續三角學

歡迎來到三角學的世界！

在初中階段，你已經學過如何在直角三角形中求邊長和角度。但如果三角形不是直角三角形呢？或者當你面對 3D 空間問題時該怎麼辦？這一章就是你解決這些難題的工具箱。三角學被稱為「波與旋轉的數學」，從建造橋樑到設計電子遊戲，它無處不在。

別擔心，初學時覺得複雜是很正常的！ 我們將把它拆解為四個簡單部分：三角函數的特性、解方程、三角形的新公式，以及 3D 空間的探索。

1. 三角函數及其圖像

在高中數學中，我們不再僅僅把正弦（sine）、餘弦（cosine）和正切（tangent）視為單純的比例，而是將它們看作會無限循環的函數。

單位圓與 CAST 法則

想像一個半徑為 1 的圓。當你在圓周上移動時，你的座標就代表了 \(\cos \theta\) 和 \(\sin \theta\)。要記住哪個函數在哪些象限為正，我們使用 CAST 法則（從右下方的象限開始，按逆時針方向）：

• 第一象限 (0° 至 90°)： All，所有三角函數皆為正。
• 第二象限 (90° 至 180°)： Sine，只有正弦為正。
• 第三象限 (180° 至 270°)： Tangent，只有正切為正。
• 第四象限 (270° 至 360°)： Cosine，只有餘弦為正。

口訣：All Students Take Chemistry! (所有學生都修讀化學！)

圖像與週期性

三角函數是週期性的，這意味著它們每隔一定的角度就會重複出現相同的規律。

• 正弦 (\(\sin \theta\)) 與 餘弦 (\(\cos \theta\))： 每 360° 重複一次。它們的值永遠介於 -1 與 1 之間。
• 正切 (\(\tan \theta\))： 每 180° 重複一次。它的值可以趨向正無窮大或負無窮大！

重點速覽：
\(\sin \theta\) 和 \(\cos \theta\) 的最大值為 1。
\(\sin \theta\) 和 \(\cos \theta\) 的最小值為 -1。

學習重點： 三角函數呈現的是圓形規律。掌握象限（CAST 法則）就能判斷答案的正負號。

2. 解三角方程

解這些方程就像解 \(x\) 一樣，但你需要找出介乎 0° 至 360° 之間所有可能的角度。

簡單方程的解題步驟：

1. 分離函數： \(\sin \theta = 0.5\)。
2. 找出參考角 (\(\alpha\))： 使用計數機計算 \(\sin^{-1}(0.5) = 30°\)。
3. 檢查正負號： \(\sin \theta\) 為正。根據 CAST 法則，這發生在第一及第二象限。
4. 計算最終角度：
   第一象限：\(\theta = 30°\)
   第二象限：\(\theta = 180° - 30° = 150°\)

可轉化為二次方程的題型

有時你可能會遇到類似 \(2 \sin^2 \theta + 5 \sin \theta + 2 = 0\) 的題目。
小貼士： 把 \(\sin \theta\) 看作 \(y\)。先解二次方程 \(2y^2 + 5y + 2 = 0\)，然後再求出對應 \(y\) 的角度。

你知道嗎？ 如果你算出的答案是 \(\sin \theta = 2\)，那這就是無解！請記住，正弦和餘弦的值絕對不可能大於 1。

學習重點： 務必檢查你的角度是否落在要求的範圍內（通常是 0° 至 360°）。

3. 三角形的高階公式

這些公式適用於任何三角形，而不僅僅是直角三角形！

正弦公式 (Sine Formula)

當你擁有「對角對邊」的組合時使用：
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)

餘弦公式 (Cosine Formula)

當你知道三條邊 (SSS) 或兩條邊及其夾角 (SAS) 時使用：
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)

求面積

• SAS 法： 面積 = \(\frac{1}{2} ab \sin C\)
• 海龍公式 (Heron's Formula，即 SSS 法)： 當你只知道三條邊 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 時使用。
  首先，找出半周長：\(s = \frac{a+b+c}{2}\)
  然後：面積 = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

學習重點： 遇到「對角對邊」用正弦公式；遇到「夾角」或「三邊」用餘弦公式。

4. 3D 空間中的三角學

這通常是最具挑戰性的部分，但其實核心在於如何在 3D 圖形中找出隱藏的 2D 三角形。

必須掌握的術語：

• 投影 (Projection)： 想像光線從正上方照射。一條線在地面上留下的「影子」就是它的投影。
• 直線與平面的交角： 即該直線與其在該平面上的投影之間的夾角。
• 兩平面的交角： 在兩個平面上各找一條線，且這兩條線都垂直於它們的交線。這兩條線之間的夾角即為兩平面的交角。

三垂線定理 (Theorem of Three Perpendiculars)

名字聽起來很嚇人，但把它想像成一個 3D 的「角落」就好。如果一條線垂直於一個平面，而該平面上的第二條線垂直於第三條線，那麼連接它們的線也將是垂直的。它能幫助我們在 3D 圖中找到直角三角形！

常見錯誤： 尋找兩平面夾角時，不要隨意選取兩條線。它們必須交於交線上的同一點，且必須同時與交線成 90°。

學習重點： 解 3D 問題時，把 2D 三角形單獨畫出來，這會讓計算變得清晰得多！

總結檢查清單

你能夠：
1. 使用 CAST 法則判斷三角比的正負號嗎？
2. 辨認圖像的週期、最大值和最小值嗎？
3. 解出介乎 0° 至 360° 之間多個三角方程的解嗎？
4. 在非直角三角形中選擇正確的正弦或餘弦公式嗎？
5. 在 3D 錐體或柱體中辨認出「斜角」嗎？

繼續練習吧！三角學是一門只要看懂規律就會變得簡單的技能。你一定做得到的！