180 度內的正弦、餘弦與正切

引言：突破直角三角形的界限

歡迎來到直角三角形以外的三角學世界！在早期的學習中，你學會了利用熟悉的記憶口訣 SOH CAH TOA，在直角三角形內計算正弦（sine）、餘弦（cosine）及正切（tangent）。但當角度大於 \(90^\circ\) 時會怎樣？我們能求出 \(120^\circ\) 的正弦值或 \(150^\circ\) 的餘弦值嗎？

答案絕對是可以的！在 Pearson Edexcel 國際 GCSE 數學（課程綱要 B）中，你需要理解並懂得計算高達 \(180^\circ\) 角度的三角比。這是一項非常重要的技巧，特別是在後續課題中處理鈍角時，例如正弦公式（sine rule）、餘弦公式（cosine rule）以及三角形面積公式 \(\text{Area} = \frac{1}{2}ab\sin C\)。

如果剛開始覺得有些陌生，不用擔心！只要掌握幾條簡單的對稱法則，並學會計算機如何處理這些數值，你就能輕鬆應付這些題目。

高達 \(180^\circ\) 的角度分類：銳角、直角與鈍角

我們先為本章會遇到的角度分類：

1. 銳角（Acute angles）：介乎 \(0^\circ\) 與 \(90^\circ\) 之間（不包括兩端）的角度（\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)）。
2. 直角（Right angle）：剛好等於 \(90^\circ\) 的角度（\(\theta = 90^\circ\)）。
3. 鈍角（Obtuse angles）：介乎 \(90^\circ\) 與 \(180^\circ\) 之間（不包括兩端）的角度（\(90^\circ < \theta < 180^\circ\)）。
4. 邊界角（Boundary angles）：特定數值 \(\theta = 0^\circ\)、\(\theta = 90^\circ\) 及 \(\theta = 180^\circ\)。

補角法則（The Supplementary Angle Rule: \(180^\circ - \theta\)）

每個鈍角 \(\theta\) 都有一個與之相對應的銳角，稱為其參考角（reference angle）或補角，表示為 \((180^\circ - \theta)\)。由於直線上的鄰角總和為 \(180^\circ\)，因此每個鈍角都與其銳角補角有著根本的幾何聯繫。

以下是對於介乎 \(0^\circ\) 至 \(180^\circ\) 的任何角度 \(\theta\)，你必須掌握的三大黃金法則：

法則 1：高達 \(180^\circ\) 的角度，其正弦值永遠為正數
\(\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta\)
例子： \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 150^\circ) = \sin 30^\circ = 0.5\)
例子： \(\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 135^\circ) = \sin 45^\circ \approx 0.7071\)

法則 2：鈍角的餘弦值為負數
\(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta\)
例子： \(\cos 120^\circ = -\cos(180^\circ - 120^\circ) = -\cos 60^\circ = -0.5\)
例子： \(\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ \approx -0.8660\)

法則 3：鈍角的正切值為負數
\(\tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta\)
例子： \(\tan 135^\circ = -\tan(180^\circ - 135^\circ) = -\tan 45^\circ = -1\)
例子： \(\tan 120^\circ = -\tan 60^\circ \approx -1.732\)

\(0^\circ\) 至 \(180^\circ\) 正負符號總結

對於銳角（\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)）：
\(\sin\theta > 0\)（正數）
\(\cos\theta > 0\)（正數）
\(\tan\theta > 0\)（正數）

對於鈍角（\(90^\circ < \theta < 180^\circ\)）：
\(\sin\theta > 0\)（正數）
\(\cos\theta < 0\)（負數）
\(\tan\theta < 0\)（負數）

重點提示：在 \(0^\circ\) 至 \(180^\circ\) 之間，正弦值永遠為正；而一旦角度變成鈍角（大於 \(90^\circ\)），餘弦和正切值就會變成負數。

邊界角的三角比數值

你應該熟悉 \(0^\circ\)、\(90^\circ\) 和 \(180^\circ\) 這些關鍵點的數值：

當 \(\theta = 0^\circ\)：
\(\sin 0^\circ = 0\)
\(\cos 0^\circ = 1\)
\(\tan 0^\circ = 0\)

當 \(\theta = 90^\circ\)：
\(\sin 90^\circ = 1\)
\(\cos 90^\circ = 0\)
\(\tan 90^\circ\) 無定義（在計算機上會顯示 Math Error，因為 \(\cos 90^\circ = 0\)，出現了除以零的情況）。

當 \(\theta = 180^\circ\)：
\(\sin 180^\circ = 0\)
\(\cos 180^\circ = -1\)
\(\tan 180^\circ = 0\)

解 \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) 的簡單三角方程

在考試題目中，通常會給出一個三角比的數值，並要求你在 \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) 範圍內求出所有可能的角度 \(\theta\)。

1. 解 \(\sin\theta = k\)（雙解情況）

由於 \(\sin\theta\) 在銳角和鈍角範圍內均為正數，當 \(0 < k < 1\) 時，在 \(0^\circ\) 至 \(180^\circ\) 之間會有兩個可能的角度：

步驟 1：使用計算機求出銳角：\(\theta_1 = \sin^{-1}(k)\)。
步驟 2：用 \(180^\circ\) 減去該銳角，求出第二個（鈍角）解：\(\theta_2 = 180^\circ - \theta_1\)。

例題：解方程 \(\sin\theta = 0.5\)，其中 \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)。
\(\theta_1 = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ\)
\(\theta_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\)
因此，解為 \(\theta = 30^\circ\) 及 \(\theta = 150^\circ\)。

特殊情況注意：若 \(\sin\theta = 1\)，則只有一個解：\(\theta = 90^\circ\)。若 \(\sin\theta = 0\)，在此區間內的解為 \(\theta = 0^\circ\) 及 \(\theta = 180^\circ\)。

2. 解 \(\cos\theta = k\)（一對一情況）

與正弦不同，在 \(0^\circ\) 至 \(180^\circ\) 之間，每個餘弦值都只對應一個獨特角度：

情況 A：若 \(k > 0\)（正值）：
該角度為銳角（\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)）。
直接計算：\(\theta = \cos^{-1}(k)\)。
例子：若 \(\cos\theta = 0.8\)，則 \(\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ\)。

情況 B：若 \(k < 0\)（負值）：
該角度為鈍角（\(90^\circ < \theta < 180^\circ\)）。
當你輸入負值時，計算機會自動給出鈍角！
例子：若 \(\cos\theta = -0.5\)，在科學計算機上輸入 \(\cos^{-1}(-0.5)\)，會直接得出 \(\theta = 120^\circ\)。
或者，利用銳角參考角：\(\cos^{-1}(0.5) = 60^\circ\)，所以 \(\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)。

3. 解 \(\tan\theta = k\)

在此範圍內，正切同樣只會得出一個角度：

若 \(k > 0\)：\(\theta\) 為銳角。\(\theta = \tan^{-1}(k)\)。
例子：若 \(\tan\theta = 1\)，則 \(\theta = \tan^{-1}(1) = 45^\circ\)。

若 \(k < 0\)：\(\theta\) 為鈍角。
若你在計算機上輸入 \(\tan^{-1}(-1)\)，會得出 \(-45^\circ\)（因為標準計算機輸出的值介乎 \(-90^\circ\) 至 \(90^\circ\) 之間）。要獲取 \(0^\circ\) 至 \(180^\circ\) 之間的角度，只需加上 \(180^\circ\)：
\(\theta = 180^\circ + (-45^\circ) = 135^\circ\)。
另一做法是先計算正參考角：\(\tan^{-1}(1) = 45^\circ\)，然後計算 \(\theta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)。

循序漸進實戰範例

範例 1：判斷角度類型

角度 \(x\) 介乎 \(0^\circ\) 與 \(180^\circ\) 之間。已知 \(\cos x = -0.4226\)：
(a) 指出 \(x\) 是銳角還是鈍角。
(b) 計算 \(x\) 的值，準確至一位小數。

解答：
(a) 由於 \(x\) 的餘弦值為負數，所以 \(x\) 必定是鈍角（\(90^\circ < x < 180^\circ\)）。
(b) 使用計算機：\(x = \cos^{-1}(-0.4226) \approx 115.0^\circ\)。

範例 2：正弦的兩個解

解方程 \(4\sin\theta - 3 = 0\)，其中 \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)。答案準確至一位小數。

解答：
步驟 1：移項整理方程，主項化為 \(\sin\theta\)：
\(4\sin\theta = 3 \implies \sin\theta = \frac{3}{4} = 0.75\)
步驟 2：利用 \(\sin^{-1}\) 求出主要的銳角解：
\(\theta_1 = \sin^{-1}(0.75) \approx 48.6^\circ\)
步驟 3：求出補角鈍角解：
\(\theta_2 = 180^\circ - 48.59037...^\circ \approx 131.4^\circ\)
答案：\(\theta = 48.6^\circ\) 或 \(\theta = 131.4^\circ\)。

範例 3：直接應用補角公式

已知 \(\sin 25^\circ \approx 0.4226\) 及 \(\cos 25^\circ \approx 0.9063\)，寫出下列各項的準確小數值：
(a) \(\sin 155^\circ\)
(b) \(\cos 155^\circ\)

解答：
留意到 \(155^\circ = 180^\circ - 25^\circ\)。
(a) \(\sin 155^\circ = \sin(180^\circ - 25^\circ) = \sin 25^\circ = 0.4226\)
(b) \(\cos 155^\circ = -\cos(180^\circ - 25^\circ) = -\cos 25^\circ = -0.9063\)

計算機操作建議與應考常規

1. 檢查角度模式：Pearson Edexcel 課程綱要 B 要求使用角度制及其小數（此課程不包括弧度制 radian）。請確保計算機螢幕頂部顯示微小的 D 或 DEG。若顯示 R（弧度）或 G（百分度），你的計算結果將會出錯！

2. 度數與小數度數：考試題目通常要求將角度取至一位小數或有效數字。除非題目另有指明，否則在計算過程中應保留計算機記憶體內的完整數值，僅在最後一步才進行四捨五入。

3. 反三角函數：若要使用 \(\sin^{-1}\)、\(\cos^{-1}\) 或 \(\tan^{-1}\)，請先按 SHIFT 或 2ndF 鍵，然後按 \(\sin\)、\(\cos\) 或 \(\tan\) 鍵。

常見錯誤陷阱

錯誤 1：解正弦方程時遺漏第二個解
當題目要求求出 \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) 範圍內滿足 \(\sin\theta = k\)（其中 \(0 < k < 1\)）的所有 \(\theta\) 值時，同學往往只寫出計算機直接給出的銳角。切記：第二個解是 \(180^\circ - \theta\)。

錯誤 2：遺漏鈍角餘弦值的負號
請記住鈍角的 \(\cos\theta\) 必為負數。如果你在幾何計算三角形時算出負的餘弦值，這純粹表示該角大於 \(90^\circ\)。

錯誤 3：正切計算直接寫出負角度
當你在計算機上輸入負數的 \(\tan^{-1}\) 時，計算機會顯示負銳角（例如 \(-30^\circ\)）。對於 \(0^\circ\) 至 \(180^\circ\) 範圍內的角度，你必須加上 \(180^\circ\) 才能得到正確的鈍角：\(180^\circ + (-30^\circ) = 150^\circ\)。

快速溫習清單

在進入下一節前，你能迅速回答以下問題嗎？
1. 若 \(\sin\theta = 0.6\)，在 \(0^\circ\) 至 \(180^\circ\) 之間 \(\theta\) 的兩個值是甚麼？（答案：\(36.9^\circ\) 及 \(143.1^\circ\)）
2. \(\cos 180^\circ\) 的值是甚麼？（答案：\(-1\)）
3. \(\cos 110^\circ\) 是正數還是負數？（答案：負數）
4. \(\sin 110^\circ\) 是正數還是負數？（答案：正數）
5. 為什麼 \(\tan 90^\circ\) 無定義？（答案：因為 \(\cos 90^\circ = 0\)，而任何數除以零皆無定義）