歡迎來到數據表示（Data Representation）！
你有沒有想過，一部電腦明明只能理解「1」和「0」，卻能為你播放高清電影或你最愛的歌曲？在本章中，我們將探討現實世界中的數據（如圖像和聲音）是如何轉換成電腦可以處理的二進制模式（bit patterns）。別擔心，即使起初有些數學計算看起來很棘手——我們會帶你一步步拆解！
1. 模擬（Analogue）與數碼（Digital）
在儲存數據之前，我們需要了解它是哪種類型。在現實世界中，大多數事物都是模擬（Analogue）的。這意味著它們是連續（continuous）的，具有無限的可能數值。想像一下傳統的旋轉調光開關，你可以將其滑動到任何亮度等級。而數碼（Digital）數據則是離散（discrete）的，意味著它只有特定、分隔的數值（就像開/關按鈕一樣）。
模擬轉數碼轉換（ADC）
由於電腦無法儲存無限的「模擬」波形，它們使用模擬轉數碼轉換器（Analogue to Digital Converter, ADC）。該裝置會定期對模擬訊號進行「採樣」（sampling），並將其轉換為二進制數值。你可以在模擬感應器（如溫度計）和麥克風中找到 ADC 的身影。
為了將聲音播放出來，我們使用數碼轉模擬轉換器（Digital to Analogue Converter, DAC）。它將二進制位元模式轉回連續訊號，讓喇叭可以藉此推動空氣產生聲音。
快速回顧：
• 模擬（Analogue）： 連續的（現實世界）。
• 數碼（Digital）： 離散/二進制的（電腦）。
• ADC： 模擬輸入 → 二進制輸出。
• DAC： 二進制輸入 → 模擬輸出。
2. 圖像表示
電腦表示圖像主要有兩種方式：點陣圖（Bitmaps）和向量圖（Vectors）。
點陣圖（Bitmapped Graphics）
點陣圖就像一張方格紙，每一個小方格（稱為像素 Pixel）都填滿了特定的顏色。
點陣圖關鍵術語：
• 解像度（Resolution）： 每英吋的像素數量（通常稱為每英吋點數 DPI）。解像度越高，圖像就越清晰。
• 像素尺寸（Size in Pixels）： 計算方式為 \( \text{width} \times \text{height} \)。
• 色深（Colour Depth）： 用來表示單個像素顏色的位元（bits）數。如果使用 1 bit，就只能有 2 種顏色（黑和白）。如果使用 8 bits，則可以有 \( 2^8 = 256 \) 種顏色。
計算儲存需求：
要找出點陣圖檔案的大小（不計算中繼資料 Metadata），請使用以下公式：
\( \text{Storage Requirement} = \text{Width in pixels} \times \text{Height in pixels} \times \text{Colour Depth} \)
例子：一張 100x100 像素、色深為 8 bits 的圖像。
\( 100 \times 100 \times 8 = 80,000 \text{ bits} \)。要換算成位元組（bytes），請除以 8：\( 10,000 \text{ bytes} \)。
向量圖（Vector Graphics）
與其儲存每個像素，向量圖儲存的是一系列物件列表（list of objects）。每個物件（例如圓形、直線或矩形）都有各自的屬性（properties），如位置、線條粗細和顏色。
類比：點陣圖就像一張蛋糕的照片；而向量圖則是烘焙該蛋糕的食譜。
點陣圖 vs 向量圖：
• 點陣圖最適合照片，因為照片中的每個像素顏色可能都不同。當你放大時，它們會出現「鋸齒」（模糊）。
• 向量圖最適合標誌（logos）、字型和圖示。它們可以無限放大到摩天大樓般大小也不會失真，而且檔案大小通常小得多！
你知道嗎？ 點陣圖檔案還包含中繼資料（Metadata）。這是「關於數據的數據」——即額外的資訊，如圖像寬度、高度、色深以及拍攝日期。
3. 聲音表示
要將聲波轉換為數字，我們會在特定的時間點對其振幅（高度）進行「採樣」。
採樣原則
• 採樣率（Sampling Rate）： 每秒採樣的次數，以赫茲（Hz）為單位。
• 採樣解像度（Sample Resolution）： 用來儲存每個採樣數值的位元數。位元數越多，記錄波形「高度」的準確度就越高。
奈奎斯特定理（Nyquist Theorem）： 為了準確記錄聲音，採樣率必須至少是聲音中最高頻率的兩倍。
\( \text{Sampling Rate} \ge 2 \times \text{Highest Frequency} \)
計算音訊檔案大小：
\( \text{Size in bits} = \text{Sampling Rate} \times \text{Sample Resolution} \times \text{Seconds} \)
樂器數碼介面（MIDI）
MIDI 並不是聲音的錄音！它是一組事件訊息（event messages）（指令），告訴數碼樂器該播放什麼。它儲存的內容包括「音符開啟（Note On）」、「音符關閉（Note Off）」、「音高（Pitch）」和「音量（Volume）」。
MIDI 的優點：
• 檔案非常小（適合慢速網絡或舊裝置）。
• 易於編輯（你可以瞬間將鋼琴音色改為結他音色）。
• 不會錄入任何背景雜音。
4. 數據壓縮
4K 影片等檔案太大，難以傳送，因此我們使用壓縮（compression）來縮減其體積。
有損（Lossy）與無損（Lossless）壓縮
• 有損壓縮（Lossy Compression）： 永久刪除人類可能察覺不到的數據（例如極高頻的聲音或細微的色彩變化）。例子：JPEG, MP3。
• 無損壓縮（Lossless Compression）： 在不丟失任何數據的情況下縮小檔案。當你「解壓縮」時，它與原始檔案完全相同。例子：PNG, ZIP。
無損壓縮技術
1. 遊程編碼（Run Length Encoding, RLE）： 與其儲存「AAAAA」，它會儲存「5A」。這對於含有大面積相同顏色的圖像非常有效。
2. 字典編碼（Dictionary-based methods）： 電腦會建立一個常見模式的「字典」。與其重複儲存整個模式，它只需儲存該模式在字典中的簡短參照編碼即可。
常見誤區： 學生常以為有損壓縮總是「壞的」。實際上，它對於串流影片或音樂非常有用，因為它能將檔案縮小到足以透過互聯網即時傳輸！
5. 加密（Encryption）
加密是將數據擾亂的過程，只有持有正確金鑰（key）的人才能讀取。原始訊息稱為明文（plaintext），而擾亂後的訊息稱為密文（ciphertext）。
凱撒密碼（Caesar Cipher）
這是一種簡單的「位移」密碼。例如，位移值為 3 時，'A' 會變成 'D'。
弱點： 使用頻率分析（frequency analysis）（統計字母出現的頻率）或僅嘗試所有 25 種可能的位移（暴力破解）非常容易破解。
維納姆密碼（Vernam Cipher / One-Time Pad）
維納姆密碼是唯一能提供完美安全性（perfect security）的密碼，前提是必須遵守以下規則：
• 金鑰必須是真正隨機的。
• 金鑰長度必須至少與明文一樣長。
• 金鑰只能使用一次（因此稱為「一次性密碼本」）。
在維納姆密碼中，明文與金鑰會使用互斥或（XOR）邏輯運算進行結合。由於金鑰是隨機的，產生的密文也完全隨機，若沒有金鑰，根本無法破解。
關鍵要點：
凱撒密碼依賴於演算法的隱蔽性（這很容易被猜到），而維納姆密碼則依賴於運算安全性（computational security）和金鑰的隨機性。