歡迎來到久期（Duration）的世界！

如果你正在準備 Exam FM，你一定已經知道，當利率上升時，債券價格就會下跌。但對於精算師和投資經理來說，最關鍵的問題是：價格究竟會變動多少？這正是久期（Duration）幫我們衡量的指標。

你可以把久期想像成衡量一組現金流「敏感度」或「波動性」的方法。無論你是在管理退休基金還是單純的債券組合，理解久期都是管理利率風險的關鍵。別擔心現在覺得這些概念有點抽象——我們會把它拆解成簡單易懂的內容！

1. 麥考利久期（Macaulay Duration）：現金流的「重心」

想像你在手指上平衡一塊長木板。如果木板兩端有重物，「平衡點」就是重心所在。麥考利久期（\(D_{mac}\)）本質上就是一系列現金流在時間維度上的「重心」。

它是指收到所有現金流的加權平均時間。我們不是按金額大小來分配權重，而是按這些金額的現值（Present Value, PV）來分配。

公式

如果我們在時間 \(t\) 收到支付款 \(R_t\)，則麥考利久期的公式為：

\(D_{mac} = \frac{\sum t \cdot v^t \cdot R_t}{\sum v^t \cdot R_t}\)

等等！讓我們簡化一下。分母 \(\sum v^t \cdot R_t\) 其實就是該資產的價格（Price, P）。所以：

\(D_{mac} = \frac{\sum t \cdot PV(R_t)}{Price}\)

現實生活的類比

想像一個每年派發利息的 10 年期債券。你並不是等到第 10 年才拿到所有錢；你在第 1 年拿到一部分，第 2 年又拿到一部分，以此類推。麥考利久期告訴你，平均而言，你需要等待（例如）8.2 年才能收回你的投資價值。

麥考利久期的重要性質

1. 零息債券（Zero-Coupon Bonds）： 對於在 \(n\) 時刻支付的零息債券，麥考利久期剛好就是 \(n\)。這是因為只有一筆支付款，所以「平均」時間就是該日期！
2. 附息債券（Coupon Bonds）： 對於任何在到期前支付利息的債券，麥考利久期永遠小於到期期限。
3. 利率影響： 隨著利率 \(i\) 上升，麥考利久期會下降（因為未來的現金流被折現得更多，使得較早期的支付款在權重中佔比變得更「重」）。

快速回顧： 麥考利久期 = 加權平均時間。它的單位是年（或是你設定的時間單位）。

2. 修正久期（Modified Duration）：敏感度計量器

麥考利久期告訴我們的是時間，而修正久期（\(D_{mod}\)）告訴我們的是價格變動。它衡量的是利率變動 1% 時，價格的百分比變化。

兩者的關係

這兩者之間有一個非常簡單的數學聯繫。如果 \(i\) 是年度實際利率（effective interest rate）：

\(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i} = v \cdot D_{mac}\)

注意：如果題目給出的是每年複利 \(m\) 次的名義利率，公式則變為 \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1 + \frac{i^{(m)}}{m}}\)。

為什麼要用它？

修正久期的主要用途是作為價格變動的線性近似值（Linear Approximation）：

\(\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta i\)

例子： 如果一個債券的修正久期為 7，而利率上升了 0.5% (0.005)，那麼債券價格大約會下跌 \(7 \cdot 0.005 = 3.5\%\)。

你知道嗎？ 公式中的負號是因為價格和利率呈反向變動。當利率上升，價格就下跌！

3. 分步教學：如何計算久期

別讓長長的公式嚇倒你。在應對 Exam FM 的久期題目時，請遵循以下步驟：

第 1 步： 列出所有時間 \(t\) 和現金流 \(R_t\)。
第 2 步： 使用給定的利率計算每一筆現金流的現值（PV）。
第 3 步： 將這些 PV 相加，算出總價格（P）。
第 4 步： 將每一筆支付款的 PV 乘以對應的時間 \(t\)，並將結果相加，得到 \(\sum t \cdot PV(R_t\)。
第 5 步： 用第 4 步的結果除以價格（第 3 步的結果）。這就是你的麥考利久期。
第 6 步： 如果題目要求的是修正久期，再將你的答案除以 \((1+i)\)。

常見錯誤： 許多學生最後忘記除以價格。請記住，久期是一種平均值，所以你必須除以總「權重」（即價格）。

4. 投資組合的久期

久期最酷的地方之一是它很容易組合計算。如果你有一個包含多種債券的投資組合，你不需要從頭重新計算每一項。

投資組合的久期是各個資產久期的加權平均值，權重為這些資產的市場價值（Market Value）。

\(D_{port} = \sum w_j \cdot D_j\)

其中 \(w_j = \frac{Price_j}{Total Price}\)。

例子： 你持有價值 $400 的債券 A（久期 = 3）和價值 $600 的債券 B（久期 = 8）。
總價值 = $1,000。
\(D_{port} = (\frac{400}{1000} \cdot 3) + (\frac{600}{1000} \cdot 8) = 1.2 + 4.8 = 6.0\)。

5. 總結與關鍵要點

我們已經涵蓋了 Exam FM 中久期的核心支柱。以下是你需要記住的重點：

1. 麥考利久期 (\(D_{mac}\))： 現金流的時間加權平均。想成是「平衡點」。
2. 修正久期 (\(D_{mod}\))： 價格對利率變動的百分比敏感度。想成是「波動性」。
3. 兩者聯繫： \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i}\)。
4. 價格預測： \(\Delta P \approx -P \cdot D_{mod} \cdot \Delta i\)。
5. 零息債券法則： 零息債券的麥考利久期即為其到期期限。

給考試的最後提示： 如果題目沒有指定使用哪種久期，請觀察單位。如果題目提到「百分比變動」，那通常是修正久期；如果要求「平均時間」，那就是麥考利久期。你一定沒問題的！