歡迎來到三角學：角度與圖形的指南！
你好，未來的數學家！這一章「三角學 (Trigonometry)」是純數學 1 (P1) 的基礎。如果這個詞聽起來很複雜，別擔心——它其實只是指「三角形的測量」。
在這個單元中，我們將超越簡單的直角三角形，學習如何解決「任何」類型的三角形問題。我們還會探索正弦 (sine)、餘弦 (cosine) 和正切 (tangent) 強大的週期性，這是從聲波到電流等一切現象的基礎。
讓我們開始吧，把這些概念徹底搞清楚！
1. 複習：直角三角形與 SOH CAH TOA
在解決 P1 三角學問題之前，我們需要快速複習一下基礎知識。這些知識是你的地基！
理解邊的名稱
在一個直角三角形中，相對於某個特定角度 \(\theta\)：
- 斜邊 (Hypotenuse, H)：最長的一條邊，位於直角的對面。
- 對邊 (Opposite, O)：直接位於角度 \(\theta\) 對面的邊。
- 鄰邊 (Adjacent, A)：緊鄰角度 \(\theta\) 的邊（而非斜邊）。
核心比率
這些比率定義了邊與角之間的關係：
記憶口訣：SOH CAH TOA
- SOH： Sine (正弦) \(\theta = \frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}}\)
- CAH： Cosine (餘弦) \(\theta = \frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}}\)
- TOA： Tangent (正切) \(\theta = \frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}}\)
重點：SOH CAH TOA 只適用於包含 90° 角的三角形！P1 需要處理的是不含直角的三角形。
2. 求解非直角三角形（規則）
當你遇到一個不是直角的三角形時，你需要兩個特別的工具：正弦定律 (Sine Rule) 和餘弦定律 (Cosine Rule)。
標準三角形符號
為了正確使用這些規則，我們使用標準符號：
- 角度標記為大寫字母 (A, B, C)。
- 相對於這些角度的邊，標記為對應的小寫字母 (a, b, c)。
正弦定律 (The Sine Rule)
當你擁有一對「相對應的邊與對角」，且需要找出另一個未知元素時，就使用正弦定律。
公式
求邊長：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$
求角度（只需將公式顛倒！）：
$$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$$
使用時機（適用情況）
- 求邊長：你需要知道兩個角和一條邊 (AAS)。
- 求角度：你需要知道兩條邊和其中一個非夾角 (SSA)。
例子：如果你知道角 A 和邊 a，又知道角 B，你就能輕鬆找出邊 b。
餘弦定律 (The Cosine Rule)
餘弦定律更強大，但也稍微複雜一點。可以把餘弦定律看作是當你「沒有相對應的邊角組合」時的工具。
情況 1：求邊長 (SAS - 邊-角-邊)
你需要兩條邊和它們的夾角（兩邊之間的角）。
求邊長 a 的公式為：
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
注意單獨邊長的平方 (\(a^2\)) 是位於餘弦項 (\(\cos A\)) 對面的角。
情況 2：求角度 (SSS - 邊-邊-邊)
如果你知道三條邊的長度，可以將上述公式重新排列來求任何一個角。這是求角度時常用的形式：
$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$
常見錯誤： 使用餘弦定律求角度時，請留意符號。你想要求出的角所對應的邊 (\(a^2\)) 必須在分子末端相減。
重點：當有邊角對應時使用正弦定律；當有 SSS 或 SAS 時使用餘弦定律。
3. 三角形的面積
大家都知道標準的面積公式：\(Area = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}\)。但在 P1 中，我們通常不知道垂直的高！
三角學面積公式
這個公式讓你能夠使用兩條邊和它們的夾角 (SAS) 來計算面積。
$$Area = \frac{1}{2}ab \sin C$$
類比：想像兩隻手臂 (a 和 b) 張開成一個夾角 (C)，這個公式測量的就是它們所圍成的空間。
面積計算步驟：
- 找出已知的兩條邊 (例如 \(a\) 和 \(b\))。
- 找出剛好位於這兩條邊之間的夾角 C。
- 將數值代入公式中。
重點：務必確保面積公式中使用的角度是那兩條邊之間的夾角。
4. 三角恆等式
恆等式是指對 \(\theta\) 的所有可能值都成立的方程式。在 P1 中，你必須掌握兩個核心恆等式。這些對於證明關係和簡化複雜方程式至關重要。
恆等式 1：商數恆等式
它連結了正弦、餘弦和正切：
$$\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$
你知道嗎？ 這個恆等式解釋了為什麼正切函數圖形會有漸近線。當 \(\cos\theta = 0\) 時，分數變成了「除以零」，這產生了一條圖形永遠無法觸及的垂直線！
恆等式 2：畢氏恆等式
這個恆等式直接來自於將畢氏定理 (\(x^2 + y^2 = r^2\)) 應用於單位圓（其中 \(r=1\)，\(x=\cos\theta\)，且 \(y=\sin\theta\)）。
$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$$
符號說明： \(\sin^2 \theta\) 僅代表 \((\sin \theta)^2\)。
使用恆等式
這些恆等式讓你能夠用另一個三角函數來表達目前的函數。
例子：如果你需要解一個同時包含 \(\sin \theta\) 和 \(\cos \theta\) 的方程式，你可以重新排列恆等式 2，代入 \(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\)，這能讓你完全用餘弦來解該方程式。
重點：背熟 \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) 和 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)。它們是你在三角學中的代數超能力。
5. 正弦、餘弦與正切函數的圖形（0° 至 360°）
理解圖形至關重要，因為它們展示了角度如何對應多個解，這在解方程式時非常關鍵。我們關注的範圍是 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\)。
正弦函數：\(y = \sin \theta\)
- 形狀：從 0 開始，向上，然後向下，再回到 0（平滑的波形）。
- 週期： 360°（每 360° 重複一次）。
- 最大值： 1（在 90° 時）。
- 最小值： -1（在 270° 時）。
- 關鍵點： (0°, 0), (90°, 1), (180°, 0), (270°, -1), (360°, 0)。
餘弦函數：\(y = \cos \theta\)
- 形狀：從頂點 (1) 開始，向下，然後回到頂點 (1)。
- 週期： 360°。
- 最大值： 1（在 0° 和 360° 時）。
- 最小值： -1（在 180° 時）。
- 關鍵點： (0°, 1), (90°, 0), (180°, -1), (270°, 0), (360°, 1)。
你知道嗎？ 餘弦圖形其實就是正弦圖形向左平移了 90°！ \(\cos \theta \equiv \sin (\theta + 90^\circ)\)。
正切函數：\(y = \tan \theta\)
正切圖形的表現非常不同，因為它使用的是 \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) 的比率。
- 週期： 180°（每 180° 重複一次）。
- 值域： \(y\) 可以是任何實數（從 \(-\infty\) 到 \(+\infty\)）。
- 漸近線（垂直線）： 在 90° 和 270°。這些點是 \(\cos \theta = 0\) 的位置。
- 關鍵點： (0°, 0), (180°, 0), (360°, 0)。
重點：正弦和餘弦的週期為 360°，在 -1 和 1 之間擺動。正切的週期為 180°，並趨近無限大。
6. 在 0° 至 360° 範圍內解三角方程式
P1 三角學最大的障礙是理解對於一個給定的比率（例如 \(\sin \theta = 0.5\)），在 0° 到 360° 之間通常不止一個角度符合條件。
我們使用 CAST 圖 來找出所有可能的解。
CAST 圖簡介
360° 的旋轉被分為四個象限 (Quadrants)。CAST 圖告訴你每個三角函數在各個象限中何時為正值。
圖形視覺化（從右下角開始，逆時針移動）：
- C (第四象限：270° 至 360°)： Cosine (餘弦) 為正。
- A (第一象限：0° 至 90°)： All (所有：正弦、餘弦、正切) 均為正。
- S (第二象限：90° 至 180°)： Sine (正弦) 為正。
- T (第三象限：180° 至 270°)： Tangent (正切) 為正。
解方程式的步驟指南
每次都遵循這個精確的方法，以確保能找到 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\) 內的所有解。
例子：解 \(\sin \theta = 0.5\)
步驟 1：找出主角度 (\(\alpha\))
忽略正負號（如果是負數，在此步驟將其視為正數）。這會給你第一象限 A (0° 至 90°) 內的一個銳角，我們稱之為基準角 (base angle) (\(\alpha\))。
\(\alpha = \sin^{-1} (0.5) = 30^\circ\)。
步驟 2：確定象限
觀察原方程式。因為 \(\sin \theta = 0.5\) 是正值，而正弦在 A 和 S 象限為正。
步驟 3：計算最終解
利用基準角 \(\alpha\) 和象限規則：
- A 象限 (0° 至 90°)： \(\theta_1 = \alpha\)
\(\theta_1 = 30^\circ\) - S 象限 (90° 至 180°)： \(\theta_2 = 180^\circ - \alpha\)
\(\theta_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\)
解為 \(\theta = 30^\circ\) 和 \(\theta = 150^\circ\)。
各象限規則
如果基準角為 \(\alpha\)：
- 第一象限 (A)： 解 = \(\alpha\)
- 第二象限 (S)： 解 = \(180^\circ - \alpha\)
- 第三象限 (T)： 解 = \(180^\circ + \alpha\)
- 第四象限 (C)： 解 = \(360^\circ - \alpha\)
處理負數值
如果比率是負數（例如 \(\cos \theta = -0.8\)），你仍然用正數值 (\(\cos^{-1} (0.8)\)) 找出基準角 \(\alpha\)。然後，選擇該函數為負值的象限。
例子：如果 \(\cos \theta\) 為負，你必須選擇 C 不是正值的象限：S 和 T (180 - \(\alpha\) 和 180 + \(\alpha\))。
解含有 \(k\theta\) 的函數
如果方程式包含 \(\sin(2\theta)\) 或 \(\cos(3\theta)\)，你必須先調整範圍。
如果 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\)，那麼 \(0^\circ \le 2\theta \le 720^\circ\)。
這意味著你必須在 CAST 圖上繞兩圈才能找出 \(2\theta\) 的所有解。找到 \(2\theta\) 的所有解後，再除以 2 即可得到 \(\theta\)。
重點：CAST 圖是找出多個解的必要工具。務必先找到基準角 \(\alpha\)，再使用象限規則 (180 ± \(\alpha\), 360 - \(\alpha\))。
P1 三角學快速複習
P1 核心技能清單：
- 使用餘弦定律解 SSS 和 SAS 三角形。
- 使用正弦定律解 AAS 和 SSA 三角形。
- 利用 \(Area = \frac{1}{2}ab \sin C\) 計算面積。
- 運用恆等式 \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) 和 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)。
- 繪製並辨識 \(y=\sin \theta\)、\(y=\cos \theta\) 和 \(y=\tan \theta\) 在 0° 至 360° 之間的形狀。
- 使用 CAST 圖法來找出簡單三角方程式在 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\) 範圍內的所有解。