歡迎來到二次式的恆等變形

二次式在 Pearson Edexcel 國際 GCSE 進階純粹數學（Further Pure Mathematics）中無處不在。二次式是指變數的最高次數為 \(2\) 的代數式。在一般式（標準式）中，它寫成：

\(ax^2 + bx + c\)

在這裡，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 都是常數（數字），且 \(a \neq 0\)。數字 \(a\) 是 \(x^2\) 的係數，\(b\) 是 \(x\) 的係數，而 \(c\) 則是常數項。

不妨將代數式想像成機械結構。在一般式中，你可以輕易讀出常數項。但如果你把這個代數式拆解並重組成不同的形式，就能解鎖不同的「超能力」：

1. 因式分解式（Factorised Form）：\(a(x - p)(x - q)\) 可以立刻顯示出方程的根、圖像的截距以及因式。
2. 配方式（Completed Square Form）：\(a(x + p)^2 + q\) 無需使用微積分，就能直接顯示出函數的極大值或極小值，以及轉折點（頂點）的坐標。

剛開始處理這些代數式的變形時，如果覺得有點難度，請不用擔心！我們會將每種技巧拆解成簡單易懂、清晰可靠的步驟，保證每次都能順利解題。

註：相關的二次主題——例如判別式（discriminant）以及根 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 的函數——將於本單元的其他章節中詳細探討。

第一部分：二次式的因式分解

因式分解正好是展開括號的逆運算。這是一個將多項式的「和」轉換成因式的「積」的過程。

類型 A：平方差（The Difference of Two Squares）

這是最容易辨認的模式。只要看到兩個平方項由減號相連，就可以利用以下恆等式進行因式分解：

\(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\)

例 1：因式分解 \(4x^2 - 49\)。
注意 \(4x^2 = (2x)^2\) 以及 \(49 = 7^2\)。
應用恆等式：\(4x^2 - 49 = (2x - 7)(2x + 7)\)。

例 2：因式分解 \(3x^2 - 75\)。
切記：永遠先尋找公因式！這兩項都可以被 \(3\) 整除：
\(3(x^2 - 25) = 3(x - 5)(x + 5)\)。

類型 B：首項係數為 1 的二次式（Monic Quadratics，即 \(a = 1\)）

這類二次式的形式為 \(x^2 + bx + c\)。若要將它因式分解為 \((x + p)(x + q)\)，我們需要找出兩個數字 \(p\) 和 \(q\)，使得：

\(p \times q = c\)（兩數相乘等於常數項）
\(p + q = b\)（兩數相加等於中間項係數）

記憶小秘訣：「積看後面，和看中間。」

例 3：因式分解 \(x^2 - 7x + 12\)。
步驟 1：觀察常數項的符號（\(+12\)）。積為正數代表兩個數字的符號相同。由於中間項（\(-7\)）是負數，因此兩個數字都必定是負數。
步驟 2：列出 \(12\) 的負因數對：
\(-1\) 和 \(-12\)（和 = \(-13\))
\(-2\) 和 \(-6\)（和 = \(-8\))
\(-3\) 和 \(-4\)（和 = \(-7\)) — 找到了！
步驟 3：寫入括號內：\((x - 3)(x - 4)\)。

類型 C：首項係數不等於 1 的二次式（Non-Monic Quadratics，即 \(a \neq 1\)）

當 \(x^2\) 的係數不是 \(1\) 時，單靠猜測括號內的數字會耗費太多時間。這時，我們可以使用更有條理的「ac 法」（亦稱為分組因式分解法）。

分解 \(ax^2 + bx + c\) 的逐步解法：
步驟 1：計算 \(a\) 乘以 \(c\)，得出目標積 \(ac\)。
步驟 2：尋找兩個數字，相乘等於 \(ac\)，相加等於 \(b\)。
步驟 3：利用這兩個數字，將中間項 \(bx\) 拆成兩項。
步驟 4：兩兩分組進行因式分解（將首兩項和末兩項分別分組）。

例 4：因式分解 \(6x^2 + 7x - 5\)。
步驟 1：計算 \(ac = 6 \times (-5) = -30\)。同時我們需要兩數之和為 \(b = +7\)。
步驟 2：尋找相加等於 \(+7\) 的 \(-30\) 的因數對：
\(10 \times (-3) = -30\) 且 \(10 + (-3) = +7\)。因此這兩個數字是 \(+10\) 和 \(-3\)。
步驟 3：將中間項 \(+7x\) 拆開為 \(+10x - 3x\)：
\(6x^2 + 10x - 3x - 5\)
步驟 4：分別為前兩項和後兩項提取公因式：
\(2x(3x + 5) - 1(3x + 5)\)
注意 \((3x + 5)\) 是前後兩部分的共同因式！將它提出：
\((3x + 5)(2x - 1)\)。

因式分解要點提示：動手之前，務必先檢查是否有數字或變數的公因式。若 \(a = 1\)，找出相加等於 \(b\) 的 \(c\) 的因數。若 \(a \neq 1\)，請使用 \(ac\) 分組分解法。

第二部分：配方法（Completing the Square）

並非每個二次式都能輕易用整數分解因式。配方法是一種通用技巧，適用於每一個二次式。

你知道嗎？「配方法」這個名稱源自幾何學。古代數學家真的畫出一個面積為 \(x^2\) 的正方形，以及總面積為 \(bx\) 的兩個長方形，然後計算出需要填補的幾何小角落，藉此把圖形「拼成（完成）一個大正方形」！

情況 1：首項係數為 1 的二次式（\(a = 1\)）

當展開 \((x + d)^2\) 時，會得到 \(x^2 + 2dx + d^2\)。注意中間項是 \(2d\)，正好是 \(d\) 的兩倍。
因此，如果從 \(x^2 + bx\) 開始，你可以將它改寫成：

\(x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2\)

加上常數項 \(c\)，便得出完整的公式：

\(x^2 + bx + c = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c\)

\(a = 1\) 時的黃金法則：
1. 將 \(x\) 的係數減半，放進括號內：\(\left(x + \frac{b}{2}\right)^2\)。
2. 永遠減去該數字的平方：\(-\left(\frac{b}{2}\right)^2\)。
3. 加上原本的常數項 \(c\)。

例 5：將 \(x^2 + 8x - 5\) 化為 \((x + p)^2 + q\) 的形式。
步驟 1：找出 \(b = 8\)。\(8\) 的一半是 \(4\)。
步驟 2：寫成 \((x + 4)^2 - 4^2 - 5\)。
步驟 3：化簡數字：\((x + 4)^2 - 16 - 5 = (x + 4)^2 - 21\)。
此處，\(p = 4\) 且 \(q = -21\)。

例 6（分數）：以配方式表示 \(x^2 - 5x + 2\)。
步驟 1：找出 \(b = -5\)。\(-5\) 的一半是 \(-\frac{5}{2}\)。
步驟 2：放入括號內並減去其平方：
\(\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 2\)
步驟 3：計算平方項：\(\left(-\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\)。
\(\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} + \frac{8}{4} = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{17}{4}\)。

情況 2：首項係數不等於 1 的二次式（\(a \neq 1\)）

當 \(x^2\) 的係數不等於 \(1\) 時，我們必須先從含有 \(x\) 的項中提出 \(a\)。切記不要嘗試在腦中一步完成——善用方括號（中括號）能確保運算清晰準確！

逐步解題步驟：
步驟 1：從 \(x^2\) 和 \(x\) 項中提取 \(a\)。
步驟 2：在括號內，針對首項係數為 1 的二次式進行配方。
步驟 3：將外面的 \(a\) 乘回方括號內的各項。
步驟 4：合併後方的常數項。

例 7：將 \(2x^2 + 12x + 11\) 化為 \(a(x + p)^2 + q\) 的形式。
步驟 1：從首兩項提取 \(2\)：
\(2\left[x^2 + 6x\right] + 11\)
步驟 2：在方括號內進行配方（\(6\) 的一半是 \(3\)）：
\(2\left[(x + 3)^2 - 3^2\right] + 11\)
\(2\left[(x + 3)^2 - 9\right] + 11\)
步驟 3：乘以 \(2\) 以展開外層方括號：
\(2(x + 3)^2 - 18 + 11\)
步驟 4：合併常數項：
\(2(x + 3)^2 - 7\)。
此處，\(a = 2\)，\(p = 3\)，且 \(q = -7\)。

情況 3：當 \(a\) 為負數時（必考重要應試技巧）

\(a < 0\) 的題目在 Pearson Edexcel IGCSE Further Pure Mathematics 中極為常見。處理負號時必須加倍小心！

例 8：將 \(7 - 4x - 2x^2\) 寫成 \(A - B(x + C)^2\) 的形式。
步驟 1：按降冪排列：\(-2x^2 - 4x + 7\)。
步驟 2：從含有 \(x\) 的項中提取 \(-2\)：
\(-2\left[x^2 + 2x\right] + 7\)
注意：\(-4x\) 除以 \(-2\) 會變成 \(+2x\)。
步驟 3：在括號內配方：
\(-2\left[(x + 1)^2 - 1^2\right] + 7\)
\(-2\left[(x + 1)^2 - 1\right] + 7\)
步驟 4：展開並乘以 \(-2\)：
\(-2(x + 1)^2 + 2 + 7\)
小心注意：\(-2 \times (-1) = +2\)。
步驟 5：合併常數項，並按要求的順序排列：
\(9 - 2(x + 1)^2\)。
此處，\(A = 9\)，\(B = 2\)，且 \(C = 1\)。

配方法要點提示：在括號內配方前，務必先將 \(a\) 提出。運算過程中保留一組方括號 \([\dots]\)，最後再仔細將外面的係數乘進去。

第三部分：為什麼要配方？（應用層面）

1. 求轉折點、極大值與極小值

因為任何實數的平方都必然大於或等於零，所以我們知道：

對於所有實數 \(x\)，\((x + p)^2 \geq 0\)。

這個簡單的數學事實，讓我們能直接從配方式 \(y = a(x + p)^2 + q\) 讀出拋物線圖像的關鍵特徵：

當 \(a > 0\) 時（正數，開口向上的拋物線 \(\cup\)）：
- \((x + p)^2\) 的最小值為 \(0\)，這情況發生在 \(x = -p\) 時。
- 該函數的極小值（minimum value）為 \(q\)。
- 極小點／頂點的坐標（coordinates of the vertex）為 \((-p, q)\)。
- 對稱軸（line of symmetry）方程為 \(x = -p\)。

當 \(a < 0\) 時（負數，開口向下的拋物線 \(\cap\)）：
- 當 \((x + p)^2 = 0\)（即 \(x = -p\)）時，代數式達到最大值。
- 該函數的極大值（maximum value）為 \(q\)。
- 極大點／頂點的坐標為 \((-p, q)\)。

例 9：對於曲線 \(y = 3(x - 4)^2 + 10\)：
- 極小值為 \(10\)。
- 這發生在 \(x - 4 = 0 \implies x = 4\) 的時候。
- 轉折點為 \((4, 10)\)。

例 10：指出 \(f(x) = 15 - 2(x + 3)^2\) 的極大值，以及達到極大值時 \(x\) 的數值。
由於 \((x + 3)^2 \geq 0\)，項數 \(-2(x + 3)^2\) 最大只能是 \(0\)。
- 極大值為 \(15\)。
- 這發生在 \(x + 3 = 0 \implies x = -3\) 的時候。

2. 精確求解二次方程

配方法提供了一種純代數的解方程方法，無需死記二次公式（事實上，二次方程求根公式本身就是用配方法推導出來的！）。

例 11：解 \(x^2 + 6x - 2 = 0\)，並以精確的根式形式（surd form）表示答案。
步驟 1：對等式左方進行配方：
\((x + 3)^2 - 3^2 - 2 = 0\)
\((x + 3)^2 - 11 = 0\)
步驟 2：移項以隔離平方項：
\((x + 3)^2 = 11\)
步驟 3：兩邊取平方根（切記加上 \(\pm\) 正負號！）：
\(x + 3 = \pm\sqrt{11}\)
步驟 4：兩邊減去 \(3\) 求出 \(x\)：
\(x = -3 \pm\sqrt{11}\)。
精確的根為 \(x = -3 + \sqrt{11}\) 及 \(x = -3 - \sqrt{11}\)。

第四部分：常犯錯誤警示

錯誤 1：在配方時誤將減去的平方項寫成加法。
錯誤寫法：\(x^2 + 6x = (x + 3)^2 + 9\)。
糾正：展開 \((x + 3)^2\) 會得出 \(x^2 + 6x + 9\)。要變回 \(x^2 + 6x\)，你必須減去 \(9\)：
\(x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9\)。記住永遠是減去 \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\)。

錯誤 2：處理負係數時的正負號錯誤。
當將 \(-x^2 + 6x\) 寫成 \(-\left[x^2 - 6x\right]\) 時，同學常會忘記改變括號內 \(x\) 項的正負號。
驗算：\(-1 \times (-6x) = +6x\)。隨時在腦中逆向展開括號來檢查正負號！

錯誤 3：忘記將減去的數值乘以 \(a\)。
在 \(3x^2 + 12x + 1 = 3\left[(x + 2)^2 - 4\right] + 1\) 中，同學常會錯誤寫成 \(3(x + 2)^2 - 4 + 1 = 3(x + 2)^2 - 3\)。
糾正：\(-4\) 是在括號之內的！它必須乘以 \(3\)：
\(3 \times (-4) = -12\)，因此應為 \(3(x + 2)^2 - 12 + 1 = 3(x + 2)^2 - 11\)。

錯誤 4：寫頂點坐標時正負號顛倒。
對於 \(y = (x + 5)^2 + 4\)，其極小點是 \((-5, 4)\)，而不是 \((5, 4)\)。
記住：將括號內的部分設為零（\(x + 5 = 0 \implies x = -5\)）。

第五部分：快速溫習清單

在進入下一個課題之前，請確保你能自信地：
• 辨認並以平方差因式分解：\(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\)。
• 熟練運用 \(ac\) 分組分解法處理首項係數不為 1 的二次式 \(ax^2 + bx + c\)。
• 將 \(x^2 + bx + c\) 正確配方為 \(\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c\)。
• 在為 \(ax^2 + bx + c\) 配方時正確提出 \(a\)，特別是當 \(a < 0\) 時能準確處理正負號。
• 直接從 \(a(x + p)^2 + q\) 讀出極大值或極小值，以及轉折點 \((-p, q)\)。