec{PQ}|\)。
恭喜你讀完進階向量的筆記！練習在腦海中視覺化三維空間中的直線與平面——隨手畫出簡圖將有助你掌握所有距離和角度的計算。