歡迎來到金融數學基礎！

歡迎你，未來的精算師！你即將踏上 Exam FM (金融數學) 的學習之旅。第一章的主題是貨幣的時間價值 (Time Value of Money)。你可以把這看作是學習金融的「語言」。在我們能夠解決有關年金 (annuities) 和債券 (bonds) 的複雜問題之前，我們必須先了解資金是如何增長的，以及我們如何描述這種增長。

為什麼這很重要？因為今天的 1 美元比明天的 1 美元更有價值。在這些筆記中，我們將探討如何利用利息 (interest) 和貼現 (discount) 來精確地衡量這種差異。如果一開始這些公式看起來有點嚇人，別擔心——我們會一步一步為你拆解！

1. 積累函數與金額函數 (The Accumulation and Amount Functions)

為了理解增長，我們需要一種追蹤它的方法。我們使用兩個主要的函數：

積累函數 \( a(t) \)： 這告訴我們在時間 0 投資的 $1 在時間 \( t \) 會增長到多少。根據定義，\( a(0) = 1 \)。
\n金額函數 \( A(t) \)： 這告訴我們在時間 0 投資的 \( k \) 美元（本金）在時間 \( t \) 會增長到多少。
\n兩者的關係很簡單：\( A(t) = k \cdot a(t) \)。

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關鍵區別：
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1. \( a(t) \) 的起點永遠是 1。
\n2. \( A(t) \) 的起點是你實際投資的金額 (\( k \))。

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類比：你可以把 \( a(t) \) 看作一個杯子蛋糕的食譜。如果你想知道製作 100 個杯子蛋糕 (\( A(t) \)) 需要多少原料，你只需要將單個食譜乘以 100 (\( k \)) 即可。

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2. 單利與複利 (Simple Interest vs. Compound Interest)

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利息的計算方式主要有兩種。了解它們之間的差異對於 Exam FM 來說至關重要。

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單利 (Simple Interest)

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在單利計算中，你僅對原始本金賺取利息。每年賺取的利息金額是固定的。

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公式： \( a(t) = 1 + i \cdot t \)

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例子：如果你以 5% 的單利投資 $100，你每年賺取 $5。10 年後，你將擁有原本的 $100 本金加上 $50 的利息。

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複利 (Compound Interest)

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在複利計算中，你不僅對本金賺取利息，還對你已經賺取的利息再賺取利息。這就是所謂的「滾雪球效應」。

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公式： \( a(t) = (1 + i)^t \)

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你知道嗎？複利是 Exam FM 的「標準」。如果題目沒有特別說明使用哪種計算方式，請務必默認它是複利！

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常見陷阱： 使用單利時，\( t \) 可以是分數，但增長是線性 (linear) 的。使用複利時，增長是指數 (exponential) 的。在長期來看，複利永遠會產生更多的錢！

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3. 有效利率 (\( i \))

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有效利率 (Effective Rate of Interest) 是指在一段特定期間內，期初投資的 $1 所賺取的利息金額。

對於任何期間 \( n \)，有效利率 \( i_n \) 的計算方式為：
\( i_n = \frac{A(n) - A(n-1)}{A(n-1)} \)

快速回顧：
- 在複利中，每年的有效利率 \( i \) 都是恆定的。
- 在單利中，有效利率 \( i_n \) 會隨著時間遞減，因為你是在不斷增大的總餘額上賺取固定的利息金額。

4. 有效貼現率 (\( d \))

這是學生最容易混淆的地方。利息 (\( i \)) 通常在期末支付，而貼現 (\( d \)) 就像是在期初就預付的利息。

公式： \( d = \frac{A(n) - A(n-1)}{A(n)} \)

類比：想像你借了 $100。
\n如果貸款人收取 10% 的利息，他們現在給你 $100，你之後償還 $110。
\n如果貸款人收取 10% 的貼現率，他們會立即扣除 $10 的「手續費」。他們現在給你 $90，你之後償還 $100。

\( i \) 與 \( d \) 之間的關係：

你會不斷用到這些轉換公式！背下來是非常值得的：
\( d = \frac{i}{1+i} \)
\( i = \frac{d}{1-d} \)
\( (1+i)(1-d) = 1 \)

關鍵要點： 貼現率的數值永遠小於與其對應的利率。例如，10% 的利率等同於約 9.09% 的貼現率。

5. 現值與貼現因子 (\( v \))

如果我們想知道一筆未來支付的款項在今天值多少錢，我們就是在計算它的現值 (Present Value, PV)。為此，我們使用貼現因子 (Discount Factor) \( v \)。

公式： \( v = \frac{1}{1+i} \)

要將一筆金額在時間軸上向後移動 \( t \) 年，我們乘以 \( v^t \)。
\( PV = \text{Future Value} \cdot v^t \)

記憶小撇步：
- 將錢向前移動（積累）：乘以 \( (1+i) \)。
- 將錢向後移動（貼現）：乘以 \( v \)。

6. 名義利率與名義貼現率

有時利息並非每年計算一次。它可能按月、按季或按日計算。這些稱為名義利率 (Nominal Rates)。

\( i^{(m)} \)： 每隔 \( m \) 次複利計算一次的名義年利率。
\( d^{(m)} \)： 每隔 \( m \) 次複利計算一次的名義年貼現率。

每個微小細分期間的實際利率為 \( \frac{i^{(m)}}{m} \)。要計算年度有效利率，我們使用：
\( 1 + i = (1 + \frac{i^{(m)}}{m})^m \)

貼現率的公式相似：
\( 1 - d = (1 - \frac{d^{(m)}}{m})^m \)

例子：如果銀行說「12% 按月複利」，那麼 \( i^{(12)} = 0.12 \)。月利率為 \( 0.12 / 12 = 0.01 \) (即 1%)。

7. 利息力 (\( \delta \))

如果我們每時每刻都在進行複利計算會怎樣？如果複利計算的頻率無限大呢？這就是利息力 (Force of Interest)，用希臘字母 delta (\( \delta \)) 表示。

關係： \( e^\delta = 1 + i \)
這意味著 \( \delta = \ln(1+i) \)。

使用利息力的積累函數為：\( a(t) = e^{\int_0^t \delta_s ds} \)。
如果 \( \delta \) 是恆定的，它會簡化為：\( a(t) = e^{\delta t} \)。

如果一開始覺得有點難，別擔心！ 只要記住 \( \delta \) 其實就是當複利期間次數趨於無窮大時，名義利率的「極限值」。

章節總結檢查清單

在進入下一章之前，確保你可以：
1. 區分 \( a(t) \) 和 \( A(t) \)。
2. 計算單利與複利的增長。
3. 在 \( i, d, v, \) 和 \( \delta \) 之間進行轉換。
4. 從名義利率 \( i^{(m)} \) 計算出有效年利率。
5. 使用 \( (1+i)^t \) 和 \( v^t \) 在時間軸上前後移動資金。

你一定沒問題的！這些定義是 Exam FM 中所有內容的基石。多加練習這些利率之間的轉換，直到它成為你的直覺為止！