歡迎來到可贖回債券（Callable Bonds）的世界！

在你的 Exam FM 備考路上，你已經掌握了標準債券的計價方法。但如果債券發行人擁有「改變規則」的權利會怎樣呢？這就是所謂的可贖回債券。在本章中，我們將學習如何計算這類債券的價格，確保無論發行人何時執行贖回權，作為投資者的你都能獲得一個保證的最低收益率（minimum yield）。如果剛開始覺得有點複雜也不用擔心——只要掌握背後的簡單邏輯，你會發現這不過是為了「最壞情況（worst-case scenario）」作準備而已。

什麼是可贖回債券？

標準債券有固定的到期日。而可贖回債券則不同：發行人（借款方）有權在到期日之前償還貸款。通常，他們會選擇在債券合約中列出的特定「贖回日（call dates）」執行這項權利。

可以這樣理解：想像你借給朋友 100 美元，他們承諾支付 10% 的利息，為期 5 年。如果市場利率跌至 2%，你的朋友會想立刻還清欠款，這樣他們就能以更低的 2% 利率去別處借錢。這就是一次「贖回（call）」。

關鍵術語：贖回價格 (C)
有時，如果發行人提前贖回債券，他們必須支付額外的「罰金」給你。這意味著贖回價格 (\(C\)) 可能會根據贖回時間的不同而有所差異。如果題目沒有特別說明，我們通常假設 \(C\) 等於面值（par value）。

黃金法則：「最壞情況」定價

當考試題目要求計算「最低收益率下的價格」時，其實就是在問：「為了確保無論發行人何時贖回，我的實際收益率至少達到 \(i\)，我最多能為這張債券支付多少錢？」

要找到這個價格，我們需要找出所有可能的贖回日期中對應的最低價格。為什麼是最低價？因為如果你支付的是所有情境計算下的最低價格，那麼無論最終發生哪種情況，你實際獲得的收益率只會比預期的更高！

逐步邏輯：溢價 vs. 折價

要找到最低收益率，我們首先需要觀察息票率（coupon rate, \(r\)）與預期收益率（yield rate, \(i\)）之間的關係。

1. 溢價發行的債券 (\(g > i\))

如果修正後的息票率（modified coupon rate, \(g = Fr/C\)）大於收益率 (\(i\))，債券即以溢價（premium）售出（價格 > 贖回價值）。
• 在這種情況下，對投資者而言的「最壞情況」是債券被盡早贖回。
• 原因：因為你支付了額外的「紅利」（溢價）來換取高額利息。如果債券過早被贖回，你享受高利息的時間就縮短了。
• 操作：計算在最早的贖回日期的價格。

2. 折價發行的債券 (\(g < i\))

如果修正後的息票率 (\(g\)) 小於收益率 (\(i\))，債券即以折價（discount）售出（價格 < 贖回價值）。
• 在這種情況下，對投資者而言的「最壞情況」是債券被盡晚贖回（即到期日）。
• 原因：你以低價買入債券，期待最終以面值還款時獲得一筆大收益。等待最後一次付款的時間越長，你的實際收益率就越低。
• 操作：計算在最晚的日期（到期日）的價格。

快速回顧框：
• 若 息票率 > 收益率（溢價）\(\rightarrow\) 使用最早日期
• 若 息票率 < 收益率（折價）\(\rightarrow\) 使用最晚日期

你知道嗎？

債券發行人通常在市場利率下降時執行贖回。這就像屋主為了獲得更低的每月供款而進行按揭轉按（refinancing）一樣。對投資者而言，這就是「再投資風險（reinvestment risk）」——當你最難找到其他優質投資標的時，你的錢卻被還回來了！

如何處理多個贖回日及不同的贖回價值？

有時 Exam FM 的題目會更棘手。如果贖回價值 (\(C\)) 會變動怎麼辦？例如，發行人在第 5 年贖回需支付 \(105\)，但在第 10 年贖回僅需支付 \(100\)。

「安全」策略：
如果你不確定哪個日期是「最壞情況」，或者贖回價值在變動，請遵循以下步驟：
1. 列出所有可能的贖回日期（及到期日）。
2. 使用以下公式為每個日期計算價格 (\(P\))：
\(P = Fr \cdot a_{\overline{n}|i} + C \cdot v_i^n\)
3. 你計算出的最低價格就是保證最低收益率下的價格。

範例詳解

情境：一張面值 $1,000 的債券，支付 6% 的半年期息票，可在第 5 年至第 10 年年底贖回，贖回價為面值。求保證最低收益率為 8%（半年複利）下的價格。

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第一步：識別變量。
\n\(F = 1000\)
\n\(r = 0.03\)（每半年）
\n\(i = 0.04\)（每半年）
\n\(C = 1000\)

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第二步：比較 \(g\) 和 \(i\)。
\n此處息票率（3%）小於收益率（4%）。這是一張折價債券。

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第三步：選擇日期。
\n對於折價債券，最低收益率出現在最晚的日期。即 \(n = 20\) 個半年期（10 年）。

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第四步：計算。
\n\(P = 30 \cdot a_{\overline{20}|0.04} + 1000 \cdot (1.04)^{-20}\)
\n\(P = 30 \cdot (13.5903) + 1000 \cdot (0.4564)\)
\n\(P = 407.71 + 456.39 = 864.10\)

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關鍵收穫：如果你支付 $864.10，且債券持有至 10 年到期，你的收益率將正好是 8%。如果發行人在更早的時間（例如第 5 年）贖回，你的實際收益率會比 8% 更高，因為你更快地賺取了折價部分的收益！

避免常見錯誤

1. 混淆日期：考生常下意識地選擇最早的日期。請記住：溢價選最早，折價選最晚！

2. 忽視變動的贖回價值：如果早期的贖回價值 \(C\) 較高，可能會抵銷「溢價」的影響。如果題目給出不同年份對應不同的 \(C\) 值，為保險起見，請在每一個變動點計算價格。

3. 忘記除以 2：多數 Exam FM 的債券為半年期支付。請務必確保你的 \(n\)、\(i\) 和 \(r\) 都調整為相同的時間單位。

總結清單

• 可贖回債券：發行人可提前還款。
• 最低收益率：投資者的「最壞情況」回報。
• 溢價 (\(r > i\))：在最早的贖回日價格最低。
• 折價 (\(r < i\))：在最晚的贖回日（到期日）價格最低。
• 目標：計算所有「可疑」日期的價格，並選擇最低價。