歡迎來到二進制的世界！
你有沒有想過，電腦基本上只是一堆開關和電線的集合，它是如何讓你觀看高畫質電影或運行複雜的電子遊戲的呢？這一切都要歸功於二進制 (Binary)。在本章中，我們將一起探索電腦的「語言」。如果現在看見一堆 1 和 0 讓你感到困惑，請別擔心——看完這份筆記，你將會像電腦一樣快速地閱讀和運算！
1. 基礎概念：進位制 (Number Bases)
在深入了解二進制之前，我們先看看我們平時是如何數數的。我們使用十進制 (Base 10)，這很可能是因為我們有十根手指頭！而電腦使用二進制 (Base 2)，是因為它們是由電晶體組成的，電晶體只有開啟 (On, 1) 或關閉 (Off, 0) 兩種狀態。
關鍵進位制
- 十進制 (Base 10)： 使用 0-9 的數字。
- 二進制 (Base 2)： 只使用 0 和 1。
- 十六進制 (Base 16)： 使用 0-9 和 A-F。這是人類用來作為二進制的「速記法」，因為它讀起來容易多了。例如，二進制的 10101110 在十六進制中僅為 AE！
你知道嗎？ 單個二進制數位（一個 0 或 1）被稱為一個位元 (bit)。如果你將 8 個位元組合在一起，就得到一個位元組 (byte)！
快速複習：2 的次方
要掌握二進制，你必須熟記這些數字：
\( 2^0=1 \)， \( 2^1=2 \)， \( 2^2=4 \)， \( 2^3=8 \)， \( 2^4=16 \)， \( 2^5=32 \)， \( 2^6=64 \)， \( 2^7=128 \)。
總結：
重點摘要： 進位制只是表示相同數值的不同方式。二進制是給電腦用的，十進制是給人類用的，而十六進制則是兩者之間的橋樑。
2. 無符號二進制 (Unsigned Binary)
無符號二進制僅用於表示正整數，這裡沒有辦法表示負號。
數值範圍
如果你有 \( n \) 個位元，你可以表示 \( 2^n \) 個不同的數值。
最小值永遠是 0。
最大值是 \( 2^n - 1 \)。
範例： 使用 8 個位元（一個位元組），你可以表示從 0 到 255 的數字 (\( 2^8 - 1 \))。
二進制算術
加法
這就像我們平時做的直式加法一樣！只需要記住這四條規則：
1. \( 0 + 0 = 0 \)
2. \( 0 + 1 = 1 \)
3. \( 1 + 1 = 0 \)（並向下一位進 1）
4. \( 1 + 1 + 1 = 1 \)（並向下一位進 1）
乘法
要計算無符號二進制乘法，我們使用「位移與相加 (shift and add)」的方法，這與學校學的長乘法類似。如果你將數字乘以 2，只需將所有位元向左移動一位，並在末尾補一個 0 即可！
常見錯誤： 在加法時忘記了「進位」。一定要清楚地把進位寫在下一欄的上方，這樣才不會漏掉它們！
總結：
重點摘要： 無符號二進制用於表示正數。你擁有的位元越多，能存儲的數字就越大。
3. 有符號二進制：二補數 (Two's Complement)
我們如何告訴電腦一個數字是負數呢？我們使用一種稱為二補數 (Two's Complement) 的系統。
概念
在 8 位元的二補數中，最高有效位 (Most Significant Bit，最左邊的那一位) 具有負權重。它不代表 128，而是代表 -128。
「翻轉並加一」技巧
要將一個正數轉換為負數（例如，將 \( 5 \) 轉為 \( -5 \)）：
1. 寫出該正數的二進制形式（例如：00000101）。
2. 翻轉 (Flip) 所有位元（0 變 1，1 變 0）-> 11111010。
3. 將結果加 1 -> 11111011。這就是 \( -5 \)！
減法
電腦實際上並不會進行「減法」——它們只是在加上負數！要計算 \( 10 - 5 \)，電腦會利用二補數計算 \( 10 + (-5) \)。
總結：
重點摘要： 二補數讓我們能同時表示正數和負數。如果最左邊的位元是 1，該數字就是負數！
4. 分數 (Fractional Numbers)
生活不僅僅是整數。有時我們需要小數（例如 10.5）。電腦使用兩種主要方法：定點數 (Fixed Point) 和 浮點數 (Floating Point)。
定點數
我們想像二進制小數點位於一個固定的位置。例如，在一個 8 位元的數字中，我們可以規定前 4 位是整數，後 4 位是分數 (\( 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 \))。
優點： 電腦處理速度快。
缺點： 範圍有限；無法同時表示非常大和非常小的數字。
浮點數
這類似於「科學記號表示法」（例如，\( 6.02 \times 10^{23} \)）。它由兩部分組成：
1. 尾數 (Mantissa)： 數字的實際有效數字。
2. 指數 (Exponent)： 告訴我們二進制小數點移動的位置。
正指數會將小數點向右移動（使數字變大）。
負指數會將小數點向左移動（使數字變小）。
總結：
重點摘要： 定點數簡單但僵化。浮點數複雜，但允許表示範圍極大或極小的數字。
5. 正規化與誤差
在考試中，你經常會被要求將一個浮點數正規化 (normalise)。這意味著調整尾數和指數，使數字達到最高的精確度。
如何辨識正規化數字：
- 正數的正規化數字總是以 01 開頭。
- 負數的正規化數字總是以 10 開頭。
捨入誤差 (Rounding Errors)
別擔心，如果這看起來很棘手： 某些十進制數字（例如 \( 0.1 \)）無論你使用多少個位元，都永遠無法在二進制中完美表示。這就像試圖將 \( 1/3 \) 寫成十進制小數 (\( 0.3333... \)) 一樣——它會無限循環下去！這會導致微小的捨入誤差。
絕對誤差與相對誤差
- 絕對誤差 (Absolute Error)： 真實數字與我們二進制版本之間的實際差值。
- 相對誤差 (Relative Error)： 絕對誤差除以真實數字（通常以百分比表示）。
溢位與下溢
- 溢位 (Overflow)： 當數字太大而無法裝入指定的位元中時（就像試圖將一加侖的水裝進一品脫的杯子裡）。
- 下溢 (Underflow)： 當數字太小而無法表示時（就像試圖用公尺尺來測量一個原子的長度）。
總結：
重點摘要： 正規化能確保最大的精確度。然而，二進制總是有其限制，導致誤差、溢位或下溢的發生。
6. 資訊單位
最後，我們需要了解如何衡量數據。你可能認為 1 Kilobyte 是 1000 bytes，但在計算機科學中，它更具體一些！
二進制前綴 (2 的次方)
這些是電腦實際使用的單位：
- Kibi (Ki)： \( 2^{10} \) (1,024 bytes)
- Mebi (Mi)： \( 2^{20} \)
- Gibi (Gi)： \( 2^{30} \)
- Tebi (Ti)： \( 2^{40} \)
十進制前綴 (10 的次方)
這些是人類通常使用的（硬碟製造商也常使用這些來讓他們的硬碟容量看起來更大！）：
- Kilo (k)： \( 10^3 \) (1,000 bytes)
- Mega (M)： \( 10^6 \)
- Giga (G)： \( 10^9 \)
- Tera (T)： \( 10^{12} \)
記憶小撇步： 如果名字裡有個 "i"（例如 Kibi），那就是基於 1024 的「聰明」電腦版本！
總結：
重點摘要： 考試時務必看清楚題目問的是十進制 (1000 進位) 還是二進制 (1024 進位) 前綴。這對你的最終答案會有很大的影響！