Spatial Relations：练习题

หากนำลูกบาศก์ขนาดเล็กจำนวน 8 ลูก มาวางเรียงต่อกันเป็นลูกบาศก์ขนาดใหญ่ขนาด \(2 \times 2 \times 2\) หน่วย แล้วทำการทาสีแดงที่ผิวภายนอกของลูกบาศก์ใหญ่ทุุกด้าน หลังจากนั้นแยกลูกบาศก์เล็กออกมา อยากทราบว่าจะมีลูกบาศก์เล็กกี่ลูกที่มีการทาสีแดงเพียงด้านเดียวเท่านั้น

พิจารณารูปคลี่ของลูกบาศก์ที่ประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 รูปที่มีสัญลักษณ์ต่างกัน ดังภาพ หากพับรูปคลี่นี้ให้เป็นลูกบาศก์ที่สมบูรณ์ สัญลักษณ์ใดจะปรากฏอยู่บนหน้าตรงข้ามกับ วงกลม

จากการสังเกตลูกบาศก์ลูกหนึ่งที่มีสัญลักษณ์บนแต่ละหน้าแตกต่างกัน 6 ชนิด ได้แก่ วงกลม, สี่เหลี่ยม, สามเหลี่ยม, ดาว, หัวใจ และกากบาท โดยแสดงมุมมองที่แตกต่างกัน 3 รูปแบบ ดังนี้:
- มุมมองที่ 1: เห็น วงกลม อยู่ด้านบน, สี่เหลี่ยม อยู่ด้านหน้า และ สามเหลี่ยม อยู่ด้านขวา
- มุมมองที่ 2: เห็น สี่เหลี่ยม อยู่ด้านบน, ดาว อยู่ด้านหน้า และ หัวใจ อยู่ด้านขวา
- มุมมองที่ 3: เห็น สามเหลี่ยม อยู่ด้านบน, หัวใจ อยู่ด้านหน้า และ กากบาท อยู่ด้านขวา

สัญลักษณ์ใดอยู่บนหน้าตรงข้ามกับ วงกลม

พิจารณารูปทรงกระบอกตันที่มีความสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน หากนำระนาบแบนมาตัดผ่านรูปทรงกระบอกนี้ในทิศทางที่ ขนานกับฐาน และอีกระนาบหนึ่งตัดในทิศทางที่ ตั้งฉากกับฐานผ่านจุดศูนย์กลาง หน้าตัดที่เกิดจากการตัดทั้งสองกรณีจะเป็นรูปเรขาคณิตชนิดใดตามลำดับ

รูปคลี่ของลูกบาศก์ประกอบด้วยจัตุรัส 6 รูปที่มีสัญลักษณ์ต่างกัน ได้แก่ วงกลม (O), กากบาท (X), สามเหลี่ยม (T), สี่เหลี่ยม (S), ดาว (D) และ หัวใจ (H) หากกำหนดให้ O อยู่ตรงข้ามกับ X และ T อยู่ตรงข้ามกับ S ข้อใดคือสัญลักษณ์ที่อยู่ตรงข้ามกับ D

พิจารณารูปทรงพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความสูงเท่ากับความยาวของด้านฐาน หากเราตัดยอดพีระมิดทิ้งในแนวระนาบที่ ขนานกับฐาน โดยตัดที่ระดับความสูงครึ่งหนึ่งของพีระมิดพอดี หน้าตัดที่เกิดจากการตัดนี้จะเป็นรูปเรขาคณิตชนิดใด และมีพื้นที่เป็นกี่เท่าของพื้นที่ฐานเดิม

รูปทรงสามมิติรูปหนึ่งเกิดจากการวางลูกบาศก์ขนาดเท่ากันซ้อนกัน โดยมีภาพฉายด้านหน้า (Front View) เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด \(3 \times 3\) และภาพฉายด้านบน (Top View) เป็นรูปตัว T ที่มีฐานกว้าง 3 หน่วยและแกนตั้งยาว 3 หน่วย
จงหาจำนวนลูกบาศก์ที่มากที่สุดที่สามารถนำมาวางเพื่อให้เกิดภาพฉายตามที่กำหนด

พิจารณารูปทรงแปดหน้า (Octahedron) ที่ประกอบด้วยหน้าสามเหลี่ยมด้านเท่า 8 หน้า หากเราตัดมุมทุกมุมของรูปทรงนี้ออกด้วยระนาบให้ลึกเข้าไปเป็นระยะหนึ่งในสามของความยาวขอบเดิม
จงระบุว่ารูปทรงใหม่ที่เกิดขึ้นจะมีจำนวนหน้าทั้งหมดกี่หน้า และประกอบด้วยรูปเรขาคณิตชนิดใดบ้าง

ในการพิจารณารูปทรงสามมิติที่เกิดจากการนำลูกบาศก์ขนาดเท่ากันมาวางต่อกัน โดยมีข้อมูลมุมมองด้านต่างๆ ดังนี้:
1. มุมมองด้านหน้า (Front View): มองเห็นเป็นรูปตัว T ที่มีฐานกว้าง 3 หน่วย และสูง 2 หน่วย (แถวบนมีลูกบาศก์ 3 ลูก แถวล่างมี 1 ลูกอยู่ตรงกลาง)
2. มุมมองด้านข้าง (Side View): มองเห็นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด \(2 \times 2\) หน่วย
3. มุมมองด้านบน (Top View): มองเห็นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด \(2 \times 3\) หน่วย

จากข้อมูลข้างต้น จงตอบคำถามต่อไปนี้:
ก) จำนวนลูกบาศก์ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของรูปทรงนี้คือเท่าใด
ข) หากนำรูปทรงนี้ไปวางบนพื้นโต๊ะและทาสีพื้นผิวที่มองเห็นได้ทั้งหมด (ไม่รวมด้านที่ติดกับพื้น) จะมีพื้นที่ผิวที่ถูกทาสีกี่ตารางหน่วย (กำหนดให้ลูกบาศก์แต่ละด้านยาว 1 หน่วย)

รูปทรงลูกบาศก์ขนาด \(3 \times 3 \times 3\) หน่วย ประกอบขึ้นจากลูกบาศก์หน่วยขนาด \(1 \times 1 \times 1\) หน่วย จำนวน 27 ลูก โดยผิวด้านนอกของรูปทรงลูกบาศก์ใหญ่นี้ถูกทาสีแดงทุกด้าน

จงหาคำตอบสำหรับคำถามต่อไปนี้:
ก) มีลูกบาศก์หน่วยกี่ลูกที่ไม่มีด้านใดถูกทาสีแดงเลย
ข) มีลูกบาศก์หน่วยกี่ลูกที่มีด้านถูกทาสีแดงเพียง 2 ด้าน
ค) หากนำลูกบาศก์หน่วยที่มีสีแดงอย่างน้อย 1 ด้านออกไปทั้งหมด จะเหลือปริมาตรรวมของลูกบาศก์ที่เหลืออยู่กี่ลูกบาศก์หน่วย