歡迎來到再保險的世界！

哈囉！今天我們要深入探討 Exam FAM 的一個關鍵主題：保險公司與再保險公司之間的賠款分攤 (Allocation of claim amounts between insurer and reinsurer)。如果你曾經好奇保險公司是如何保護自己免受巨額損失（例如颶風或高速公路上的連環車禍），那麼你來對地方了。你可以把再保險想像成「保險公司的保險」。它的核心在於分擔風險，確保公司不會因為單一的災難性事件而倒閉。

如果一開始覺得有些複雜，請別擔心。我們將透過簡單的類比和清晰的公式一步步拆解。讀完這些筆記後，你將能信心滿滿地計算出每一方到底該賠多少錢！


1. 大局觀：有哪些參與者？

在進入數學運算前，我們先釐清一下術語：

  • 原保險公司 (Cedant，分出公司)： 指的是直接向客戶銷售保單的公司。他們會將部分風險「分出 (cede)」給別人。
  • 再保險公司 (Reinsurer)： 指的是透過收取保費，從原保險公司接手並分擔風險的公司。
  • 賠款 (\(X\))： 指的是在分攤前，損失的總金額。

你知道嗎？ 再保險讓小型保險公司也能承擔遠超過其獨立負擔能力的風險。這就像一群朋友平攤超大披薩的費用一樣——大家各付一小部分，總比一個人全買單要容易得多！


2. 比例再保險 (Quota Share)

這是分攤賠款最簡單的方式。在比例再保險 (Proportional Reinsurance) 中，原保險公司和再保險公司約定按固定的百分比來分擔每一筆賠款。

運作方式

若原保險公司保留的比例為 \(\alpha\) (其中 \(0 < \alpha < 1\))，則：

  • 原保險公司的分攤額 (\(Y_I\)) 為： \( Y_I = \alpha X \)
  • 再保險公司的分攤額 (\(Y_R\)) 為： \( Y_R = (1 - \alpha) X \)

例子： 想像一份「70/30 份額分保 (Quota Share)」協議。原保險公司保留 70% 的風險，再保險公司承擔 30%。如果發生一筆 $1,000 的賠款，原保險公司支付 $700，再保險公司支付 $300。很簡單，對吧？

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快速回顧框：
\n在比例再保險中，無論賠款金額大小，分攤比例永遠保持不變。

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3. 非比例再保險 (Excess of Loss)

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這部分就比較具備「精算」特色了。在超額賠款再保險 (Excess of Loss, XoL) 中，原保險公司負責處理小額賠款，而再保險公司僅在賠款超過一定金額時才介入。這個「一定金額」被稱為自留額 (Retention)（通常以 \(M\) 或 \(d\) 表示）。

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公式

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如果 \(M\) 是自留額水平：

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  • 原保險公司的分攤額： \( Y_I = \min(X, M) \)
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  • 再保險公司的分攤額： \( Y_R = \max(0, X - M) \)
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類比： 可以把自留額 (\(M\)) 看作是保險公司的「墊底費 (deductible)」。如果你為自己的汽車保險設定了 $500 的墊底費，那麼首 $500 由你自己負擔（即你的自留額），剩餘部分才由保險公司支付。

逐步邏輯：

  1. 如果賠款小於 \(M\)，原保險公司支付全部金額。再保險公司支付 0。
  2. 如果賠款大於 \(M\)，原保險公司剛好支付 \(M\)。再保險公司支付「超過的部分 (excess)」。

避免常見錯誤： 不要將「自留額」與「保單限額 (Policy Limit)」搞混。自留額是原保險公司自行承擔的部分，而保單限額則是保單賠付的最高上限。我們接下來會看看它們是如何互動的！


4. 處理保單限額與再保險

在現實世界中，大多數保單都有一個保單限額 (\(u\))。這意味著總賠付金額 (\(X_{limit}\)) 為 \(\min(X, u)\)。當我們加入再保險時，必須小心操作的順序。

情境 A：對「淨」賠款進行再保險

通常，再保險公司只會承擔原保險公司實際需要負責的部分。如果保單限額為 \(u\)，而原保險公司的自留額為 \(M\)，則分攤情況如下：

  • 總賠付額： \( X_{paid} = \min(X, u) \)
  • 原保險公司支付： \( Y_I = \min(X, M) \) (假設 \(M \le u\))
  • 再保險公司支付： \( Y_R = \min(X, u) - \min(X, M) \)

記憶小技巧： 再保險公司的分攤額就是賠款在 \(M\) 和 \(u\) 之間的「那一層 (slice)」。如果賠款未達 \(M\)，再保險公司不必支付；如果賠款超過 \(u\)，再保險公司的支付額也不會再增加。


5. 計算期望值（數學核心）

在 Exam FAM 中，你經常需要求出原保險公司或再保險公司分攤額的期望值 (Expected Value)。我們使用限額期望值 (Limited Expected Value) 符號：\( E[X \wedge L] \)。

核心公式：

對於自留額為 \(M\) 且保單限額為 \(u\) 的超額賠款再保險合約：

  • 原保險公司的預期成本： \( E[Y_I] = E[X \wedge M] \)
  • 再保險公司的預期成本： \( E[Y_R] = E[X \wedge u] - E[X \wedge M] \)

重點提示： 各方分攤的預期成本總和必須等於預期的總賠付額：
\( E[Y_I] + E[Y_R] = E[X \wedge u] \)。


6. 總結與最終建議

我們今天涵蓋了很多內容！讓我們總結一下最重要的幾點：

  • 比例分保 (Quota Share) = 乘法 (\( \alpha \times X \))。每一塊錢的賠款，大家都按比例分擔。
  • 超額賠款 (Excess of Loss) = 減法/Min/Max。再保險公司只有在賠款「溢出」自留額時才支付。
  • 自留額 (Retention) 是原保險公司的「墊底費」。
  • 期望值是透過計算不同層級的限額期望值之差來得到的。

最後的鼓勵： 練習畫「分層圖」。畫一條代表賠款的垂直柱狀圖，標示出自留額 (\(M\)) 和限額 (\(u\))。將原保險公司與再保險公司各自負擔的部分塗上不同顏色，這會讓問題變得非常直觀！

繼續練習分佈表中 \( E[X \wedge d] \) 的計算，你很快就能完全掌握這一章！