Number bases

歡迎來到進位制的世界！

你有沒有想過，電腦本質上不過是由數百萬個微小的「開/關」開關所組成的，它是如何顯示你最喜歡的遊戲、影片和照片的呢？這一切都歸結於我們如何表示數據。在本章中，我們將探討進位制 (Number Bases)——這是電腦用來理解世界的不同「計數語言」。

別擔心如果你還沒覺得自己是個「數學高手」！我們將透過簡單的技巧和清晰的例子，逐步為你拆解這些概念。學完之後，你就能像專業人士一樣說「電腦語言」（二進位與十六進位）了。

1. 什麼是進位制？

進位制 (Number Base)（或稱基數/Radix）是指在特定計數系統中可用的數字個數。它告訴我們在必須「進位」到下一欄之前，我們可以使用多少個不同的符號。

電腦科學中常見的進位制：

• 十進位 (Decimal, Base 10)：這是我們人類日常使用的！我們有十個數字（0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9）。想像一下用十根手指頭來數數。
• 二進位 (Binary, Base 2)：這是電腦的母語。它只有兩個數字：0 和 1。電腦之所以使用這種進位制，是因為它們的硬體是由處於「關」(0) 或「開」(1) 狀態的開關所組成的。
• 十六進位 (Hexadecimal, Base 16)：這是程式設計師使用的「速記法」。它有 16 個數字：0–9 以及字母 A–F。

如何辨識進位制：

為了避免混淆，我們使用下標 (subscript) 來顯示我們正在使用的進位制。
例子： \(67_{10}\) 是十進位，\(1011_{2}\) 是二進位，而 \(AE_{16}\) 是十六進位。

快速複習：基數告訴你擁有多少個符號。十進位有十個符號；二進位有兩個符號。

2. 二進位 (Base 2)：二的冪次方

在二進位中，每一欄位的數值都是其右側欄位的兩倍。我們稱之為位值 (place values)。在十進位中，我們有個位、十位、百位。而在二進位中，我們則有個位、二位、四位、八位，以此類推。

二進位位值表 (以 8 個位元/1 個位元組為例)：

\(128\) | \(64\) | \(32\) | \(16\) | \(8\) | \(4\) | \(2\) | \(1\)

記憶小撇步：從最右邊的 1 開始，向左移動時只需不斷加倍即可！

例子：將 \(1011_{2}\) 轉換為十進位

1. 將二進位數字放入你的位值表中：
(8位欄：1) | (4位欄：0) | (2位欄：1) | (1位欄：1)

2. 將所有標示為「1」的位值相加：
\(8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}\)

你知道嗎？「Bit」（位元）這個詞其實是 Binary Digit（二進位數字）的縮寫！

3. 十六進位 (Base 16)：速記工具

使用十六進位（或稱「Hex」）是因為二進位字串對人類來說太長且難以閱讀。一個十六進位數字正好可以代表四個二進位位元（即一個半位元組 Nibble）。

十六進位數字：

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

• A = 10
• B = 11
• C = 12
• D = 13
• E = 14
• F = 15

類比：如果二進位像是拼寫出單字中的每一個字母，那麼十六進位就像是使用速記符號或 Emoji 來代表整個單字。書寫起來快多了！

重點總結：我們使用十六進位是因為它對人類來說更易讀，而且比起一長串的 0 和 1，出錯的機率更低。

4. 進位制間的轉換

這是你考試的核心技能！讓我們拆解最常見的轉換方法。

A. 二進位轉十六進位（「四位一組」技巧）

這是最簡單的轉換方式！
1. 從右邊開始，將二進位數每四個分為一組。
2. 計算每一組的數值 (0–15)。
3. 將這些數值轉為十六進位數字。

例子：將 \(11010110_{2}\) 轉為十六進位。
第 1 組（左）：\(1101\) = \(8+4+0+1 = 13\) (即 D)
第 2 組（右）：\(0110\) = \(0+4+2+0 = 6\) (即 6)
結果：\(D6_{16}\)

B. 十六進位轉二進位

只要將「四位一組」的技巧反過來操作即可！
1. 拿出每一個十六進位數字。
2. 將其轉換為 4 位元的二進位數。
3. 將它們拼在一起。

例子：將 \(2A_{16}\) 轉為二進位。
\(2\) = \(0010\)
\(A (10)\) = \(1010\)
結果：\(00101010_{2}\)

C. 十進位轉二進位（「減法」法）

1. 看看你的二進位位值表 (\(128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1\))。
2. 找出能放入該數的最大位值。
3. 在該欄位放一個「1」，減去該數值，然後對剩餘的部分重複此過程。

例子：將 \(45_{10}\) 轉為二進位。
128 能放入嗎？不行 (0)。64 能放入嗎？不行 (0)。
32 能放入嗎？可以 (1)。\(45 - 32 = 13\)。
16 能放入嗎？不行 (0)。
8 能放入嗎？可以 (1)。\(13 - 8 = 5\)。
4 能放入嗎？可以 (1)。\(5 - 4 = 1\)。
2 能放入嗎？不行 (0)。
1 能放入嗎？可以 (1)。\(1 - 1 = 0\)。
結果：\(00101101_{2}\)

5. 為什麼要費心使用十六進位？

你可能會被問到為什麼電腦科學要使用十六進位。這裡有三個你需要記住的主要原因：

1. 轉換容易：在二進位和十六進位之間轉換非常簡單（使用四位一組法）。
2. 人類可讀性高：比起冗長的二進位字串（例如顏色代碼如 \(#FF5733\)），十六進位要短得多，也更容易被人理解。
3. 較少出錯：因為它比較短，程式設計師在輸入時出錯的機率更低。

需避免的常見錯誤：當將十進位轉為十六進位時，別忘了 10 是 A，而不是「10」。如果你把 \(A6_{16}\) 寫成了 \(106_{16}\)，那你整個數值就完全改變了！

快速複習框：

• Base 2 (二進位)：數字 0, 1。位值為 2 的冪次方。
• Base 10 (十進位)：數字 0–9。正常人類計數方式。
• Base 16 (十六進位)：數字 0–9, A–F。用作二進位的速記法。
• 1 個十六進位數字 = 4 個位元 (Bits)。這是兩者之間「神奇的連接點」。

別擔心，剛開始覺得複雜是正常的！就像任何語言一樣，只需要一點練習即可。今天就試著把你的年齡轉換成二進位吧！