📊 數據的圖形表示：解讀數字的藝術

歡迎來到「數據展示」這一章！如果統計學有時讓你感到不知所措，別擔心——這一部分的重點在於將原始的表格和雜亂無章的數字清單，轉化為清晰且易於閱讀的視覺化圖表。當我們正確地將數據視覺化，規律便會一目了然，分析也會變得簡單得多。
在本節中，我們將學習如何針對不同類型的數據選擇合適的圖表、如何準確地繪製它們，以及如何正確地詮釋所呈現的資訊。讓我們開始吧！

1. 處理離散及類別數據的圖表

離散數據 (Discrete data) 只能取特定的、獨立的數值（例如鞋碼或進球次數），而類別數據 (Categorical data) 則描述定性標籤（例如最喜愛的顏色或交通方式）。

1.1 象形圖 (Pictograms)

象形圖 (Pictogram) 使用圖像符號或圖標來表示數據的頻數。

關鍵規則：
• 每個象形圖都必須包含一個圖例 (Key)，以解釋一個完整符號代表什麼（例如：圖例：1 個圓形 = 4 本書）。
• 部分頻數會按比例分割符號來表示（例如：半個圓形代表 2 本書，四分之一個圓形代表 1 本書）。
• 所有符號的大小必須一致，並在行或列中均勻排列。

1.2 長條圖與垂直線形圖

長條圖 (Bar Chart) 使用長方形條柱來顯示不同類別或離散數值的頻數 (frequency)。

關鍵特徵：
• 長條的高度代表頻數。
• 繪製的長條寬度相同，且長條之間有間隙 (gaps)，以顯示各個類別或離散數值是彼此獨立的。
• 橫軸標示類別或離散數值，縱軸則標示頻數。

給學生的貼士：

如果數據是數值型且為離散的（例如 10 分滿分的測驗分數），也可以使用垂直線形圖 (Vertical Line Graph)，以幼細的線條取代長條來表示每個頻數。

1.3 雙向表 (Two-Way Tables)

雙向表 (Two-way table) 同時整理涉及兩個不同類別變數的數據（例如性別與選修科目）。

• 列（橫行）顯示一個變數的類別；欄（直行）顯示另一個變數的類別。
• 各列的總計與各欄的總計相加後，必須等於右下角單元格中的總總計。
• 從相應的列總計或欄總計中減去已知數值，即可找出缺失的數值。

1.4 圓形圖 (Pie Charts)

圓形圖用於顯示整體數量如何被劃分為各個部分的比例或分數。

製作圓形圖的步驟：
1. 找出總頻數 (Total Frequency)（\(N\)）。
2. 使用公式計算每個類別的扇形圓心角：
\(\text{角度} = \frac{\text{頻數}}{\text{總頻數}} \times 360^\circ\)
3. 使用圓規畫一個圓形，並用量角器從半徑開始精確量度出每個角度。
4. 為每個扇形標上類別名稱，或加上圖例。

避免常見錯誤：別忘了檢查所有計算出的扇形角度總和是否剛好為 \(360^\circ\)。

2. 處理連續數據（分組頻數）

連續數據 (Continuous data) 是指在一個範圍內可以取任何數值的數據（例如身高、質量或時間）。連續數據會被分組為類別區間 (class intervals)。

2.1 直方圖 (Histograms)（僅限高等組別 Higher Tier）

直方圖用於顯示連續數據，特別是在類別區間寬度不相等的情況下。它們看起來與長條圖相似，但在基本原理上存在重大差異。

關鍵差異：面積 vs. 高度
在標準長條圖中，高度代表頻數。但在直方圖中，長條的面積與頻數成正比：
\(\text{面積} = \text{頻數}\)

由於組寬各不相同，縱軸代表的是頻數密度 (Frequency Density)。

直方圖公式：
\(\text{頻數密度} = \frac{\text{頻數}}{\text{組寬}}\)

繪製及解讀直方圖的步驟：

1. 計算每個區間的組寬 (Class Width)（\(\text{上限} - \text{下限}\)）。
2. 使用 \(\frac{\text{頻數}}{\text{組寬}}\) 計算每個區間的頻數密度。
3. 在橫軸標繪連續變數，在縱軸標繪頻數密度。
4. 畫出長條，且長條之間沒有間隙，因為連續數據在區間之間是沒有中斷的。

3. 累積頻數圖 (Cumulative Frequency Diagrams)（僅限高等組別 Higher Tier）

累積頻數 (Cumulative Frequency, CF) 是指截至每個類別區間上限為止的頻數累加總和。它告訴你有多少個數值是小於或等於某個給定數值的。

3.1 繪製累積頻數圖

1. 順序累加頻數，計算出累積頻數欄。
2. 使用坐標（\(\text{組上限}, \text{累積頻數}\)）標繪各點。
3. 在（\(\text{最小值}, 0\)）標繪曲線的起點。
4. 用平滑的 S 形曲線（或直線線段）將各點連接起來。

3.2 估算統計量

設 \(n\) 為總頻數。利用縱軸（累積頻數軸）：
• 中位數 (Median)：在縱軸 \(\frac{n}{2}\)（或 \(0.5n\)）處向右畫一條水平線交於曲線，然後向下讀取橫軸上的數值。
• 下四分位數 (Lower Quartile, \(Q_1\))：在縱軸 \(\frac{n}{4}\)（或 \(0.25n\)）處向右對應曲線，然後向下讀取數值。
• 上四分位數 (Upper Quartile, \(Q_3\))：在縱軸 \(\frac{3n}{4}\)（或 \(0.75n\)）處向右對應曲線，然後向下讀取數值。

四分位距 (Interquartile Range, IQR)：
\(\text{IQR} = Q_3 - Q_1\)
四分位距用於衡量中間 50% 數據的離散程度，且不會受到極端異常值的影響。