歡迎來到二項式樹的世界！

你好！如果你正在準備 Exam FAM，你大概已經發現，估算期權價格有時就像在預測未來。雖然我們沒有水晶球，但我們有更好的工具：二項式期權定價模型 (Binomial Option Pricing Model)。在本章中，我們將學習如何通過一個簡化的假設來為期權定價。我們不再去處理無限的可能性，而是假設股票價格只會往兩個方向移動：上漲 (Up) 或 下跌 (Down)。如果一開始覺得這個模型很抽象，不用擔心；一旦你看懂了其中的規律，它就像看地圖一樣簡單！

1. 核心概念：步步為營

二項式模型是一個「離散時間」(discrete-time) 模型。這意味著我們將期權的壽命劃分為特定的時間段（步長）。在最簡單的版本，即單期模型 (Single-Period Model) 中，我們只關注今天的價格和到期日的價格。

想像一隻股票價格為 \(S\)。在一個週期過後，只會發生兩種情況：
1. 價格上漲至 \(S_u\)（其中 \(S_u = S \times u\)）
2. 價格下跌至 \(S_d\)（其中 \(S_d = S \times d\)）

必須掌握的關鍵術語：
• \(u\)：上漲因子 (up factor)（通常大於 1）。
• \(d\)：下跌因子 (down factor)（通常小於 1）。
• \(r\)：連續複利無風險利率。
• \(\delta\)：連續複利股息收益率（如果有）。
• \(h\)：時間步長（例如，如果一年為 1，且我們分為 2 步，則 \(h = 0.5\)）。

你知道嗎？ 為了讓模型合理並避免出現「無中生有」的套利 (arbitrage) 機會，無風險增長率必須介於下跌因子和上漲因子之間。數學表達為：\(d < e^{(r-\delta)h} < u\)。

模型總結

二項式模型將價格變動簡化為一個「分岔路口」。通過知道股票最終可能到達的位置，我們可以進行逆向推導，找出該期權在今天的合理價格。

2. 方法一：複製投資組合 (\(\Delta\) 和 \(B\))

這通常是學生覺得最棘手的部分，但秘訣在於：如果兩個投資標的在未來的回報完全相同，它們今天的價格也必須相同。

我們通過購買一定數量的股票（稱為 \(\Delta\)）並借入或貸出一定資金（稱為 \(B\)）來構建一個「虛擬」期權。我們希望這個投資組合 (\(\Delta S + B\)) 在股票上漲或下跌時，回報都能與期權價值相等。

計算公式：
求股票數量 (\(\Delta\))：
\(\Delta = e^{-\delta h} \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d}\)

求債券金額 (\(B\))：
\(B = e^{-rh} \frac{u C_d - d C_u}{u - d}\)

期權價格： \(C = \Delta S + B\)

類比： 將 \(\Delta\) 想成一個「避震器」。它告訴你期權價格相對於股票價格的變動幅度。如果股票上漲 $1 而期權上漲 $0.50，那麼你的 \(\Delta\) 就是 0.50。

3. 方法二：風險中性定價（「期望值」法）

大多數學生更喜歡這種方法，因為它感覺更像標準的概率計算。我們假設投資者不在乎風險。在這種「風險中性」(Risk-Neutral) 的世界裡，股票的預期回報率就等於無風險利率。

步驟 1：計算風險中性概率 (\(p^*\))
這並不是股票上漲的真實概率；它只是一個數學工具。
\(p^* = \frac{e^{(r-\delta)h} - d}{u - d}\)

步驟 2：計算期權價值
現在，我們算出「平均」回報並將其折現回今天：
\(C = e^{-rh} [p^* C_u + (1 - p^*) C_d]\)

快速回顧：
• \(C_u\) 是股票上漲時的回報（例如，對於買權 (call)，是 \(Max(0, S_u - K)\)）。
• \(C_d\) 是股票下跌時的回報。
• 別忘了折現因子 \(e^{-rh}\)！漏掉它是非常常見的錯誤。

4. 多期樹：未雨綢繆

如果期權有效期為兩個月，且我們以一個月為一步呢？我們只需將樹擴展即可！兩期樹看起來像一個網狀結構。股票可以經歷「上-上」、「上-下」、「下-上」或「下-下」。

重要提示： 在 FAM 使用的標準模型中，「上-下」的移動會導致與「下-上」相同的價格。這被稱為重組樹 (recombining tree)。這讓我們的計算變得簡單，因為節點數量減少了！

逆向推導過程：
1. 從最後面（最終節點）開始，計算期權回報。
2. 向前推一步。使用風險中性公式計算中間節點的值。
3. 繼續向前推，直到到達「時間 0」（今天）。

關鍵要點

無論樹有多少步，過程都是一樣的：計算末端的值，並利用 \(p^*\) 將價值「拉」回起點。

5. 美式期權 vs. 歐式期權

以上討論的所有內容都完美適用於歐式期權 (European Options)（只能在最後到期日行權）。然而，美式期權 (American Options) 可以隨時行權。

當你對美式期權進行逆向推導時，在每一個節點，你都必須問自己：
「現在行權比較好，還是繼續持有比較好？」

決策規則：
節點價值 = \(Max(\text{行權價值}, \text{持有價值})\)

「持有價值」（也稱為繼續持有價值）就是我們上一節中使用 \(p^*\) 計算出的折現期望值。

常見陷阱： 學生經常忘記檢查美式賣權 (American Puts) 的提前行權。雖然美式買權在無股息情況下很少提前行權，但如果股價大幅下跌，美式賣權經常會被提前行權！

6. 總結與成功小貼士

\(p^*\) 記憶法：
記住「遠期增長減去下跌因子，除以上漲因子減去下跌因子」。分子是遠期價格增長 \(e^{(r-\delta)h}\) 減去 \(d\)，分母就是兩個因子的差 \(u - d\)。

解題快速檢查表：
• 利率 \(r\) 是年利率嗎？如果是，你在指數中乘以 \(h\) 了嗎？
• 有股息 (\(\delta\)) 嗎？記住它們在 \(p^*\) 公式中會降低股票價格的增長。
• 這是美式期權嗎？如果是，請檢查每個節點是否需要提前行權！
• 你用了正確的行權價 \(K\) 嗎？

最後的鼓勵： 二項式模型就像一個邏輯拼圖。一旦你熟悉了畫樹和逆向推導，你會發現這是 Exam FAM 中最容易拿分的題目之一。多練習畫樹吧！