歡迎來到純粹數學 3 (P3)：進階三角學！
你好，未來的數學家！你已經在 P1 和 P2 掌握了三角學的基礎知識——例如 SOH CAH TOA、正弦和餘弦定理，以及基本恆等式（\(\tan\theta \equiv \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) 和 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1\)）。
在 P3 中，我們將超越這些基礎。我們將學習稱為恆等式 (identities) 的強大工具，這些工具能讓你簡化極其複雜的算式，解出你以前認為不可能的方程式，並更有效地分析波的行為。
別擔心，如果起初覺得有些棘手也沒關係；我們會一步步拆解每一個恆等式。讓我們一起進入三角函數運算的世界吧！
快速重溫：必備恆等式
在開始之前，讓我們重溫一下我們會經常使用的基礎知識：
- 倒數恆等式：
\( \sec x \equiv \frac{1}{\cos x} \)
\( \csc x \equiv \frac{1}{\sin x} \)
\( \cot x \equiv \frac{1}{\tan x} \equiv \frac{\cos x}{\sin x} \) - 畢氏恆等式（源自 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1\)）：
\( 1 + \tan^2 x \equiv \sec^2 x \)
\( 1 + \cot^2 x \equiv \csc^2 x \)
重點提示：在簡化算式時，請時刻考慮運用這些恆等式進行代換，以減少算式中的項數或函數數量。
第一節：加法（或複角）公式
你有沒有想過 \(\sin(A+B)\) 是什麼？它絕對不是 \(\sin A + \sin B\)！加法公式精確地告訴我們，當輸入值為兩個角的和或差時，該如何展開三角函數。這四個恆等式是 P3 三角學的基石。
四個加法公式
請記住，這些公式會在你的公式手冊中提供，但理解它們的運作原理至關重要。
- 正弦加法：
\( \sin(A + B) \equiv \sin A \cos B + \cos A \sin B \) - 正弦減法：
\( \sin(A - B) \equiv \sin A \cos B - \cos A \sin B \) - 餘弦加法：
\( \cos(A + B) \equiv \cos A \cos B - \sin A \sin B \) - 餘弦減法：
\( \cos(A - B) \equiv \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
💡 正弦與餘弦的記憶法
這個技巧能幫助你記住結構：
- 正弦 (Sin)：正弦很「友善」。它會混合函數（Sin Cos, Cos Sin）並且保留符號（+ 保持為 +，- 保持為 -）。
- 餘弦 (Cos)：餘弦很「自私」。它會將同類函數分組（Cos Cos, Sin Sin）並且改變符號（+ 變為 -，- 變為 +）。
正切加法公式
此恆等式是透過將 \(\sin(A+B)\) 除以 \(\cos(A+B)\) 推導出來的：
\( \tan(A + B) \equiv \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \)
\( \tan(A - B) \equiv \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \)
範例：使用加法公式求 \(\cos(105^\circ)\) 的準確值。
我們知道 \(105^\circ = 60^\circ + 45^\circ\)。我們使用餘弦加法公式：
\( \cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) \)
\( = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ \)
\( = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)
\( = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \)
重點提示：加法公式讓我們能將複雜的角度拆解為簡單、已知角度（如 30°, 45°, 60°）的組合。
第二節：倍角公式
倍角公式可能是 P3 中使用最頻繁的恆等式。它們其實只是當 \(A = B\) 時，加法公式的一個特殊情況。
別擔心，你不需要背誦全部，但你必須知道如何選擇最適合當前問題的公式！
1. 正弦倍角公式
若我們取 \(\sin(A+B)\) 並令 \(B=A\)：
\( \sin(A + A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A \)
恆等式： \( \sin 2A \equiv 2 \sin A \cos A \)
2. 餘弦倍角公式（三種形式！）
若我們取 \(\cos(A+B)\) 並令 \(B=A\)：
\( \cos(A + A) = \cos A \cos A - \sin A \sin A \)
形式一： \( \cos 2A \equiv \cos^2 A - \sin^2 A \)
為什麼有三種形式？因為我們可以使用畢氏恆等式 \(\sin^2 A + \cos^2 A \equiv 1\) 來消除 \(\sin^2\) 或 \(\cos^2\) 項。
形式二（僅含餘弦）：
將 \(\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\) 代入形式一：
\( \cos 2A \equiv \cos^2 A - (1 - \cos^2 A) \)
恆等式： \( \cos 2A \equiv 2 \cos^2 A - 1 \)
形式三（僅含正弦）：
將 \(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A\) 代入形式一：
\( \cos 2A \equiv (1 - \sin^2 A) - \sin^2 A \)
恆等式： \( \cos 2A \equiv 1 - 2 \sin^2 A \)
何時使用哪種形式？
- 若方程式中已經有很多 \(\cos\) 項，請使用形式二 (\(2 \cos^2 A - 1\))。
- 若方程式中已經有很多 \(\sin\) 項，請使用形式三 (\(1 - 2 \sin^2 A\))。
- 通常在進行因式分解或證明其他恆等式時，使用形式一 (\(\cos^2 A - \sin^2 A\))。
3. 正切倍角公式
在正切加法公式中令 \(A=B\) 可得：
恆等式： \( \tan 2A \equiv \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} \)
重點提示：倍角恆等式讓我們能將包含 \(2x\) 的項改寫為以 \(x\) 為變數的函數，這對於解方程式至關重要。
第三節：解三角方程式（P3 方式）
在 P3 中，方程式會包含混合的角度（\(x\) 和 \(2x\)）與函數（\(\sin, \cos, \tan\)）。你的目標始終如一：將方程式化簡為單一角度和單一函數。
逐步教學：解包含 \(2x\) 的方程式
範例：在 \(0^\circ \le \theta < 360^\circ\) 的範圍內，解 \(2 \cos 2\theta - \cos \theta + 1 = 0\)。
- 識別問題：我們有 \(\cos 2\theta\)（角度為 \(2\theta\)）和 \(\cos \theta\)（角度為 \(\theta\)）。我們必須將 \(\cos 2\theta\) 轉換為角度 \(\theta\)。
- 選擇正確的恆等式：由於方程式的其他部分使用 \(\cos \theta\)，我們選擇僅包含餘弦的 \(\cos 2\theta\) 恆等式（形式二）：\(2 \cos^2 \theta - 1\)。
- 代換並簡化：
\( 2(2 \cos^2 \theta - 1) - \cos \theta + 1 = 0 \)
\( 4 \cos^2 \theta - 2 - \cos \theta + 1 = 0 \)
\( 4 \cos^2 \theta - \cos \theta - 1 = 0 \) - 解二次方程式：這現在是一個以 \(C = \cos \theta\) 為變數的二次方程式。由於它不容易因式分解，我們使用二次公式（公式解）：
\( \cos \theta = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8} \) - 求出解：計算這兩個值並找出基本角，然後在給定的範圍內求出所有解（使用 CAST 圖或繪圖法）。
⚠️ 常見錯誤：丟失解
如果你遇到類似 \(\sin 2x = \sin x\) 的方程式，切勿將兩邊同時除以 \(\sin x\)。如果你相除，你會丟失 \(\sin x = 0\) 時的解！
正確方法：
- 使用倍角恆等式：\(2 \sin x \cos x = \sin x\)
- 移項並因式分解：\(2 \sin x \cos x - \sin x = 0\)
- 提取公因式 \(\sin x\)：\(\sin x (2 \cos x - 1) = 0\)
- 分別解出各個因式：\(\sin x = 0\) 且 \(2 \cos x - 1 = 0\)。
重點提示：解方程式時請始終以因式分解為目標，而非相除，以確保你能找到所有根。
第四節：R-公式（結合三角函數）
這是 P3 恆等式最重要且應用最廣的範疇之一。$R$-公式允許我們將包含正弦和餘弦組合的表達式（如 \(a\cos\theta + b\sin\theta\)）轉換為單一、更簡單的正弦或餘弦函數（如 \(R\cos(\theta \pm \alpha)\) 或 \(R\sin(\theta \pm \alpha)\)）。
類比：波形簡化器
想像你有兩個同時演奏的音符（一個正弦波和一個餘弦波）。產生的聲音波形非常複雜。$R$-公式將這兩個複雜的輸入合併為單一、乾淨的波形，由它的振幅 (Amplitude) ($R$) 和相位移 (Phase Shift) ($\alpha$) 定義。
轉換過程
我們想要將 \(a\cos\theta + b\sin\theta\) 表達為 \(R\cos(\theta - \alpha)\) 的形式，其中 \(R>0\) 且 \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)（或符合要求的範圍）。
讓我們將 \(3\cos\theta + 4\sin\theta\) 轉換為 \(R\cos(\theta - \alpha)\) 的形式。
- 選擇目標恆等式：使用加法公式（餘弦減法）展開目標形式：
\( R\cos(\theta - \alpha) \equiv R(\cos\theta \cos\alpha + \sin\theta \sin\alpha) \)
\( R\cos(\theta - \alpha) \equiv (R\cos\alpha)\cos\theta + (R\sin\alpha)\sin\theta \) - 比較係數：現在，將此展開形式與原始表達式 \(3\cos\theta + 4\sin\theta\) 進行比較：
\(\cos\theta\) 的係數：\(R\cos\alpha = 3\)（方程式 1）
\(\sin\theta\) 的係數：\(R\sin\alpha = 4\)（方程式 2） - 求出 R（振幅）：將兩個方程式平方後相加。這用到了畢氏恆等式！
\((R\cos\alpha)^2 + (R\sin\alpha)^2 = 3^2 + 4^2\)
\(R^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 9 + 16\)
\(R^2(1) = 25 \implies R = 5\) - 求出 \(\alpha\)（相位移）：將方程式 2 除以方程式 1：
\( \frac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha} = \frac{4}{3} \)
\( \tan\alpha = \frac{4}{3} \)
\( \alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ \)
結論： \(3\cos\theta + 4\sin\theta \equiv 5\cos(\theta - 53.13^\circ)\)。
關於 R 的重要事項
$R$ 總是透過畢氏定理求得：
\( R = \sqrt{a^2 + b^2} \)
$R$ 是該表達式能達到的最大值（振幅），而 \(-R\) 則是最小值。
使用 R-公式解決最大值/最小值問題
一旦你將表達式變為 $R$-形式（例如 \(5\cos(\theta - 53.13^\circ)\)），解決最大值/最小值問題就變得很容易。
- 最大值：任何餘弦函數的最大值均為 \(+1\)。
表達式的最大值為 \(5 \times (+1) = 5\)。
這發生在內角為 \(0^\circ, 360^\circ, \ldots\) 時：\(\theta - 53.13^\circ = 0 \implies \theta = 53.13^\circ\)。 - 最小值：任何餘弦函數的最小值均為 \(-1\)。
表達式的最小值為 \(5 \times (-1) = -5\)。
這發生在內角為 \(180^\circ, 540^\circ, \ldots\) 時：\(\theta - 53.13^\circ = 180^\circ \implies \theta = 233.13^\circ\)。
重點提示：$R$-公式將複雜的總和轉化為簡單形式，使得求最大/最小值以及解 \(a\cos\theta + b\sin\theta = k\) 這類方程式變得輕而易舉。
總結與下一步
恭喜！你已經掌握了 P3 三角學的核心。請記住，熟練度來自於練習。每當你看到 \(\cos 2x\) 或像 \(3\sin x - \cos x\) 這樣繁雜的式子時，你應該立即拿出你的 P3 工具箱！
P3 三角學快速檢查清單
- 我是否能使用加法公式求出 \(\sin 15^\circ\) 的準確值？
- 我是否能使用倍角公式改寫 \(\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}\) 並將其簡化為 \(\tan x\)？
- 我是否能選擇正確形式的 \(\cos 2x\) 來簡化二次三角方程式？
- 我是否能將 \(a\sin\theta - b\cos\theta\) 表達為 \(R\sin(\theta - \alpha)\) 的形式，並確定其最大值？
繼續練習這些轉換，你一定能掌握這一章節！