Number systems

簡介

歡迎來到數系 (Number Systems) 的世界！你可能覺得自己對數字已經瞭如指掌——畢竟你從小就開始接觸它們。但在計算機科學中，我們對數字的看法有點不同。電腦「看」數字 10 的方式與我們並不一樣；它們看到的是一連串的電信號。在本章中，我們將探索不同的「數字集合」以及各種「進位制」（例如二進制和十六進制），正是這些讓電腦能夠呈現從簡單文字訊息到高清影片的一切內容。如果起初覺得涉及很多數學，不用擔心——我們會一步步為你拆解！

1. 不同的數字集合

在 AQA 課程大綱中，你需要知道一個數字屬於哪個「俱樂部」。數學家根據數字的屬性將其分組為不同的集合 (sets)。你可以把它們想像成俄羅斯套娃，一個集合往往包含在另一個集合之中。

自然數 (Natural Numbers) \((\mathbb{N})\)

這些是「計數數字」。如果你可以用手指數出來的物件，它們就是自然數。 例子：0, 1, 2, 3, 100...
注意：在 AQA 計算機科學中，我們將零 (0) 包含在自然數集合中。 記憶小撇步：N 代表 Natural（自然），就像你在自然界 (Nature) 中會找到的東西（你可以有 1 棵樹或 2 隻鳥）。

整數 (Integer Numbers) \((\mathbb{Z})\)

整數是沒有小數部分的數字。這個集合包含了所有的自然數，但同時也加入了負數。 例子：-3, -2, -1, 0, 1, 2...
記憶小撇步：想像一個溫度計。溫度可以是 5 度或 -5 度，但它們始終是完整的數字。

有理數 (Rational Numbers) \((\mathbb{Q})\)

有理數是指可以寫成分數（比率）的數值。如果你能將它寫成 \( \frac{a}{b} \)，它就是有理數。 例子：\( \frac{1}{4} \), \( 0.5 \)（即 \( \frac{1}{2} \)），甚至是 \( 7 \)（可以寫成 \( \frac{7}{1} \)）。
快速複習：每個整數也都是有理數，因為你只需要把它放在 1 的上面即可！

無理數 (Irrational Numbers)

這些是「狂野」的數字。它們無法寫成簡單的分數。當寫成小數時，它們會無限延伸且沒有重複的規律。 例子：\( \sqrt{2} \), \( \pi \) (圓周率)。

實數 (Real Numbers) \((\mathbb{R})\)

這是「主集合」。它包含了上述所有數字：自然數、整數、有理數和無理數。基本上，任何代表「現實世界」數量的數值都是實數。

序數 (Ordinal Numbers)

這些數字不是關於「有多少」，而是關於「在哪個位置」。我們用它們來描述清單中項目的順序。 例子：第 1、第 2、第 3...
類比：在一場比賽中，參賽者的總數是自然數（例如：10 名跑手），但勝出者是處於第 1 名（這就是序數）。

快速複習箱：
- 自然數 \(\mathbb{N}\)：計數 (0, 1, 2...)
- 整數 \(\mathbb{Z}\)：完整數字（包括負數）
- 有理數 \(\mathbb{Q}\)：分數
- 實數 \(\mathbb{R}\)：連續刻度上的任何測量值
- 序數：位置（第 1, 第 2...）

重點總結：電腦針對不同的任務使用不同的集合。我們使用自然數來計算項目，並使用實數進行精確的測量。

2. 計數與測量

聽起來很簡單，但在考試中這是一個關鍵區別：

1. 計數 (Counting) 使用自然數。這些是離散 (discrete) 數據——你不可能房間裡有 2.5 個人。
2. 測量 (Measurement) 使用實數。這些是連續 (continuous) 數據——你的身高可以是 175.5 公分，如果你的尺夠精準，甚至可以是 175.523 公分！

你知道嗎？電腦處理實數時會遇到困難，因為它們可能有無限的小數位。電腦必須對它們進行「四捨五入」，這有時會在複雜的計算中導致微小的誤差！

3. 進位制 (Number Bases)

進位制 (Base) 只是計數系統中可用的數字數量。人類喜歡 10 進位，但電腦更喜歡 2 進位。

十進制 (Decimal, Base 10)

這就是你每天使用的系統。它使用 10 個數字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。一旦達到 9，你就會向下一位「進一」。

二進制 (Binary, Base 2)

電腦的母語。它只使用 2 個數字：0 和 1。每個「位元」(bit) 代表一個開關是關閉 (OFF) 還是開啟 (ON)。

十六進制 (Hexadecimal, Base 16)

這使用 16 個符號。由於 9 之後沒有數字了，我們就使用字母！ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)。

為什麼要使用十六進制？
它對人類來說比長串的二進制更容易閱讀。例如，電腦中的「白色」在二進制中是 11111111 11111111 11111111，但在十六進制中只是 FFFFFF。它充當了二進制的速記法 (shorthand)。

重點總結：二進制是給電腦看的，十進制是給人類看的，而十六進制是幫助人類理解電腦數據的速記法。

4. 進位制轉換

你在考試中一定會遇到進位制轉換的要求。這是最簡單的處理方法。

二進制轉十進制

1. 畫一個表，填入 2 的冪次方（從右邊開始）。
2. 將你的二進制數字放入表中。
3. 將「1」對應位置的數值加起來。

例子：將 1011 轉換為十進制

(8) | (4) | (2) | (1)
1 | 0 | 1 | 1
\( 8 + 0 + 2 + 1 = 11 \)

十進制轉二進制

1. 不斷減去能夠放入該數字中的最大 2 的冪次方。
例子：將 13 轉換為二進制
- 16 放得進去嗎？不行 (0)
- 8 放得進去嗎？可以。 \( 13 - 8 = 5 \)。(寫下 1)
- 4 放得進去嗎？可以。 \( 5 - 4 = 1 \)。(寫下 1)
- 2 放得進去嗎？不行。(寫下 0)
- 1 放得進去嗎？可以。 \( 1 - 1 = 0 \)。(寫下 1)
結果：1101

二進制轉十六進制

這是學生最愛的方法，因為它非常快！
1. 將你的二進制數字分成每 4 位一組（從右邊開始）。
2. 將每一組 4 位元轉換為相應的十六進制數值。

例子：將 10101111 轉換為十六進制
- 第 1 組：1010（即 10，也就是 A）
- 第 2 組：1111（即 15，也就是 F）
結果：AF

常見錯誤：轉換為十六進制時，別忘了 10 是 A，而不是「10」！如果你寫成「10F」而不是「AF」，電腦會以為你寫了一個完全不同的數字。

重點總結：進行二進制轉換時一定要用表格！這能防止簡單的加法錯誤，並讓你的計算過程井井有條，方便考官閱卷。

快速複習：本章總結

- 數字集合： \(\mathbb{N}\) (自然數), \(\mathbb{Z}\) (整數), \(\mathbb{Q}\) (有理數), \(\mathbb{R}\) (實數)。
- 序數： 告訴你在清單中的位置。
- 計數： 使用自然數。 測量： 使用實數。
- 進位制： 二進制 (2), 十進制 (10), 十六進制 (16)。
- 十六進制速記： 一個十六進制數字正好代表四個二進制位元（即一個 nibble）。