歡迎來到拆解單元：利息與本金
你好！如果你曾經查看過汽車貸款或按揭貸款的結單，你可能會注意到，儘管每個月的還款額（月供）是固定的，但實際上用於「償還」債務的金額每個月都在變。在本章中，我們將揭開其背後的運作機制，看看每筆還款是如何在銀行利潤（利息）與你的債務餘額削減（本金）之間進行分配的。
如果起初覺得這有點複雜，不用擔心——一旦你看出了其中的規律，它就像心跳一樣有節奏且可預測！讀完這些筆記後，你將能夠精確計算出貸款的第 42 期還款中，有多少是用於償還餘額，又有多少是支付利息。讓我們開始吧！
1. 貸款還款的黃金法則
每當你支付一筆定額還款（我們稱之為 \( R \)）時，這筆款項同時在做兩件事：
1. 它支付了自上次還款以來累積的利息（\( I_t \)）。
2. 它償還了一部分本金（\( P_t \)），以減少你的欠款總額。
這就得出了我們最重要的初始公式：
\( R = I_t + P_t \)
可以這樣理解： 假設你欠朋友 $100，並約定支付 5% 的利息。如果你給他 $15，他首先會扣除你應付的 $5 利息。剩餘的 $10 則用於減少你的債務，使其降至 $90。在這個例子中，\( R = 15 \)，\( I = 5 \)，\( P = 10 \)。
\n\n快速複習：關鍵變量
\n- \n
- \( R \)： 總定期還款額（分期付款金額）。 \n
- \( I_t \)： 第 \( t \) 期還款中的利息部分。 \n
- \( P_t \)： 第 \( t \) 期還款中的本金部分（已償還的資本金額）。 \n
- \( OB_t \)： 第 \( t \) 期還款後的未償還餘額（Outstanding Balance）。 \n
- \( i \)： 每期的有效利率。 \n
2. 計算利息部分（\( I_t \)）
\n銀行只會對你 目前 欠下的款項收取利息。因此，還款中的利息部分總是基於你還款 之前 的餘額計算的。
\n公式：
\n\( I_t = i \times OB_{t-1} \)
逐步邏輯：
\n1. 查看上一期的餘額（\( OB_{t-1} \)）。
\n2. 將其乘以利率（\( i \)）。
\n3. 計算結果即為當前還款中的利息部分（\( I_t \)）。
總結要點： 隨著貸款餘額（\( OB \)）隨時間減少，每期還款中的利息部分（\( I_t \)）也會 減少。這就是為什麼在長期按揭貸款的初期，你支付的大部分金額其實都是利息！
\n\n3. 計算本金部分（\( P_t \)）
\n如果你知道總還款額（\( R \)）並且已經算出了利息（\( I_t \)），那麼找出本金就只是簡單的減法運算。
\n公式：
\n\( P_t = R - I_t \)
代入上面的利息公式，我們得到：
\n\( P_t = R - (i \times OB_{t-1}) \)
總結要點： 由於利息部分隨每次還款而減少，為了保持總還款額（\( R \)）不變，本金部分必須 增加。隨著時間推移，你償還貸款的速度會越來越快！
\n\n4. 本金的幾何增長
\n這是一個在 Exam FM 中非常熱門的「快捷方式」。連續幾期的本金償還額實際上遵循一個 幾何級數。
\n關係式：
\n\( P_{t+1} = P_t(1+i) \)
這意味著如果你知道第一期的本金償還額（\( P_1 \)），你可以使用以下公式求出任何其他期的本金償還額（\( P_t \)）：
\n\( P_t = P_1(1+i)^{t-1} \)
記憶小貼士： 本金隨利率「增長」。就像儲蓄賬戶中的資金以 \( (1+i) \) 增長一樣，你每個月償還的債務金額也以 \( (1+i) \) 增長。
\n\n你知道嗎？
\n這種幾何關係僅適用於 定額 還款。如果還款額 \( R \) 發生變動，這個規律也會隨之改變！
\n\n5. 直接公式（使用 \( n \) 和 \( t \)）
\n有時候考試題目不會給你餘額，只會給你總還款期數（\( n \)）和利率（\( i \)）。在這些情況下，對於貸款金額為 1（即 \( R = 1 \)）的情況，你可以使用這些「直接公式」：
\n- \n
- \( P_t = v^{n-t+1} \) \n
- \( I_t = 1 - v^{n-t+1} \) \n
等等，如果還款額是 \( R \) 而不是 1 怎麼辦？只需將結果乘以 \( R \) 即可！
\n\( P_t = R \cdot v^{n-t+1} \)
\n\( I_t = R(1 - v^{n-t+1}) \approx R \cdot a_{\overline{n-t+1}|} \cdot i \)
常見錯誤： 小心指數！它是 \( n-t+1 \)。如果你要找 10 年期貸款的第 5 期還款，指數就是 \( 10 - 5 + 1 = 6 \)。
\n\n6. 分期償還總結表
\n如果你查看一份「分期償還表」（Amortization Schedule），這些數值隨時間的變化規律如下：
\n| 組成部分 | \n隨時間變化... | \n原因 | \n
| 還款額（\( R \)） | \n固定不變 | \n合約固定。 | \n
| 利息（\( I_t \)） | \n減少 | \n餘額在縮減。 | \n
| 本金（\( P_t \)） | \n增加 | \n定額還款中「剩餘」的錢更多了。 | \n
| 未償還餘額（\( OB_t \)） | \n減少 | \n本金正在被償還。 | \n
7. 範例演示
\n情境： 一筆 $10,000 的貸款在 5 年內以年度分期付款方式償還，年有效利率為 6%。計算 第 3 期還款 中的本金和利息部分。
第 1 步：計算定額還款 \( R \)。
\( 10,000 = R \cdot a_{\overline{5}|0.06} \)
使用計算機：\( R = 10,000 / 4.21236 = 2,373.96 \)。
第 2 步：計算本金部分 \( P_3 \)。
使用我們的直接公式：\( P_t = R \cdot v^{n-t+1} \)
\( P_3 = 2,373.96 \cdot (1.06)^{-(5-3+1)} = 2,373.96 \cdot (1.06)^{-3} \)
\( P_3 = 2,373.96 \cdot 0.83962 = 1,993.22 \)。
第 3 步：計算利息部分 \( I_3 \)。
\( I_3 = R - P_3 \)
\( I_3 = 2,373.96 - 1,993.22 = 380.74 \)。
驗證： 你也可以計算 \( OB_2 \) 並乘以 0.06。試試看！你會得到相同的答案。
8. 考試專業技巧
1. \( P_t \) 比例法： 如果題目給出兩期本金償還額，例如 \( P_5 = 100 \) 和 \( P_{10} = 150 \)，你可以快速求出利率：\( 150 = 100(1+i)^5 \)。解出 \( i \) 即可！
2. 「本金之和」： 所有從 \( t=1 \) 到 \( n \) 的 \( P_t \) 之和必須等於原始貸款金額（\( L \)）。如果加起來不等於，說明你計算出錯了。
3. 精確取整： 在現實生活中，我們會取整到分。但在考試中，請保留盡可能多的小數位，直到最後一步，以避免「捨入誤差」積累。
關鍵要點總結
利息 是你為借貸特權所支付的代價（基於之前的餘額）。
本金 是你為真正消除債務所支付的金額。
隨著時間推移，利息部分 下降，而本金部分以 \( i \) 的比率幾何級數 上升。
總還款額 = 利息 + 本金。